Sản phẩm Group FB: STRONG TEAM TOÁN VD VDC 2019 TỔ 11 - LẦN - HSG TỈNH QUẢNG NINH - ĐỀ THI HỌC SINH GIỎI TỈNH QUẢNG NINH NĂM HỌC 2018 – 2019 Mơn: Tốn Lớp: 12 ĐỀ THI HỌC SINH GIỎI TỈNH QUẢNG NINH LỚP 12 Bài (4 điểm) Câu Cho hàm số y = x − 2mx + 2m − với tham số Tìm tất giá trị hàm số cho có ba điểm cực trị đỉnh tam giác vuông m m để đồ thị Lời giải Tác giả:Trần Thị Vân; Fb: Trần Thị Vân Tập xác định D= ¡ y′ = x ( x − m ) x = y′ = ⇔ x ( x − m ) = ⇔ x = m Để hàm số có ba điểm cực trị y′ = có ba nghiệm phân biệt tức m > Khi ba điểm cực trị đồ thị hàm số ( ) A − m ; − m + 2m − , B ( 0;2m − 1) , C ( ) m ; − m + 2m − Vì hàm số cho hàm số chẵn nên tam giác trục Oy Nên để tam giác ABC ABC cân B ∈ Oy; A, C tam giác vuông tam giác ABC đối xứng qua vng cân B m = AC = AB ⇔ m4 = m ⇔ m = m ⇔ Khi m = Do Câu m > nên chọn m = Kết luận m = Nhà bạn An muốn đặt thợ làm bể cá, nguyên liệu kính suốt, khơng có nắp đậy dạng hình hộp chữ nhật tích chứa gấp 400000 ( cm3 ) nước Biết chiều cao bể lần chiều rộng bể Xác định diện tích đáy bể cá để tiết kiệm nguyên liệu Lời giải Tác giả: Trần Thị Vân; Fb: Trần Thị Vân Gọi a , b, c chiều rộng , chiều dài , chiều cao khối hộp chữ nhật Hãy tham gia STRONG TEAM TOÁN VD-VDC- Group dành riêng cho GV-SV toán! ( a , b, c > ) Trang Mã đề X Sản phẩm Group FB: STRONG TEAM TOÁN VD VDC 2019 Theo giả thiết ta có TỔ 11 - LẦN - HSG TỈNH QUẢNG NINH - c = 2a ⇒ 2a 2b = 400000 ⇒ ab = V = abc = 400000 200000 a Ta có tổng diện tích xung quanh diện tích mặt đáy bể cá S = ab + 2ac + 2bc = ab + 4a + 4ab == 200000 1000000 250000 + 4a = + 4a = +a ÷ a a a 125000 125000 125000 125000 S = 4 + + a ÷ ≥ 4.3 a = 30000 a a a a Suy Bài S 125000 200000 = a ⇔ a = 50 ⇒ Sđáy = ab = = 4000 ( cm ) đạt giá trị nhỏ a a 100 x x−2 1 log = − y2 y2 y2 (3 điểm) Giải hệ phương trình xy − = x − + y Lời giải Điều kiện x>0 xy ≥ 100 x x−2 log = − ⇔ log100 x − log y = y − x + 2 Từ phương trình y y y ⇔ x + log x = y + log y ( *) Xét hàm số f ( t ) = t + log t , t > có f '( t ) = 1+ ( 0;+∞ ) Vậy ( *) ⇔ f ( x ) = Thay x = y2 Thấy > 0, ∀ t > nên hàm số đồng biến t ln10 f ( y2 ) ⇔ x = y2 xy − = x − + y vào phương trình y − 27 y3 − + ) ( ( y = nghiệm nên biến đổi thành y3 − − = y2 − = (y − 1) + y − + y + 3y + ⇔ ( y − 3) − y − + y3 − = y − + y ) y2 − − + y − liên hợp + y−3 ÷ + 1÷ = ( **) y − 1) + y − + ÷ y+3 ( Hãy tham gia STRONG TEAM TOÁN VD-VDC- Group dành riêng cho GV-SV toán! Trang Mã đề X Sản phẩm Group FB: STRONG TEAM TOÁN VD VDC 2019 y2 + 3y + y3 − + Do > TỔ 11 - LẦN - HSG TỈNH QUẢNG NINH - y2 + 3y + y + y + y + y + 18 4y − > = = 2+ > 2, ∀ y ≥ 2 y +y y + y + 10 y + y + 10 y3 + +5 Và ( y − 1) 2 + y2 − + = ( y − 1) ( y + 1) y+3 nên ( y − 1) 2 + y −1+ ⇒ y2 + 3y + − y3 − + Nên ( **) ⇔ + y2 − + > ( y − 1) + = y + 3, ∀ y ≥ + < 1+ = 