Sản phẩm Group FB: STRONG TEAM TOÁN VD VDC TỔ 3- LẦN 2- HSG Hậu Lộc ĐỀ THI HỌC SINH GIỎI HẬU LỘC THANH HÓA NĂM HỌC 2018 – 2019 Mơn: Tốn Lớp: 11 ĐỀ BÀI Câu 1: (4,0 đ1ểm) Cho hàm số y = x + x − (*) đường thẳng d : y = 2mx − ( P ) tạ1 ha1 đ1ểm Lập bảng b1ến th1ên vẽ đồ thị ( P) hàm số (*) Tìm m để d cắt x1 + m x2 + m + = − x , x x − x − 1 2 phân b1ệt có hồnh độ thỏa mãn 2 G1ả1 bất phương trình ( x + − x − 1) ×(1 + x + x − 3) ≥ Câu 2: (4,0 đ1ểm) ( + s in x + cos2x ) sin x + G1ả1 phương trình 1+tanx π ÷ 4 = cosx x + + y + = − x + y x + y + = ( x − y + 1) + 3x + 2 G1ả1 hệ phương trình Câu 3: ( x, y ∈ ¡ ) (4,0 đ1ểm) Cho a, b, c số thực dương thỏa mãn abc = Chứng m1nh b+c c+a a +b + + ≥ a + b + c +3 a b c u1 = 2018 3n + 9n ) un +1 = ( n + 5n + ) un , n ≥ ( Cho dãy số (un) xác định bở1 3n lim un ÷ n Tính g1ớ1 hạn Câu 4: (4,0 đ1ểm) Tìm m để hệ phương trình sau có ngh1ệm 3 x − x + = y + 18 − y ( I) 3 x + y − − 6m = A ( −3;1) Trong mặt phẳng vớ1 hệ tọa độ Oxy , cho hình chữ nhật ABCD , có đỉnh , đỉnh C nằm đường thẳng ∆ : x − y − = Trên t1a đố1 t1a CD lấy đ1ểm E cho CE = CD , b1ết N ( 6; −2 ) hình ch1ếu vng góc D lên đường thẳng BE Xác định tọa độ đỉnh lạ1 hình chữ nhật ABCD Câu 5: (4,0 đ1ểm) Sản phẩm Group FB: STRONG TEAM TOÁN VD VDC TỔ 3- LẦN 2- HSG Hậu Lộc u1 = un +1 − un = un2 − un ) , ∀n ≥ ( u ( ) 2018 Cho dãy số n xác định Tính g1ớ1 hạn sau u un u lim + + + ÷ un +1 − u2 − u3 − Trong mặt phẳng vớ1 hệ tọa độ Oxy , cho tam g1ác ABC nộ1 t1ếp đường tròn ( C ) : x + y = 25 , đường thẳng AC đ1 qua đ1ểm K ( 2;1) Gọ1 M , N chân đường cao kẻ từ đỉnh B C Tìm tọa độ đỉnh tam g1ác ABC , b1ết phương trình đường thẳng MN x − y + 10 = đ1ểm A có hồnh độ âm HƯỚNG DẪN G1Ả1 Câu 1: (4,0 đ1ểm) Cho hàm số y = x + x − (*) đường thẳng d : y = 2mx − ( P ) tạ1 ha1 đ1ểm Lập bảng b1ến th1ên vẽ đồ thị ( P) hàm số (*) Tìm m để d cắt x1 + m x2 + m + = − x1 , x2 x − x − phân b1ệt có hồnh độ thỏa mãn 2 G1ả1 bất phương trình ( x + − x − 1) ×(1 + x + x − 3) ≥ Lờ1 g1ả1 Xét hàm số y = x + x − (*) đường thẳng d : y = 2mx − + Lập bảng b1ến th1ên vẽ đồ thị ( P) hàm số y = x + x − 3(*) b − = −1 2a Hàm số bậc ha1 y = x + x − 3(*) có a = 1, b = 2, c = −3, Vớ1 x = −1 y = −4 Bảng b1ến th1ên hàm số (*) sau Đồ thị ( P) parabol có bề lõm hướng lên trên, có trục đố1 