Sản phẩm Group FB: STRONG TEAM TOÁN VD VDC Đề HSG lớp 12 tỉnh Thái Nguyên Năm 2018-2019-Tổ ĐỀ HSG LỚP 12 TỈNH THÁI NGUYÊN NĂM 2018 – 2019 MƠN TỐN TIME: 180 PHÚT Câu (4.0 điểm) Cho hàm số y = x − 3x + có đồ thị ( C ) , đường thẳng ( d ) qua A ( 1;2 ) có hệ số góc m Tìm m để ( d ) cắt ( C ) ba điểm phân biệt A , B , C cho BC = ( Câu (4 điểm) Giải phương trình x − x + x + 12 = ( x − 3) x − + x − )( ) x − −1 u1 = ∞ Câu (4.0 điểm) Cho dãy số ( un ) n =1 thỏa mãn Tìm giới hạn u1 + u2 + K + un −1 + un = n un , n ≥ lim ( n 2un ) Câu (4.0 điểm) Cho hình chóp S ABC có đáy ABC tam giác vng cân B , AB = a Gọi I trung điểm AC Biết hình chiếu S lên mặt phẳng ABC điểm H thỏa mãn uur uuu r BI = 3IH góc hai mặt phẳng ( SAB ) ; ( SBC ) 600 Tính thể tích khối chóp S ABC cho tính khoảng cách hai đường thẳng AB , SI theo a 2 Bài ( 4.0 điểm) Cho số thực dương x, y thỏa mãn điều kiện x + y = Tìm giá trị lớn biểu thức P = ( x + y ) − x + xy + y Hãy tham gia STRONG TEAM TOÁN VD-VDC- Group dành riêng cho GV-SV toán! Trang Sản phẩm Group FB: STRONG TEAM TOÁN VD VDC Đề HSG lớp 12 tỉnh Thái Nguyên Năm 2018-2019-Tổ GIẢI CHI TIẾT ĐỀ HSG LỚP 12 TỈNH THÁI NGUN NĂM 2018 – 2019 MƠN TỐN TIME: 180 PHÚT Câu (4.0 điểm) Cho hàm số y = x − 3x + có đồ thị ( C ) , đường thẳng ( d ) qua A ( 1;2 ) có hệ số góc m Tìm m để ( d ) cắt ( C ) ba điểm phân biệt A , B , C cho BC = Lời giải Tác giả: Nguyễn Thế Quốc; Fb: Quốc Nguyễn Phương trình đường thẳng ( d ) qua điểm A có hệ số góc m y = m ( x − 1) + Phương trình hồnh độ giao điểm ( d ) ( C ) x − 3x + = m ( x − 1) + ⇔ x − x − mx + m + = x = ⇔ ( x − 1) ( x − x − m − ) = ⇔ g ( x) = x − 2x − m − = Giả sử g ( x ) = có hai nghiệm x1 , x2 , x1 , x2 hoành độ điểm B C Theo định lí Vi-et ta có x1 + x2 = x1 x2 = − m − Vì hai điểm B C thuộc đường thẳng ( d ) nên B ( x1 ; m ( x1 − 1) + ) , C ( x2 ; m ( x2 − 1) + ) Khi BC = ( x2 − x1 ) + ( y2 − y1 ) = ( x2 − x1 ) + m ( x2 − 1) − m ( x1 − 1) 2 = ( x2 − x1 ) + m ( x2 − x1 ) = ( x2 − x1 ) 2 (m 2 + 1) = ( m + 1) ( x1 + x2 ) − x1 x2 = ( m + 1) − ( − m − ) = ( m + 1) [ 4m + 12 ] = 4m3 + 12m + 4m + 12 = 32 ⇔ m = Thử lại, thay m = vào g ( x ) = x − x − = ⇔ x1 = −1; x2 = (thỏa mãn) Vậy m = ( Câu (4 điểm) Giải phương trình x − x + x + 12 = ( x − 3) x − + x − )( ) x − −1 Lời giải Tác giả: Nguyễn Thành Biên ; Fb: