Tổ-5-Đ2-HSG-Lớp-12-Tỉnh-Lào-Cai-Năm-2018-2019

Sản phẩm Group FB: STRONG TEAM TOÁN VD VDC Đề HSG lớp 12 tỉnh Lào Cai năm 2018-2019-Tổ ĐỀ THI HSG LỚP 12 TỈNH LÀO CAI NĂM 2018 – 2019 MƠN TỐN TIME: 180 PHÚT Câu (5.0 điểm) ( 17 − 3x ) − x + ( y − 14 ) − y = , ( x, y ∈ ¡ ) a) Giải hệ phương trình   2 x + y + + 3 x + y + 11 = x + x + 13 b) Cho a, b, c số thực dương Tìm giá trị nhỏ biểu thức a + bc b + ca c + ab + + − 44 a + b + c b+c c+a a+b Câu (4.0 điểm) P= a) Cho hàm số y = f ( x ) có đạo hàm f ′ ( x ) = ( x − 3) 2018  2x x   e − e + ÷( x − x ) Tìm tất 3  2 2 giá trị thực m để hàm số f ( x − x + m ) có điểm cực trị cho x1 + x2 + x3 = 50 , x1 , x2 , x3 hồnh độ ba cực trị b) Cho dãy số ( u n )  u1 = ; u2 = xác định sau  u u +1 un + = n +1 n , ∀n ≥ un +1 + un  Chứng minh dãy ( un ) có giới hạn tìm giới hạn Câu (3.0 điểm) a) Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy cho hình thang vng ABCD vng A D , có CD = AD = AB Gọi M ( 2; ) điểm thuộc cạnh AB cho AB = AM Điểm N thuộc cạnh BC cho tam giác DMN cân M Phương trình đường thẳng MN x + y − = Tìm tọa độ đỉnh hình thang ABCD biết D thuộc đường thẳng d : x + y = điểm A thuộc đường thẳng d ′ : x + y − = b) Cho hình chóp S ABCD có đáy hình vng cạnh a Biết hình chiếu vng góc uuur uuuu r S mặt phẳng ( ABCD ) điểm M thỏa mãn AD = 3MD Trên cạnh CD lấy điểm I , · N cho ·ABM = MBI MN vng góc với BI Biết góc SC ( ABCD ) 60° Tính thể tích khối chóp S AMCB khoảng cách từ N đến mặt phẳng ( SBC ) Câu (3.0 điểm) Tìm tất nghiệm nguyên dương phương trình 15 x + y = z Câu (3.0 điểm) Tính tổng S = 2 2018 2018 2019 2019 2 C2019 + C2019 + + ( ) ( ) ( C2019 ) + ( C2019 ) 2019 2018 Hãy tham gia STRONG TEAM TOÁN VD-VDC- Group dành riêng cho GV-SV toán! Trang Sản phẩm Group FB: STRONG TEAM TOÁN VD VDC Đề HSG lớp 12 tỉnh Lào Cai năm 2018-2019-Tổ GIẢI CHI TIẾT ĐỀ THI HSG LỚP 12 TỈNH LÀO CAI NĂM 2018 – 2019 MÔN TOÁN TIME: 180 PHÚT Câu (5.0 điểm) ( 17 − 3x ) − x + ( y − 14 ) − y = , ( x, y ∈ ¡ ) a) Giải hệ phương trình   2 x + y + + 3 x + y + 11 = x + x + 13 Lời giải Tác giả: Nguyễn Ngọc Tâm; Fb:Nguyễn Ngọc Tâm 5 − x ≥ 4 − y ≥  ( *) Điều kiện:  2 x + y + ≥ 3 x + y + 11 ≥ Đặt 5− x = a ≥ 0; − y = b ≥ , phương trình ( 17 − x ) − x + ( y − 14 ) − y = trở thành: 17 − ( − a )  a + 3 ( − b ) − 14  = ⇔ ( 3a + ) a = ( 3b + ) b ⇔ 3a + 2a = 3b3 + 2b     Xét hàm số y = f ( t ) = 3t + 2t [ 0; +∞ ) Ta có f ′ ( t ) = 9t + > 0, ∀t ∈ [ 0; +∞ ) nên hàm số y = f ( t ) đồng biến [ 0; +∞ ) 3 Vì với a ≥ 0, b ≥ 3a + 2a = 3b + 2b ⇔ f ( a ) = f ( b ) ⇔ a = b Suy − x = − y ⇔ − x = − y ⇔ y = x −1 Thay y = x − vào phương trình thứ hai hệ ta phương trình: 3x + + x + = x + x + 13 ( 1)   Điều kiện x ∈  − ;5   ( ) ( ) Khi phương trình ( 1) ⇔ x + − + x + − = x + x + ⇔ ( 3x + ) − 3x + + + ( x + ) − 36 5x + + = ( x + 1) ( x + ) Hãy tham gia STRONG TEAM TỐN VD-VDC- Group dành riêng cho GV-SV tốn! Trang Sản phẩm Group FB: STRONG TEAM TOÁN VD VDC ( x + 1) Đề HSG lớp 12 tỉnh Lào Cai năm 2018-2019-Tổ 15 ( x + 1) = ( x + 1) ( x + ) 3x + + 5x + + x +1 = ⇔ 15  + = x+5 5x + +  x + + ⇔ +  x = −1 ⇔ 15  + = x + ( 2)  x + + 5x + + Phương trình ( ) tương đương với 15 + − x = 3x + + 5x + + 15   + − x, x ∈  − ;5 3x + + 5x + +   Đặt g ( x ) = ′ Ta có g ( x ) = −9 ( ) 3x + + x + − (   − < 0, ∀x ∈  − ;5 ÷   5x + + 5x + 75 )   Suy hàm số g ( x ) nghịch biến  − ;5     Vì phương trình g ( x ) = có nhiều nghiệm  − ;5   Ta lại có x = nghiệm phương trình g ( x ) = nên nghiệm Với x = −1 y = −2 Với x = y = −1 So sánh điều kiện ( *) , hệ cho có hai nghiệm ( x ; y ) ( −1 ; −2 ) ; ( ; −1) b) Cho a, b, c số thực dương Tìm giá trị nhỏ biểu thức P= a + bc b + ca c + ab + + − 44 a + b + c b+c c+a a+b Lời giải Ta có a + bc a + bc + ab + ac ( a + b ) ( a + c ) a + bc ( a + b ) ( a + c ) +a = = ⇒ = −a b+c b+c b+c b+c b+c Tương tự ta có: ⇒P= b + ca ( b + c ) ( b + a ) c + ab ( a + c ) ( c + b ) = + −b ; = −c c+a c+a a+b a+b ( a + b) ( a + c) + ( b + c) ( b + a) + ( c + a) ( c + b) − b+c c+a a+b ( a + b + c ) − 44 a + b + c ÁP dụng bất đẳng thức AM-GM ( a + b) ( a + c) + ( b + c) ( b + a ) b+c c+a ≥ ( a + b) Hãy tham gia STRONG TEAM TỐN VD-VDC- Group dành riêng cho GV-SV tốn! Trang Sản phẩm Group FB: STRONG TEAM TOÁN VD VDC ( b + c) ( b + a) + ( c + a) ( c + b) ≥ 2( b + c) ( c + a) ( c + b) + ( a + b) ( a + c) ≥ ( c + a) c+a a+b a+b b+c Đề HSG lớp 12 tỉnh Lào Cai năm 2018-2019-Tổ  ( a + b) ( a + c) ( b + c) ( b + a ) ( c + a ) ( c + b) ⇒ 2 + + b + c c + a a+b   ÷≥ ( a + b + c )  ⇒ P ≥ a + b + c − 44 a + b + c Đặt t = a + b + c > ⇒ a + b + c − 4 a + b + c = t − 4t ( ) ( ) Ta có t − 4t = t − 2t + + t − 2t + − = t − − ≥ −3 ⇒ P ≥ −3 a + b + c = 1 ⇔a=b=c= Vậy giá trị nhỏ P −3  a = b = c Câu (4.0 điểm) 1 2018  x x a) Cho hàm số y = f ( x ) có đạo hàm f ′ ( x ) = ( x − 3)  e − e + ÷( x − x ) Tìm tất 3  2 2 giá trị thực m để hàm số f ( x − x + m ) có điểm cực trị cho x1 + x2 + x3 = 50 , x1 , x2 , x3 hồnh độ ba cực trị Lời giải Cách x =  Ta có f ′ ( x ) = ⇔  x = Trong đó, x = nghiệm bội chẵn  x = 2 Xét hàm g ( x ) = f ( x − x + m ) có g ′ ( x ) = ( x − ) f ′ ( x − x + m ) Khi đó, x = x =   x − 8x + m =  x − 8x = − m  g′ ( x ) = ⇔ ⇔  x − 8x + m = x − 8x = − m    x − x = −m  x − x + m =  ( 1) ( 2) ( 3) Ta xét hàm h ( x ) = x − x Hàm số có bảng biến thiên sau – Hãy tham gia STRONG TEAM TOÁN VD-VDC- Group dành riêng cho GV-SV toán! Trang Sản phẩm Group FB: STRONG TEAM TOÁN VD VDC Đề HSG lớp 12 tỉnh Lào Cai năm 2018-2019-Tổ Nếu − m < −16 ⇔ m > 19 phương trình ( 1) , ( ) , ( 3) vô nghiệm Do đó, hàm số g ( x ) có cực trị Nếu − m ≤ −16 ≤ − m ⇔ 18 ≤ m ≤ 19 phương trình ( 1) có nghiệm bội chẵn nghiệm kép, phương trình ( ) vơ nghiệm có nghiệm kép, phương trình ( 3) vơ nghiệm Do đó, hàm số g ( x ) có cực trị Nếu −m ≤ −16 < − m ⇔ 16 ≤ m < 18 phương trình ( 1) có nghiệm bội chẵn, phương trình ( ) có nghiệm bội lẻ, phương trình ( 3) vơ nghiệm có nghiệm kép Do đó, hàm số g ( x ) có ba cực trị Khi đó, giả sử x1 = x2 , x3 hai nghiệm phương trình ( ) thỏa mãn điều kiện x22 + x32 = 34 ⇔ ( x2 + x3 ) − x2 x3 = 34 Kết hợp với định lý Vi-et ta có 64 − ( m − ) = 34 ⇔ m = 17 (thỏa điều kiện 16 ≤ m < 18 ) Nếu −m > −16 ⇔ m < 16 phương trình ( 1) có nghiệm bội chẵn, phương trình ( ) có nghiệm đơn, phương trình ( 3) có nghiệm đơn Do đó, hàm số g ( x ) khơng thỏa mãn có ba cực trị Vậy m = 17 giá trị cần tìm Cách 2 Xét hàm g ( x ) = f ( x − x + m ) có g ′ ( x ) = ( x − 8) f ′ ( x − 8x + m ) = ( x − ) ( x − x + m − 3) 2018  x2 −16 x + m x2 −8 x + m   −e + ÷( x − x + m ) − ( x − x + m )  e  3  2 Dấu g ′ ( x ) dấu với ( x − ) ( x − x + m ) − ( x − x + m )    x = x =   2 2 Ta có ( x − ) ( x − x + m ) − ( x − x + m )  = ⇔  x − x + m = ⇔  x − x = − m    x2 − 8x + m =  x2 − 8x = − m   2 Ta xét hàm h ( x ) = x − x Hàm số có bảng biến thiên sau – Hàm số có ba cực trị −m ≤ −16 < − m ⇔ 16 ≤ m < 18 Khi đó, giả sử x1 = x2 , x3 hai nghiệm phương trình x − x = − m thỏa mãn điều kiện x22 + x32 = 34 ⇔ ( x2 + x3 ) − x2 x3 = 34 Hãy tham gia STRONG TEAM TỐN VD-VDC- Group dành riêng cho GV-SV tốn! Trang Sản phẩm Group FB: STRONG TEAM TOÁN VD VDC Đề HSG lớp 12 tỉnh Lào Cai năm 2018-2019-Tổ Kết hợp với định lý Vi-et ta có 64 − ( m − ) = 34 ⇔ m = 17 (thỏa