xứng đường thẳng x = −1 , cắt trục hoành tạ1 ha1 đ1ểm (xem hình vẽ sau) ( 1;0 ) , ( −3; ) , cắt trục tung tạ1 đ1ểm ( 0; −3) , có đỉnh ( P) + Xét phương trình hồnh độ đ1ểm chung d I ( −1; −4) Sản phẩm Group FB: STRONG TEAM TOÁN VD VDC TỔ 3- LẦN 2- HSG Hậu Lộc x + x − = 2mx − ⇔ x − ( m − 1) x + = ( 1) ( P ) tạ1 ha1 đ1ểm phân b1ệt có hồnh độ x1 , x2 kh1 kh1 phương Đường thẳng d cắt m > 2 ⇔ ∆′ = ( m − 1) − > ⇔ (2) x ,x m < trình (1) có ha1 ngh1ệm phân b1ệt x1 + x2 = ( m − 1) (3) x x = Kh1 đó, theo định lí V1ète, ta có Như x1 + m x2 + m + = −6 x2 − x1 − x12 + x22 + ( m − 1) ( x1 + x2 ) − 2m ⇔ = −6 x1 x2 − ( x1 + x2 ) + (x +x ) ⇔ 2 − x1 x2 + ( m − 1) ( x1 + x2 ) − 2m = −6 x1 x2 − ( x1 + x2 ) + ( m − 1) − + ( m − 1) − 2m ⇔ = −6 − ( m − 1) + 2 ( ( 3) ) ( m − 1) − + ( m − 1) − 2m ⇔ = −6 − 2m 6 ( m − 1) − 2m − = −6 ( − 2m ) ⇔ − 2m ≠ m = 3m − 13m + 14 = 7 ⇔ ⇔ m = ⇔ m = 3 m ≠ m ≠ 2 G1á trị m= 7 m= thỏa mãn đ1ều k1ện (2) Vậy g1á trị cần tìm Xét bất phương trình ( x + − x − 1) ×(1 + x + x − 3) ≥ ( 1) Đ1ều k1ện x ≥ (2) Nhận thấy có ( 1) ⇔ x + + x − > 0, ∀x ≥ Do đó, vớ1 mọ1 x thỏa mãn (2) ta ×(1 + x + x − 3) ≥4 x + + x −1 ⇔ + x2 + x − ≥ x + + x −1 ⇔ + x + x − + x + x − ≥ x + + x − + ( x + 3)( x − 1) x ≤ −2 ⇔ x2 − ≥ ⇔ x ≥ Kết hợp vớ1 đ1ều k1ện (2) suy tập ngh1ệm bất phương trình (1) Câu 2: (4,0 đ1ểm) S = [ 2; +∞ ) × Sản phẩm Group FB: STRONG TEAM TOÁN VD VDC ( + s in x + cos2x ) sin x + 1+tanx G1ả1 phương trình TỔ 3- LẦN 2- HSG Hậu Lộc π ÷ 4 = cosx x + + y + = − x + y x + y + = ( x − y + 1) + 3x + ( x, y ∈ ¡ ) G1ả1 hệ phương trình Lời giải π ( + s in x + cos2x ) sin x + ÷ 4 = cosx (1) 1+tan x Xét phương trình cosx ≠ cosx ≠ ⇔ tanx ≠ −1 (2) Đ1ều k1ện 1 + tanx ≠ Vớ1 đ1ều k1ện (2) (1) ⇔ ( + s inx + cos2 x ) sin x + π ÷ 4 = cos x s inx 1+ cos x cos x ( + s inx + cos2 x ) cos x + s inx ⇔ = cos x cos x + s inx 2 ⇔ + s inx + cos x = −1 s inx = ⇔ −2s in x + s inx + = ⇔ sin x = Vớ1 s inx = cos x = 0, không thõa mãn đ1ều k1ện (2) 1 cos x = ± ≠ 0, tan x = ± ≠ −1 sin x = − Vớ1 nên (2) thỏa mãn −π x = + k 2π ⇔ (k ∈ ¢ ) −π 7π sin x = − ⇔ s in x = sin x= + k 2π ÷ Ta có: −π 7π x= + k 2π x = + k 2π 6 Vậy phương trình (1) có ngh1ệm , , k ∈¢ x + + y + = − x + y (1) x + y + = ( x − y + 1) + 3x + (2) Xét hệ phương trình x ≥ − , y ≥ −1 4 − x + y ≥ Đ1ều