Sản phẩm Group FB: STRONG TEAM TOÁN VD VDC TỔ 11 - LẦN - HSG TỈNH VĨNH PHÚC - 2019 ĐỀ THI HỌC SINH GIỎI TỈNH VĨNH PHÚC NĂM HỌC 2018 – 2019 Mơn: Tốn Lớp: 12 ĐỀ THI HỌC SINH GIỎI TOÁN LỚP 12 TỈNH VĨNH PHÚC- NĂM 2018-2019 Câu 1: C Viết phương trình tiếp tuyến C Cho hàm số y x 14 x 20 x có đồ thị biết tiếp tuyến song song với đường thẳng : y 4 x 15 Lời giải Tác giả: Hoa Mùi ; Fb: Hoa Mùi x 28 x 20 Ta có: y x 14 x 20 x � y� Gọi M x0 ; y0 tiếp điểm Tiếp tuyến song song với đường thẳng : y 4 x 15 x0 4 � hệ số góc tiếp tuyến là: ktt 4 � y� x0 � y0 11 � � y� x0 4 � x03 28 x0 20 4 � x03 28 x0 24 � �x0 � y0 � x0 3 � y0 101 � Phương trình tiếp tuyến M 1;11 là: y 4 x 1 11 4 x 15 (loại) Phương trình tiếp tuyến M 2; là: y 4 x 4 x 12 (nhận) Phương trình tiếp tuyến M 3; 101 là: y 4 x 3 101 4 x 113 (nhận) Vậy tiếp tuyến thỏa yêu cầu là: y 4 x 12 , y 4 x 113 Câu 2: Giải phương trình cos x 1 2sin x cos x sin x sin x Lời giải Tác giả: Nguyễn Tường Lĩnh; Fb: Khoisx Bvkk Ta có: cos x 1 2sin x cos x sin x sin x Hãy tham gia STRONG TEAM TỐN VD-VDC- Group dành riêng cho GV-SV tốn! Trang Mã đề X Sản phẩm Group FB: STRONG TEAM TOÁN VD VDC TỔ 11 - LẦN - HSG TỈNH VĨNH PHÚC - 2019 � 2cos x 1 2sin x cos x sin x sin x � cos x 1 2sin x cos x sin x cos x 1 � cos x 1 sin x cos x � x k 2 � � �� x k 2 � � cos x cos x � � �� �� � x k cos x sin x � � tan x � � � x k 2 � � � x k 2 � � � x k Vậy tập nghiệm phương trình là: � Câu Tìm tất giá trị thực tham số m để hàm số 1; � biến khoảng k �� y 3 x m 1 x 3mx m đồng Lời giải Tác giả: Hoàng Văn Lâm; Fb: LamHoang Tập xác định: D � y� x m 1 x 3m y� �0 x � 1; � � x m 1 x 3m �0 x � 1; � x 3x x 0, x � 1; � � 3m � x x � 1; � Với x2 8x x 3x � f x x � 1; � � f x x 1 x 1 Xét hàm � x (tm) � � f� x � x 8x � � � x (l ) � Bảng biến thiên Hãy tham gia STRONG TEAM TOÁN VD-VDC- Group dành riêng cho GV-SV toán! Trang Mã đề X Sản phẩm Group FB: STRONG TEAM TOÁN VD VDC Vậy Câu 3� m۳ TỔ 11 - LẦN - HSG TỈNH VĨNH PHÚC - 2019 m y x3 x m Tìm tất giá trị thực tham số m để hàm số có năm điểm cực trị Lời giải Tác giả: Huỳnh Anh Kiệt ; Fb: Huỳnh Kiệt y x3 x m Hàm số có năm điểm cực trị hàm số y x x m cắt trục hoành điểm phân biệt phương trình x3 x m 1 Ta có có nghiệm phân biệt 1 � x3 3x m x0 � f �( x) 3x x � � x2 � Xét hàm số f ( x) x 3x ta có Hãy tham gia STRONG TEAM TỐN VD-VDC- Group dành riêng cho GV-SV tốn! Trang Mã đề X Sản phẩm Group FB: STRONG TEAM TOÁN VD VDC Từ bảng biến thiên ta có phương trình 4 m � m Câu 1 TỔ 11 - LẦN - HSG TỈNH VĨNH PHÚC - 2019 có nghiệm phân biệt � � un ln � 1 2� un n 1 � � � �, n �� Tìm giá trị biểu thức Cho dãy số có số hạng tổng quát H 2019.eu1 eu2 eu2018 Lời giải Tác giả: Lê Ngọc Hùng ; Fb: Hung Le � � n n 2 un ln � 1 ln 2� n n 1 � � � � Ta có: Do n k k 2 1.2.3 n n n! n ! n2 u ln ln ln ln � � k 2 2 n 1 22.32 n 1 i 1 k 1 k 1 � n 1 !