điều kiện 16 ≤ m < 18 ) Vậy m = 17 giá trị cần tìm b) Cho dãy số ( u n )  u1 = ; u2 = xác định sau  u u +1 un + = n +1 n , ∀n ≥ un +1 + un  Chứng minh dãy ( un ) có giới hạn tìm giới hạn Lời giải Tác giả: Lê Thị Nguyệt ; Fb: Nguyetle Từ un + = Suy un +1un + ( un+1 + 1) ( un + 1) u − = ( un+1 − 1) ( un − 1) un + + = n + un +1 + un un +1 + un un +1 + un un + − ( un +1 − 1) ( un − 1) = un + + ( un+1 + 1) ( un + 1) Đặt = un − ta có + = vn +1 nên + = +1 un + Đặt xn = ln ta xn + = xn +1 + xn Phương trình đặc trưng t − t − = có nghiệm t1 = n 1− 1+ ; t2 = 2 n  1+   1−  + β  Vậy xn = α  ÷ ÷ ÷ ÷     1 + 1−  v1 = − α+ β = − ln    x = − ln α ≈ −0.38 u1 =    ⇒ ⇒ ⇒ 2⇒ Từ  3−  β ≈ 0.78  x2 = − ln  + u2 = v =  α + β = − ln  n   + n  1−   1+ 1−  > 1; < nên lim xn = lim α  Vì ÷ + β  ÷ ÷  = −∞ 2   ÷      Suy lim = lim un − = Vậy dãy un + ( un ) có giới hạn Câu (3.0 điểm) a) Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy cho hình thang vng ABCD vng A D , có CD = AD = AB Gọi M ( 2; ) điểm thuộc cạnh AB cho AB = AM Điểm N thuộc cạnh BC cho tam giác DMN cân M Phương trình đường thẳng MN x + y − = Tìm tọa độ đỉnh hình thang ABCD biết D thuộc đường thẳng d : x + y = điểm A thuộc đường thẳng d ′ : x + y − = Hãy tham gia STRONG TEAM TOÁN VD-VDC- Group dành riêng cho GV-SV toán! Trang Sản phẩm Group FB: STRONG TEAM TOÁN VD VDC Đề HSG lớp 12 tỉnh Lào Cai năm 2018-2019-Tổ Lời giải +) Đặt BN = x, AB = a ⇒ MA = MN = a + a a 10 = 10a 4a 2a · Xét ∆BMN có MN = MB + BN − 2MN NB.cos MBN ⇔ = + x − 2.x .cos135o 9 ⇔ x2 + 2 2a a − =0⇔ x= 3 Gọi E chân đường vng góc hạ từ B , kẻ NF vng góc với DC Ta có ⇔ NF CN CF = = BE CB CE NF CF 2a 2a  4a   a  = = ⇔ NF = CF = ⇒ DN =  ÷ +  ÷ = a a 3     10a 10a 20a + = = DN Suy ∆DMN vuông M 9 uuur +) Vì D thuộc đường thẳng d : x + y = nên D ( d ; − d ) ⇒ MD = ( d − 2; − d − ) Nhận thấy MD + MN = Phương trình đường thẳng MN : x + y − = có véc tơ phương r uuur r u = ( −1; ) ⇒ MD.u = ⇒ d = −2 ⇒ D ( −2; ) +) Điểm A thuộc đường thẳng d ′ : x + y + = nên A ( a; − 3a + 8) uuu r uuu r uuu r uuu r a = ⇒ DA = ( a + 2; − 3a + ) , MA = ( a − 2; − 3a + ) ⇒ DA.MA = ⇒ a − 3a + = ⇔  a = *) Trường hợp 1: a = ⇒ A ( 1; ) uuu r uuur uuur Giả sử B ( x; y ) ta có AB = ( x − 1; y − ) ; AM = ( 1; − 1) ⇒ AM = ( 3; − 3) uuu r uuur x −1 = x = ⇔ ⇒ B ( 4; ) Vì AB = AM ⇒ AB = AM ⇔   y − = −3  y = uuur uuu r uuu r Giả sử C ( x; y ) ta có DC = ( x + 