BienNguyenThanh Điều kiện x − ≥ ⇔ x ≥ Hãy tham gia STRONG TEAM TOÁN VD-VDC- Group dành riêng cho GV-SV toán! Trang Sản phẩm Group FB: STRONG TEAM TOÁN VD VDC Đề HSG lớp 12 tỉnh Thái Nguyên Năm 2018-2019-Tổ Phương trình cho tương đương với ( x − ) ( x − x − 3) = ( x − 3) ( x − + ) ( x − − 1) ( x − − 1) ( x − + 1) ( x − 3x − 3) = ( x − 3) ( x − + x − ) ( x−3 ) x − −1 x − − = → x−3 =1⇔ x = x − + ( x − 3x − 3) = ( x − ) x − + x − ( ) ( ) ( *) Dễ thấy x = khơng nghiệm phương trình cho Với x > , giải phương trình ( *) ta ( x − 4) ⇔ x2 − 3x − x − + x − = x−3 x − +1 + ( x − 4) + x − + x − + ⇔ f ( x − 4) = f = x − +1 x − +1 Xét hàm số f ( t ) = ( ) x−3 t + 5t + > 0, ∀t > −1 ( −1; +∞ ) , có f ′ ( t ) = + ( t + 1) t +1 Suy f ( t ) hàm số đồng biến ( −1; +∞ ) mà f ( x − ) = f ( ) x−3 x − ≥ x ≥ 9+ ⇔ ⇔ x= Do x − = x − ⇔ 2 ( x − ) = x − x − x + 19 = Vậy phương trình cho có nghiệm x = ; x = 9+ u1 = ∞ Câu (4.0 điểm) Cho dãy số ( un ) n =1 thỏa mãn Tìm giới hạn u1 + u2 + K + un −1 + un = n un , n ≥ lim ( n 2un ) Lời giải Tác giả: HoàngQuyên ; Fb: HoàngQuyên Theo giả thiết ta có : ( n + 1) un +1 = ( u1 + u2 + K + un ) + un +1 = n 2un + un +1 ⇒ ( n + 2n ) un +1 = n 2un ⇒ ( n + ) un +1 = nun ⇒ un +1 = =K = n n n −1 n n −1 n − un = un −1 = un − n+2 n + n +1 n + n +1 n n n −1 n − K u1 = n + n +1 n ( n + ) ( n + 1) ⇒ un = 4n 4n ⇒ n un = ⇒ lim n 2un = lim ÷= n ( n + 1) n +1 n +1 Hãy tham gia STRONG TEAM TỐN VD-VDC- Group dành riêng cho GV-SV tốn! Trang Sản phẩm Group FB: STRONG TEAM TOÁN VD VDC Đề HSG lớp 12 tỉnh Thái Nguyên Năm 2018-2019-Tổ Câu (4.0 điểm) Cho hình chóp S ABC có đáy ABC tam giác vng cân B , AB = a Gọi I trung điểm AC Biết hình chiếu S lên mặt phẳng ABC điểm H thỏa mãn uur uuu r BI = 3IH góc hai mặt phẳng ( SAB ) ; ( SBC ) 600 Tính thể tích khối chóp S ABC cho tính khoảng cách hai đường thẳng AB , SI theo a Lời giải Tác giả: Nguyễn Thùy Linh; Fb:Nguyễn Thùy Linh Cách 1: BH ⊥ AC ⇒ AC ⊥ ( SBH ) ⇒ AC ⊥ SB a) Từ giả thiết toán ta có SH ⊥ AC AJ ⊥ SB ⇒ góc hai mặt phẳng ( SAB ) ( SCB ) góc hai đường Kẻ IJ ⊥ SB ⇒ CJ ⊥ SB thẳng AJ CJ Dễ thấy ∆AIJ tam giác cân J , kết hợp với giả thiết góc hai mặt phẳng ( SAB ) ( SBC ) 600 ta có hai trường hợp sau : TH1: ·AJC = 600 ⇒ ·AJI = 300 Ta có IJ = AI tan 600 = a a ⇒ ∆BIJ vng J có BI = < IJ ( Loại ) 2 TH2: ·AJC = 1200 ⇒ ·AJI = 600 Ta có IJ = AI tan 30 = ∆BIJ : ∆BSH ⇒ SH = Ta có SH = a ⇒ ∆BIJ vng J có BJ = BI − IJ = a IJ BH a 2a Mặt khác IB = AC = ⇒ BH = BJ 2 2a a3 (đvtt) ⇒ VS ABC = SH S ABC = 3 Hãy tham gia STRONG TEAM TOÁN VD-VDC- Group dành riêng cho GV-SV toán! Trang Sản phẩm Group FB: STRONG TEAM TOÁN VD VDC Đề HSG lớp 12 tỉnh Thái Nguyên Năm 2018-2019-Tổ b) Gọi E trung điểm BC ⇒ IE PAB Do ta có d ( AB , SI ) = d ( AB , ( SIE ) ) = d ( B , ( SIE ) ) uur uuu r Do BI = 3IH ⇒ d ( B , ( SIE ) ) = 3d ( H , ( SIE ) ) Kẻ HK ⊥ IE , K ∈ IE Mặt khác ta lại có SH ⊥ ( ABC ) ⇒ SH ⊥ IE ⇒ IE ⊥ ( SHK ) ⇒ ( SIE ) ⊥ ( SHK ) Kẻ HF ⊥ SK ⇒ HF ⊥ ( SIE ) ⇒ d ( H , ( SIE ) ) = HF ⇒ d ( AB , SI ) = 3HF Xét tam giác vuông SHK ta có : Mặt khác 1 = + ⇒ HF = 2 HF HK HS SH HK SH + HK HK IH 1 a 2a 17 = = ⇒ HK = BE = ⇒ HF = BE IB 3 51 Vậy d ( AB , SI ) = 3HF = 2a 17 17 Cách 2: Chọn hệ trục tọa độ Bxyz với A ∈ Bx , C ∈ By, Bz // SH Khơng tính tổng qt ta chọn a =1 1 Ta có : B ( 0;0;0 ) , A ( 1;0;0 ) , C ( 0;1;0 ) ⇒ I ; ;0 ÷ 2 uur uuu r 2 2 Do BI = 3IH ⇒ H ; ;0 ÷ Gọi S ; ; h ÷ với h > 3 3 uuu r 2 uuur uuu r BA = ( 1;0;0 ) , BS = ; ; h ÷ , BC = ( 0;1;0 ) 3 ur uuu r uuu r r uuur uuu r uu 2 n1 = BA , BS = 0; − h ; ÷ , n2 = BC , BS = h ;0; − ÷ 3 3 Hãy tham gia STRONG TEAM TOÁN VD-VDC- Group dành riêng cho GV-SV toán! Trang Sản phẩm Group FB: STRONG TEAM TOÁN VD VDC Đề HSG lớp 12 tỉnh Thái Nguyên Năm 2018-2019-Tổ ur uu r n n 2 2 2 r ⇒h = ⇒S ; ; ÷ Do góc ( SAB ) ( SBC ) 600 nên cos 60 = ur uu 3 3 n1 n2 1 1 a3 VS ABC = SH S ABC = = Do chọn a = nên VS ABC = ( đvtt ) 3 9 uur 1 uuu r uur uuu r uur 1 Ta có : BA = ( 1;0;0 ) , SI = − ; − ;0 ÷, BA , SI = 0;0; − ÷ , BI = ; ;0 ÷ 6 6 2 uuu r uur uur BA , SI BI 17 2a 17 d ( AB , SI ) = = uuu r uur Do chọn a = nên d ( AB , SI ) = 17 BA , SI 17 2 Bài ( 4.0 điểm) Cho số thực dương x, y thỏa mãn điều kiện x + y = Tìm giá trị lớn biểu thức P = ( x + y ) − x + xy + y Lời giải Ta có: x + xy + y = 16 x + 32 xy + 128 y = ( x − y ) + ( x + 10 y ) ≥ x + 10 y (1) 2 Suy P = ( x + y ) − x + xy + y ≤ ( x + y ) − ( x + 10 y ) = ( x + y ) 1 y ÷ ≤ + ÷( x + y ) = ⇒ P ≤ 4.2 = (2) Mặt khác: x + y = 1.x + 2 7 ( x − y ) = x = x 2y ⇔ Dấu đẳng thức xảy (1) (2) = 1 y = x2 + y = x = Vậy GTLN P = đạt y = Hãy tham gia STRONG TEAM TOÁN VD-VDC- Group dành riêng cho GV-SV toán! Trang