k1ện x − y + ≥ (3) Vớ1 x, y thỏa mãn hệ đ1ều k1ện (3), ta có ( x, y ∈ ¡ ) Sản phẩm Group FB: STRONG TEAM TOÁN VD VDC TỔ 3- LẦN 2- HSG Hậu Lộc ( x + 1) ( y + 1) = − x + y ( x + 1) ( y + 1) = ⇔ x + + ( x + 1) ( y + 1) − ( y + 1) = (1) ⇔ x + y + + ⇔ x − y −1+ ⇔ ( x +1 − y +1 )( ) x +1 + y +1 = ⇔ x +1 = Thay y = x vào phương trình (2) ta có x + x + = x + + 3x + ( ) ( y + ⇔ x = y ) ⇔ x − x − + x + − x + + x + − 3x + = x2 − x −1 x2 − x −1 + =0 5x + + x + 3x + + x + 1 ⇔ ( x − x − 1) 1 + + ÷= 5x + + x +1 3x + + x + 1 ⇔ x − x − = (do + + > 0, ∀x ≥ − ) 5x + + x + 3x + + x + ⇔ x2 − x −1 + 1+ 1+ ⇒y= x = 2 ⇔ 1− 1− ⇒y= x = 2 Đố1 ch1ếu vớ1 hệ đ1ều k1ện (3) suy hệ phương trình cho có ha1 ngh1ệm 1+ 1+ 1− 1− ; ÷ ÷; ; ÷ ÷ 2 ( x, y ) = Câu 3: (4,0 đ1ểm) Cho a, b, c số thực dương thỏa mãn abc = Chứng m1nh b+c c+a a +b + + ≥ a + b + c +3 a b c u1 = 2018 ( 3n + 9n ) un+1 = ( n2 + 5n + 4) un , n ≥ Tính g1ớ1 hạn Cho dãy số (un) xác định bở1 3n lim un ÷ n Lời giải Áp dụng bất đẳng thức Cauchy ta có b + c bc bc ≥ =2 a a a c+a ca a + b ab ≥2 ; ≥2 b c c Tương tự ta b Cộng theo vế bất đẳng thức ta được: bc b+c c+a a+b ca ab + + ≥ + + ÷ b c ÷ a b c a Cũng theo bất đẳng thức Cauchy ta lạ1 có bc ca + ≥2 a b bc ca × =2 c a b Sản phẩm Group FB: STRONG TEAM TOÁN VD VDC ca ab + ≥ a; b c Áp dụng tương tự ta TỔ 3- LẦN 2- HSG Hậu Lộc ab bc + ≥2 b c a bc ca ab + + ≥ a+ b+ c a b c Cộng theo vế bất đẳng thức ta b+c c+a a+b + + ≥2 a+ b+ c b c Do ta suy a ( Ta cần chứng m1nh ( ) ) a + b + c ≥ a + b + c +3⇔ a + b + c ≥ Đánh g1á cuố1 đánh g1á theo bất đẳng thức Cauchy g1ả th1ết abc = Bà1 toán g1ả1 xong Dấu xảy kh1 kh1 a = b = c = Ta có Đặt un +1 = = un +1 ( n + 1) + 3( n + 1) un un ⇔ = 2 n + 3n ( n + 1) + 3(n + 1) n + 3n un 1 ⇒ +1 = q= n + 3n ⇒ (vn) cấp số nhân có cơng bộ1 số hạng đầu n −1 u 2018 1009 ⇒ v = 1009 v1 = = = n ÷ 3 4 n −1 1009 ⇒ un = ÷ 3 1009 3n 3n ÷ lim un ÷ = lim un ÷ = lim n n 3 Kh1 n −1 (n (n + 3n ) + 3n ) 3n ÷ n2 ÷ 3027 n + 3n 3027 3027 = lim lim 1 + ÷ = ÷= n 2 n Câu 4: (4,0 đ1ểm) 3 x − x + = y + 18 − y ( I) x + y − − m = Tìm m để hệ phương trình sau có ngh1ệm A ( −3;1) Trong mặt phẳng vớ1 hệ tọa độ Oxy , cho hình chữ nhật ABCD , có đỉnh , đỉnh C nằm đường thẳng ∆ : x − y − = Trên t1a đố1 t1a CD lấy đ1ểm E cho CE = CD , b1ết N ( 6; −2 ) hình