� � �.2! n 2018 H 2019.e e e u1 Suy Câu u2 u2018 2019.e �uk k 1 2019.e ln 2018 2 20181 2019 2020 1010 2.2019 Xếp mười học sinh gồm bốn học sinh lớp 12 , ba học sinh lớp 11 ba học sinh lớp 10 ngồi vào hàng ngang gồm 10 ghế đánh số từ đến 10 Tính xác suất để khơng có hai học sinh lớp 12 ngồi cạnh Lời giải Tác giả: Hoàng Minh Thành ; Fb: Hoàng Minh Thành Số cách xếp 10 học sinh là: n() 10! Gọi A biến cố "Khơng có hai học sinh lớp 12 ngồi cạnh nhau" Số cách xếp học sinh gồm lớp 11 lớp 10 : 6! Vì học sinh xếp tạo khoảng trống ( khoảng học sinh khoảng vị trí hai đầu) nên chọn vị trí để xếp học sinh lớp 12 có A7 cách Suy : n( A) 6! A7 Xác suất biến cố A : P( A) n( A) n ( ) Vậy xác suất để khơng có hai học sinh lớp 12 ngồi cạnh là: Câu Cho hai đường thẳng Ax, By chéo nhau, vng góc nhận đoạn AB làm đoạn vng góc chung Hai điểm M , N di động Ax, By cho AM BN MN Gọi O trung Hãy tham gia STRONG TEAM TỐN VD-VDC- Group dành riêng cho GV-SV tốn! Trang Mã đề X Sản phẩm Group FB: STRONG TEAM TOÁN VD VDC TỔ 11 - LẦN - HSG TỈNH VĨNH PHÚC - 2019 điểm đoạn AB Chứng minh tam giác OMN tam giác tù khoảng cách từ O đến đường thẳng MN không đổi M , N di động Ax, By Lời giải Tác giả: Nguyễn Trần Vũ; Fb: Nguyễn Trần Vũ Dựng hình chữ nhật ABPM Ta có: �AB BN � MP NP � MP / / AB mà �AB BP �BN AB � BN ( ABPM ) � BN BP � �BN AM 2 2 2 2 Do đó: MN MP NP MP BP BN AB AM BN 2 Theo đề ta có MN AM BN � MN AM BN AM BM Suy ra: AM BN AB Áp dụng hệ định lí cơsin cho tam giác OMN , ta có: uuu r uuuu r uuu r uuur OA AM OB BN 2 AM BN OM ON MN � cos MON 2OM ON 2OM ON uuu r uuuur uuur uuur OA2 2OA AM AM OB 2OB.BN BN AM AM BN BN 2OM ON 2 2 AB AB 2 OA OB AM BN AB 0 2OM ON 2OM ON 4OM ON 2 � � MON góc tù � (đpcm) Kẻ OH MN , H �MN Hãy tham gia STRONG TEAM TOÁN VD-VDC- Group dành riêng cho GV-SV toán! Trang Mã đề X Sản phẩm Group FB: STRONG TEAM TOÁN VD VDC TỔ 11 - LẦN - HSG TỈNH VĨNH PHÚC - 2019 Trên tia đối tia Ax lấy điểm Q cho AQ BN Do OAQ OBN c g c � OQ ON � OMQ OMN c c c � OA OH Vì MN AM BN AM AQ MQ Vậy Câu d O, MN OH AB không đổi Cho tứ diện ABCD điểm M , N , P điểm thuộc cạnh BD, BC , AC MNP cho BD BM , BC BN , AC AP mặt phẳng cắt AD điểm Q Tính tỉ số thể MNP tích hai phần khối tứ diện ABCD cắt mặt phẳng Lời giải Tác giả: Hồ Thanh Nhân; Fb:NhanHoThanh Trong mặt phẳng BCD gọi I giao điểm MN CD , Q giao điểm IP AD � AD cắt mặt phẳng MNP Q Áp dụng định lý Menelaus cho tam giác BCD có ba điểm N , M , I thẳng hàng NB IC MD IC 1� 3 NC ID MB ID Áp dụng định lý Menelaus cho tam giác ACD có ba điểm P, I , Q thẳng hàng PA IC QD QD 1� PC ID QA QA Áp dụng