2; y − ) ; AB = ( 3; − 3) ⇒ AB = ( 6; − ) uuur uuu r x + = x = ⇔ ⇒ C ( 4; − ) Vì DC = AB ⇒ DC = AB ⇔  y − =  y = −4 Hãy tham gia STRONG TEAM TỐN VD-VDC- Group dành riêng cho GV-SV tốn! Trang Sản phẩm Group FB: STRONG TEAM TOÁN VD VDC Đề HSG lớp 12 tỉnh Lào Cai năm 2018-2019-Tổ *) Trường hợp 2: a = ⇒ A ( 2; ) uuu r uuur uuur Giả sử B ( x; y ) ta có AB = ( x − 2; y − ) ; AM = ( 0; ) ⇒ AM = ( 0; ) uuu r uuur x − = x = ⇔ ⇒ B ( 2; ) Vì AB = AM ⇒ AB = AM ⇔  y − = y = uuur uuu r uuu r Giả sử C ( x; y ) ta có DC = ( x + 2; y − ) ; AB = ( 0; ) ⇒ AB = ( 0;12 ) uuur uuu r x + =  x = −2 DC = AB ⇒ DC = AB ⇔ ⇔ ⇒ C ( −2;14 ) Vì  y − = 12  y = 14 b) Cho hình chóp S ABCD có đáy hình vng cạnh a Biết hình chiếu vng góc uuur uuuu r S mặt phẳng ( ABCD ) điểm M thỏa mãn AD = 3MD Trên cạnh CD lấy điểm I , · N cho ·ABM = MBI MN vng góc với BI Biết góc SC ( ABCD ) 60° Tính thể tích khối chóp S AMCB khoảng cách từ N đến mặt phẳng ( SBC ) Lời giải *) Tính thể tích khối chóp S AMCB : Ta có : DM = AD 2a , AM = ⇒ CM = DM + CD 3 · SM ⊥ ( ABCD ) ⇒ SCM = 60° ⇒ SM = CM tan 60° = Khi : S AMCB = ( AM + CB ) AB = 5a ⇒ V S AMCB a 3 5a 30 = SM S AMCB = 54 *) Tính khoảng cách từ N đến mặt phẳng ( SBC ) Hãy tham gia STRONG TEAM TỐN VD-VDC- Group dành riêng cho GV-SV tốn! Trang Sản phẩm Group FB: STRONG TEAM TOÁN VD VDC Ta có : BM = Đề HSG lớp 12 tỉnh Lào Cai năm 2018-2019-Tổ a 13 AB · ⇒ cos ·ABM = = = cos IBM BM 13 Đặt DI = x ⇒ IM = x + a2 , IB = ( a − x ) + a Áp dụng định lý cosin ta có 2 a 13a · IM = MB + IB − 2MB.IB.cos IBM ⇔ x2 + = ( a − x) + a2 + − 2a 9 7a 13a ⇔x= ⇒ IB = 12 12 Gọi H = MN ∩ BI Ta có ∆ABM = ∆MBH ⇒ BH = AB = a, IH = IB − BH = ∆CBI ~ ∆HNI ⇒ ( a − x) + a2 a 12 BI CI HI BI 13a a CN = ⇒ NI = = , CN = CD − DI − IN = ⇒ = NI HI CI 60 CD 1 Suy : d ( N , ( SBC ) ) = d ( D, ( SBC ) ) = d ( M , ( SBC ) ) 5 Kẻ ME vng góc với BC , MK vng góc với SE Suy : MK = d ( M ( SBC ) ) Ta có : 1 13 a 130 = + = ⇒ MK = 2 2 MK MS ME 10a 13 a 130 ⇒ d ( N , ( SBC ) ) = d ( M , ( SBC ) ) = 65 Câu (3.0 điểm) Tìm tất nghiệm nguyên dương phương trình 15 x + y = z Lời giải Người Word hóa: Phạm Văn Chuyền ; Fb: Good Hope Theo u cầu tốn ≥ 15 + = 24 ⇒ z ≥ z Khi vế phải phương trình cho chia hết cho 16 Do y phải số lẻ Từ ta được:  y ≡ 1( mod ) x ⇒ 15x + y ≡ ( −1) + 1( mod ) Vì ta suy x số lẻ  x x 15 ≡ ( −1) ( mod ) Ta lại lập luận tiếp để kết luận z phải số chẵn phản chứng sau: Nếu z số lẻ z = 22 n+1 = ( + 1) = ( mod ) y chia dư nên ta có mâu n thuẫn Vì z − y chia hết cho Vậy tới ta tiếp tục tìm nghiệm phương trình cho với giả thiết x, y lẻ, z số chẵn x z x t t Ta có 15 + y = ⇔ 15 = ( − y ) ( + y ) với t ≥ số nguyên thỏa mãn z = 2t Ta nhận xét Hãy tham gia STRONG TEAM TOÁN VD-VDC- Group dành riêng cho GV-SV toán! Trang Sản phẩm Group FB: STRONG TEAM TOÁN VD VDC ( − y) + ( t t Đề HSG lớp 12 tỉnh Lào Cai năm 2018-2019-Tổ + y ) = 2.2t Do ( 2t − y ) ( 2t + y ) chia hết cho   2t +1 = 3x + x    2t − y = 3x x x   y = − ( 1)  t x     + y = x t t ⇒ Vì 15 = ( − y ) ( + y ) ⇔  t t +1 x   = + 15   − y =   x   2t + y = 15 x ( 2)    y = 15 −    x =   y =  y =    z = t =   x = ⇔ ⇔ Nếu  y =  x =   y =  t =    z = Nếu x = 2n + 3, n ≥ từ 2t = 3x = 27 ( 3) 2n = 27 ( − 1) 2n x + 3x ≥ 76 ⇒ t ≥ ⇒ 2t = ( mod16 ) Ta có = 13 ( mod16 ) ; x = 125 ( + 1) 2n = 13 ( mod16 ) x x Khi + = 26 ( mod16 ) , ta kết luận ( 1) vô nghiệm Tương tự thế, x = 2n + 3, n ≥ từ 2t = Ta có x = ( 16 − 1) n +3 15 x + ≥ 1688 ⇒ t ≥ 10 ⇒ 2t = ( mod 32 ) x ≡ 16 ( 2n + 3) − 1( mod 32 ) Khi + 15 = 16 ( 2n + 3) ( mod 32 ) , ta kết luận ( ) vô nghiệm Vậy nghiệm nguyên dương ( 1;1; ) ( 1;7;6 ) Câu (3.0 điểm) Tính tổng S = 2 2018 2018 2019 2019 2 C2019 + C2019 + + ( ) ( ) ( C2019 ) + ( C2019 ) 2019 2018 Lời giải Tác giả:Mai Ngọc Thi ; Fb: Mai Ngọc Thi Xét số hạng tổng quát : Tk = k 2019! 2019! k k k k = C2019 = C2019 ( C2019 ) 2020 − k 2019 − k ! k ! 2020 − k ! k − ! ( ) ( ) ( ) 2020 − k k −1 2019 − k = C2019 C2019 , ∀k = 1,2, ,2019 2018 2017 2017 2018 Suy S = C2019 C2019 + C2019 C2019 + + C2019 C2019 + C2019 C2019 Xét ( + x) 2019 ( + x) 2019 2019 2019 2019 2019 = ( C2019 + C2019 x + + C2019 x ) ( C2019 + C2019 x + + C2019 x ) Hệ số x 2018 khai triển ( + x ) 2019 ( + x) 2019 : Hãy tham gia STRONG TEAM TOÁN VD-VDC- Group dành riêng cho GV-SV toán! Trang 10 Sản phẩm Group FB: STRONG TEAM TOÁN VD VDC Đề HSG lớp 12 tỉnh Lào Cai năm 2018-2019-Tổ 2018 2017 2017 2018 C2019 C2019 + C2019 C2019 + + C2019 C2019 + C2019 C2019 ( 1) Xét khai triển : ( + x ) 4038 2018 2018 4038 4038 = C4038 + C4038 x + + C4038 x + + C4038 x Hệ số x 2018 khai triển ( + x ) 4038 2018 C4038 ( ) Từ ( 1) ( ) ta có 2 2018 2018 2019 2019 2 2018 S= C2019 + C2019 + + C2019 ) + C2019 ) = C4038 ( ) ( ) ( ( 2019 2018 Hãy tham gia STRONG TEAM TỐN VD-VDC- Group dành riêng cho GV-SV tốn! Trang 11