ch1ếu vng góc D lên đường thẳng BE Xác định tọa độ đỉnh lạ1 hình chữ nhật ABCD Lời giải x ≥ −2 Đ1ều k1ện: y ≥ −6 x y x y +1 − +2 =3 + 1÷+ + ÷− 2 ⇔ x + 1 + y + = m + ÷ ÷ I 3 Ta có HPT ( ) Sản phẩm Group FB: STRONG TEAM TOÁN VD VDC TỔ 3- LẦN 2- HSG Hậu Lộc x +1 a = b = y + Đặt , đ1ều k1ện a, b ≥ Ta có hệ phương trình trở thành a + b − 2a − 2b = 2 a + b = m + ( II ) Hệ phương trình ( I ) cho có ngh1ệm ⇔ hệ ( II ) có ngh1ệm ( a; b ) vớ1 a, b ≥ ( II ) vơ ngh1ệm ⇒ hệ phương trình cho vô ngh1ệm - Nếu m ≤ −4 hệ ( II ) ta có: - Nếu m > Chọn hệ tọa độ Oab từ hệ PT (1) cho ta cung tròn phần tư thứ a, b ≥ ( C ′ ) phần đường tròn ( C ) tâm I ( 1;1) , R = 1 1 C ′) ( O ( 0;0 ) , R = C PT (2) cho ta cung tròn đường tròn ( ) tâm 2 m+4 thuộc góc thuộc góc phần tư thứ a, b ≥ ( )( ) ( I ) có ngh1ệm ⇔ C1′ , C2′ g1ao khác rỗng dựa vào hình vẽ Để hệ phương trình ta có OH ≤ R2 ≤ OK ⇔ ≤ m + ≤ + ⇔ ≤ m ≤ + 10 Vậy hệ cho có ngh1ệm ⇔ ≤ m ≤ + 10 · · · · Tứ g1ác ADBN nộ1 t1ếp ⇒ AND = ABD ABD = ACD (do ABCD hình chữ nhật) · · Suy AND = ACD hay tứ g1ác ANCD nộ1 t1ếp đường tròn, mà ·ADC = 900 ⇒ ·ANC = 900 ⇒ AN ⊥ CN uuur uuur ( − 2c ) + ( + c ) = ⇒ c = ⇒ C ( 7;1) G1ả sử , từ AN CN = ⇒ Tứ g1ác ABEC hình bình hành, suy AC / / BE Đường thẳng NE qua N song song vớ1 AC nên có phương trình y + = C ( 2c + 5; c ) Sản phẩm Group FB: STRONG TEAM TOÁN VD VDC TỔ 3- LẦN 2- HSG Hậu Lộc b = → B ≡ N ( 6; −2 ) ⇒ uuur uuu r b = −2 → B ( −2; −2 ) B ( b; − ) G1ả sử , ta có AB.CB = ⇒ b − 4b − 12 = D ( 6; ) Từ dễ dàng suy C ( 7;1) B ( −2; −2 ) D ( 6; ) Vậy , , Câu 5: (4,0 đ1ểm) u1 = un +1 − un = 2018 ( un − un ) , ∀n ≥ un ) ( Cho dãy số xác định Tính g1ớ1 hạn sau u un u lim + + + ÷ un +1 − u2 − u3 − Trong mặt phẳng vớ1 hệ tọa độ Oxy , cho tam g1ác ABC nộ1 t1ếp đường tròn ( C ) : x + y = 25 , đường thẳng AC đ1 qua đ1ểm K ( 2;1) Gọ1 M , N chân đường cao kẻ từ đỉnh B C Tìm tọa độ đỉnh tam g1ác ABC , b1ết phương trình đường thẳng MN x − y + 10 = đ1ểm A có hồnh độ âm Lời giải u un u lim + + + ÷ un +1 − u − u3 − 1 Tính g1ớ1 hạn *) Đặt x( x − 1) f (x) = x + 2018 Theo g1ả th1ết ta có un +1 = f (un ) , ∀n ≥ (1) u = nên từ (1) suy un ≥ 2,∀n ≥ Nhận thấy x ≥ f (x) > 2, mà Do un +1 − un = G1ả sử dãy ( un ) un ( un − 1) > 0, ∀n ≥ (u ) 2018 , nên dãy n dãy tăng bị chặn trên, kh1 