định lý Menelaus cho tam giác ICN có ba điểm D, M ,P thẳng hàng DC MI BN MI 1� 2 DI MN BC MN Áp dụng định lý Menelaus cho tam giác IPC có ba điểm D, Q, A thẳng hàng DC QI AP IQ 1� DI QP AC QP Hãy tham gia STRONG TEAM TOÁN VD-VDC- Group dành riêng cho GV-SV toán! Trang Mã đề X Sản phẩm Group FB: STRONG TEAM TOÁN VD VDC TỔ 11 - LẦN - HSG TỈNH VĨNH PHÚC - 2019 Áp dụng cơng thức tính tỉ số thể tích ta có: VIMQD VINPC IQ IM ID 2 IP IN IC 3 15 VINPC CN CP VABCI CP CA � Từ (1),(2) (3) � Câu VCDMNPQ VABCD 2 VINPC , VABCD 1 VABCI CI V CD ABCD ; VIMQD VABCD 3 15 10 V 13 VABMNPQ 13 � ABMNPQ � 1 VCDMNPQ 13 10 20 VABCD 20 20 G 3;3 Trong mặt phẳng với hệ trục tọa độ Oxy , cho hình vng ABCD , điểm trọng tâm E 1;3 tam giác ABD Đường thẳng qua A vng góc với BG cắt BD điểm Tìm tọa độ đỉnh hình vng ABCD biết đỉnh A có tung độ lớn Lời giải Tác giả: Thành Lê; Fb: Thành Lê Gọi M trung điểm cạnh AD , H giao điểm AE BM , K giao điểm GE AB Vì AG BE (do AC BD ) BG AE (gt) nên G trực tâm tam giác ABE � GE AB , GE // AD KG BG GE BG Ta có AM BM KG // AM MD BM GE // MD KG GE Suy AM MD , mà AM MD � KG GE � G trung điểm �x xG xE KE � �K � K (5;3) �yK yG yE uuur EG 2;0 � AB : x K (5;3) AB qua có véctơ pháp tuyến � Vì A �AB � A(5; y A ) với y A Mặt khác KAG 45�� AKG vuông cân nên KA KG Hãy tham gia STRONG TEAM TOÁN VD-VDC- Group dành riêng cho GV-SV toán! Trang Mã đề X Sản phẩm Group FB: STRONG TEAM TOÁN VD VDC TỔ 11 - LẦN - HSG TỈNH VĨNH PHÚC - 2019 y 5 � � y A 3 � �A A 5;5 yA � , mà y A nên uuur uuur �x 6 AC AG � �C � C 1; 1 yC 6 � Ta có uuur uuur �x 6 AD 3GE � �D � D 1;5 y �D uuu r uuur �x AB DC � �B � B 5; 1 �yB 6 �3 � �2 � �4 � 1� 1� � � � 1� 0;3 x y x , y , z � � �z � Tìm giá trị � � Câu 10 Cho ba số thực thuộc khoảng thỏa mãn x2 y z P 16 nhỏ biểu thức Lời giải Tác giả: Dương Quang Hưng ; Fb: Dương Quang Hưng x y z a ,b ,c Đặt: � 3� � 3� �1 � �1 � �1 � a �� 0; � , b � 0;1 , c �� 0; � 1� 1� � � � 1� a b � � � � � � � � �c � Khi ta có , thỏa mãn P a b2 c2 �1 � �1 � �1 � � 1� � 1� � 1� � ab bc ca 2abc a b c �b � �c � Từ: �a � �a b c � � ��abc � � Ta có: P a b c ab bc ca a b c a b c 4abc 2 Do đó: � a b c a b c 2 a b c 27 � 13 � t a b c, t �� 0; � P � t t 2t � � Khi đó: 27 Đặt Xét hàm số f t � 13 � t t 2t 2, t �� 0; � 27 � 4� f� t t 2t f � t � t t Ta có: ; Hãy tham gia STRONG TEAM TOÁN VD-VDC- Group dành riêng cho GV-SV toán! Trang Mã đề X Sản phẩm Group FB: STRONG TEAM TOÁN VD VDC TỔ 11 - LẦN - HSG TỈNH VĨNH PHÚC - 2019 Bảng biến thiên: t f� t 13 0 211 216 3 f t � , t � 0;3 t Từ bảng biến thiên suy Dấu xảy Khi t Do đó: 3 abc x 1, y , z 2 ta được: suy P 3 � x 1, y , z Hãy tham gia STRONG TEAM TOÁN VD-VDC- Group dành riêng cho GV-SV toán! Trang Mã đề X