2 ÷ + 1÷ > 0, ∀ y ≥ 2 y2 − + y2 − + ÷ ( ) y+3 y=3 Bài Vậy hệ só nghiệm (4 điểm) Câu Cho tam giác ABC ( x; y ) = ( 9;3) khơng có góc vng có cạnh a + b = 2c tan A + tan C = 2tan B BC = a, CA = b, AB = c tam giác ABC Chứng minh tam giác Lời giải Tác giả: Nguyễn Thị Minh Nguyệt ; Fb: nguyen nguyet Ta có sin B sin ( A + C ) sin A sin C sin B + =2 tan A + tan C = tan B =2 ⇔ cos A cos C cos B ⇔ cos A cos C cos B 2 a + b = 2c a = 2c − b a = 2c − b a2 + c2 − b2 b2 + c2 − a2 a2 + b2 − c2 cos B = cos A cos C = ⇔ ⇔ 2ac 2bc 2ab 2 a = c − b 2 a = 2c − b ⇒ b ( 3c − 2b ) = ( 2b − c ) c ⇔ b c + c − 2b = ⇔ ( c − b ) ( c + 2b ) ⇔ c = b Kết hợp với Câu a + b = 2c ⇒ a = b = c Vậy tam giác ABC tam giác 11 năm 2018 với thể lệ lớp tham gia tiết mục Kết có 12 tiết mục đạt giải đó: có tiết mục lớp 12 , có tiết mục khối 11 tiết mục khối 10 Ban tổ chức chọn ngẫu nhiên Trong thi văn nghệ đoàn niên trường THPT X tổ chức vào tháng 20 11 (khơng tính thứ tự biểu diễn) Tính xác suất cho khối có tiết mục biểu diễn có tiết mục khối 12 tiết mục biểu diễn chào mừng ngày tháng Lời giải Tác giả: Nguyễn Thị Minh Nguyệt ; Fb: nguyen nguyet Hãy tham gia STRONG TEAM TỐN VD-VDC- Group dành riêng cho GV-SV tốn! Trang Mã đề X Sản phẩm Group FB: STRONG TEAM TOÁN VD VDC 2019 TỔ 11 - LẦN - HSG TỈNH QUẢNG NINH - Gọi không gian mẫu phép chọn ngẫu nhiên Số phần tử không gian mẫu Ω n ( Ω ) = C125 = 792 tiết mục cho khối có tiết mục biểu diễn có tiết mục khối 12 ’’ Chỉ có khả xảy thuận lợi cho biến cố A là: + tiết mục khối 12 , tiết mục khối 10 , tiết mục khối 11 + tiết mục khối 12 , tiết mục khối 10 , tiết mục khối 11 + tiết mục khối 12 , tiết mục khối 10 , tiết mục khối 11 Gọi A biến cố: ‘‘Chọn Số kết thuận lợi cho biến cố Xác suất cần tìm Bài P ( A) = A n ( A) = C4 C3 C5 + C4 C3 C5 + C4 C3 C5 = 330 2 Oxy , cho tam giác ABC ABC ; M , N , P ngoại tiếp tam giác 1 có 3 1 330 = 792 12 Trong mặt phẳng với hệ trục tọa độ trực tâm tam giác ABC giao điểm Tìm tọa độ trực tâm H góc nhọn Gọi AH , BH , CH H với đường tròn tam giác ABC biết 16 1 M − ; − ÷, N − ; ÷ , P − ; ÷ 9 4 6 Lời giải Tác giả: Tuyetnguyen; Fb: Tuyetnguyen ¼ = PCB · PNB · · · · PCB = BAM ⇒ PNB = BNM · · Ta có BAM = BNM Suy BN đường phân giác góc Hãy tham gia STRONG TEAM TỐN VD-VDC- Group dành riêng cho GV-SV toán! · PNM Trang Mã đề X Sản phẩm Group FB: STRONG TEAM TOÁN VD VDC 2019 PC , AM Tương tự ta có TỔ 11 - LẦN - HSG TỈNH QUẢNG NINH - phân giác góc · · , PMN MPN uuuur 65 65 MN = ; ÷ 72 36 Ta có Phương trình đường thẳng MN uuuur 65 65 16 MN = ; ÷ M − ;− ÷ qua nhận 9 72 36 làm vtcp, là: 2x − y + = Tương tự ta có phương trình đường thẳng MP :3x − y + = , đường thẳng NP : x + y + = Từ ta có phương trình đường phân giác ngồi góc · MPN : 6 x + 18 y − = 3x − y + 4x + y + ⇔ =± 45 20 18 x − y + = M , N nằm khác phía đường phân giác nên suy phương trình đường thẳng PC : x + 18 y − = Do Tương tự phương trình đường thẳng − 25 ⇒ H ; ÷ 72 H = NB ∩ PC Cho lăng trụ ABC A′ B′C ′ Lại có Bài NB :8 x + = có đáy tam giác vng A , AB = a, BC = 2a Mặt bên BCC ' B ' hình thoi nằm mặt phẳng vng góc với mặt phẳng chứa đáy Góc hai mặt phẳng ( BCC ' B ') tan α = ( ABB 'A') α , tính theo a : Trong trường hợp a Thể tích khối lăng trụ b Khoảng cách hai đường thẳng Gọi ABC A ' B ' C ' A ' C ' B'C β góc hai mặt bên qua CC ' lăng trụ ABC A ' B ' C ' , tìm hệ thức liên hệ cot α cot β Lời giải Tác giả: Trần Văn Tiền ; Fb: Tien Tran Hãy tham gia STRONG TEAM TỐN VD-VDC- Group dành riêng cho GV-SV tốn! Trang Mã đề X Sản phẩm Group FB: STRONG TEAM TOÁN VD VDC 2019 TỔ 11 - LẦN - HSG TỈNH QUẢNG NINH - Câu 1a Dựng AH ⊥ BC ( H ∈ BC ) , suy AH ⊥ ( BCC ' B ') Trong tam giác vuông ABC AC = BC − AB = a ; AH = có AB AC a = BC BB ' ⊥ HI ⇒ BB ' ⊥ ( AHI ) Dựng HI ⊥ BB ' ( I ∈ BB ') , Ta có BB ' ⊥ AH Suy góc hai mặt phẳng HI ·AIH = α Trong tam giác vuông ( BCC ' B ') ( Do tam giác ABH ta có: ( ABB 'A') AHI vng H BH = góc hai đường thẳng nên ·AIH AI góc nhọn) AB a = BC , ta lại có: AH AH a IH · tan α = tan ·AIH = = ⇒ IH = = ⇒ sin IBH = = IH tan α BH Câu 1b 3 6a3 · V = V = BC.BB '.sin B ' BC AH = Ta có : ABC A ' B ' C ' A.BC B ' C ' Dựng B ' D ⊥ BC ( D ∈ BC ) ⇒ B ' D ⊥ ( ABC ) Ta có A'C'// AC ⇒ A ' C '// ( B ' AC ) nên: Hãy tham gia STRONG TEAM TOÁN VD-VDC- Group dành riêng cho GV-SV toán! Trang Mã đề X Sản phẩm Group FB: STRONG TEAM TOÁN VD VDC 2019 TỔ 11 - LẦN - HSG TỈNH QUẢNG NINH - d ( A ' C ', B ' C ) = d ( A ' C ', ( B ' AC ) ) = d ( C ', ( B ' AC ) ) = d ( B, ( B ' AC ) ) = Dựng DJ ⊥ AC ( J ∈ AC ) Dựng DK ⊥ JB ' ( K ∈ JB ') Ta có Ta dễ dàng chứng minh DJ //AB BC d ( D, ( B ' AC ) ) DC DK ⊥ ( B ' AC ) ⇒ d ( D, ( B ' AC ) ) = DK · = BI = cos B· ' BD = cos IBH Ta có: BH BD 2a DJ CD 4a cos B· ' BD = ⇒ BD = BB '.cos B· ' BD = ⇒ = = ⇒ DJ = Mà BB ' AB CB 5 IH B ' D 4a · sin B· ' BD = sin IBH = = = ⇒ B'D = Ta có: BH BB ' 1 25 25 175 = + 2= + 2= 2 Xét tam giác B ' DJ vuông D có: DK B ' D DJ 96a 16a 96a Vậy: d ( A ' C ', B ' C ) = BC 4a 42 a 42 DK = = DC 35 Câu CC ′ ⊥ AH ⇒ CC ′ ⊥ ( AHE ) Dựng HE ⊥ CC ′ ( E ∈ CC ′ ) Ta có CC ′ ⊥ HE Ta có góc hai mặt phẳng HE ( tam giác AHE Xét tam giác vuông ( BCC ′B′ ) H nên cot β = HE AH vng AHE , ta có ( ACC′ A′ ) góc hai đường thẳng AE · góc nhọn) HEA a a a BH = , AH = , IH = AH cot α = cot α Ta có 2 Do tam giác BHI HI < BH ⇒ a a cot α < ⇒ cot α < ⇒ 60° < α < 90° 2 vng I nên Vì a BC HE HC HE 3HI BH = = ⇒ = = ⇒ HE = 3HI ⇒ cot β = = = 3cot α ( 60° < α < 90° ) HI HB AH AH Vậy cot β = 3cot α ( 60° < α < 90° ) Hãy tham gia STRONG TEAM TOÁN VD-VDC- Group dành riêng cho GV-SV toán! Trang Mã đề X