dãy ( un ) có g1ớ1 hạn hữu hạn Đặt L ≥ un ≥ 2, ∀n ≥ Lấy g1ớ1 hạn ha1 vế (1), ta u ( u − 1) lim un +1 = lim un + n n 2018 Như dãy *) Ta có: ⇔ ( un ) L ( L − 1) L = ⇔ ÷⇔ L = L + 2018 L = (vơ lí L ≥ ) lim un = +∞ ⇒ lim = un khơng bị chặn trên, un +1 − un = un2 − un ) ⇔ un ( un − 1) = 2018 ( un +1 − un ) ( 2018 un ( un − 1) 2018 ( un +1 − un ) 2018 ( ( un +1 − 1) − ( un − 1) ) un = = = un +1 − ( un +1 − 1) ( un − 1) ( un+1 − 1) ( un − 1) ( un+1 − 1) ( un − 1) 1 = 2018 − ÷ un − un +1 − lim un = L , ta có Sản phẩm Group FB: STRONG TEAM TOÁN VD VDC Đặt Sn = TỔ 3- LẦN 2- HSG Hậu Lộc un u1 u + + + u2 − u3 − un +1 − ⇒ S n = 2018 − ÷ = 2018 1 − ÷⇒ lim S n = 2018 u1 − un +1 − un +1 − Tìm tọa độ đỉnh tam g1ác ABC ( C) Gọ1 I , J g1ao đ1ểm BM , CN vớ1 đường tròn · · · · Do tứ g1ác BCMN nộ1 t1ếp nên MBC = CNM , lạ1 có CJI = IBC (cùng chắn cung IC ) · · CJI = CNM ⇒ MN / / IJ ·ACI = ·ABI (cï ngch¾ ncung AI ) ·ABI = ·ACJ (dotøgi¸c BCMN néi tiÕp) Mặt khác: ⇒ ·ACI = ·ACJ ⇒ AI = AJ ⇒ AO ⊥ IJ ⇒ AO ⊥ MN Từ ta có O ( 0; ) +) Do OA đ1 qua vuông góc vớ1 MN : x − y + 10 = nên phương trình đường thẳng OA : x + y = A ( −4; 3) 3 x + y = ⇒ x + y = 25 A ( 4; −3 ) ( lo¹i x A < 0) Tọa độ đ1ểm A ngh1ệm hệ A ( −4;3 ) K ( 2;1) +) Vì AC đ1 qua , nên phương trình đường thẳng AC : x + y − = C ( −4;3) ≡ A (lo¹i) x + 3y − = ⇒ 2 x + y = C ( 5;0) Tọa độ đ1ểm C ngh1ệm hệ +) Do M g1ao đ1ểm AC MN nên tọa độ đ1ểm M ngh1ệm hệ 4 x − y + 10 = ⇒ M ( −1; ) x + 3y − = M ( −1; ) +) Đường thẳng BM đ1 qua vng góc vớ1 AC nên phương trình đường thẳng BM : x − y + = 3x − y + = B ( 0;5 ) ⇒ x + y = 25 B ( −3; −4 ) Tọa độ đ1ểm B ngh1ệm hệ Sản phẩm Group FB: STRONG TEAM TOÁN VD VDC Vậy A ( −4;3) , B ( −3; −4 ) , C ( 5; ) TỔ 3- LẦN 2- HSG Hậu Lộc A ( −4;3 ) , B ( 0;5 ) , C ( 5; ) ... 3n 3n ÷ lim un ÷ = lim un ÷ = lim n n 3 Kh1 n −1 (n (n + 3n ) + 3n ) 3n ÷ n2 ÷ 30 27 n + 3n 30 27 30 27 = lim lim 1 + ÷ = ÷= n 2 n Câu 4: (4, 0... + = 3x − y + = B ( 0;5 ) ⇒ x + y = 25 B ( 3; 4 ) Tọa độ đ1ểm B ngh1ệm hệ Sản phẩm Group FB: STRONG TEAM TOÁN VD VDC Vậy A ( 4 ;3) , B ( 3; 4 ) , C ( 5; ) TỔ 3- LẦN 2- HSG Hậu... A ( 4; 3) 3 x + y = ⇒ x + y = 25 A ( 4; 3 ) ( lo¹i x A < 0) Tọa độ đ1ểm A ngh1ệm hệ A ( 4 ;3 ) K ( 2;1) +) Vì AC đ1 qua , nên phương trình đường thẳng AC : x + y − = C ( 4 ;3) ≡