Tổ 5 đ2 HSG lớp 11 trường hậu lộc thanh hóa 2018 2019

Sản phẩm Group FB: STRONG TEAM TOÁN VD VDC HSG lớp 11 Hậu Lộc –Thanh Hóa - Năm 18-19-Tổ ĐỀ HSG LỚP 11 – THPT HẬU LỘC – THANH HĨA NĂM 2018 - 2019 MƠN TỐN TIME: 180 PHÚT Câu I (4.0 điểm) Cho hàm số y = x + x − (*) đường thẳng d : y = 2mx − Lập bảng biến thiên vẽ đồ thị (P) hàm số (*) Tìm m để d cắt (P) hai điểm phân biệt có hồnh độ x1 ; x2 thỏa mãn x1 + m x2 + m + = −6 x2 − x1 − Giải bất phương trình ( x + − x − 1) ×(1+ x2 + 2x − 3) ≥ Câu II (4.0 điểm) Giải phương trình ( + s inx + cos2x ) sin  x +  1+tanx π ÷ 4 = cosx ìï x +1 + y +1 = - x + y ï ( x, y Ỵ ¡ ) Giải hệ phương trình ïí ïï x + y + = 5( x - y +1) + 3x + ïỵ Câu III (4.0 điểm) Cho a, b, c số thực dương thỏa mãn abc = Chứng minh rằng: b+c c+a a +b + + ≥ a + b + c +3 a b c u1 = 2018 2 ( 3n + 9n ) un +1 = ( n + 5n + ) un , n ≥ Cho dãy số ( un ) xác định   3n  lim Tính giới hạn  un ÷ n  Câu IV (4.0 điểm) 3 x − x + = y + 18 − y  Tìm m để hệ phương trình sau có nghiệm   3 x + y − − 6m = ( I) Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy , cho hình chữ nhật ABCD , có đỉnh A ( −3;1) , đỉnh C nằm đường thẳng ∆ : x − y − = Trên tia đối tia CD lấy điểm E cho CE = CD , biết N ( 6; − ) hình chiếu vng góc D lên đường thẳng BE Xác định tọa độ đỉnh lại hình chữ nhật ABCD Câu V (4.0 điểm) Cho dãy số ( un ) u1 =  xác định  un +1 − un = 2018 ( un − un ) , ∀n ≥ Hãy tham gia STRONG TEAM TỐN VD-VDC- Group dành riêng cho GV-SV tốn! Trang Sản phẩm Group FB: STRONG TEAM TOÁN VD VDC HSG lớp 11 Hậu Lộc –Thanh Hóa - Năm 18-19-Tổ  u un  u Tính lim  + + + ÷ un +1 −   u2 − u3 − Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy , cho tam giác ABC nội tiếp đường tròn ( C ) : x + y = 25 , đường thẳng AC qua điểm K ( 2;1) Gọi M , N chân đường cao kẻ từ đỉnh B C Tìm tọa độ đỉnh tam giác ABC , biết phương trình đường thẳng MN 4x − y + 10 = điểm A có hồnh độ âm Hãy tham gia STRONG TEAM TỐN VD-VDC- Group dành riêng cho GV-SV tốn! Trang Sản phẩm Group FB: STRONG TEAM TOÁN VD VDC HSG lớp 11 Hậu Lộc –Thanh Hóa - Năm 18-19-Tổ GIẢI CHI TIẾT ĐỀ HSG LỚP 11 – THPT HẬU LỘC – THANH HÓA NĂM 2018 - 2019 MƠN TỐN TIME: 180 PHÚT Câu I (4.0 điểm) Cho hàm số y = x + x − (*) đường thẳng d : y = 2mx − Lập bảng biến thiên vẽ đồ thị (P) hàm số (*) Tìm m để d cắt (P) hai điểm phân biệt có hoành độ x1 ; x2 thỏa mãn x1 + m x2 + m + = −6 x2 − x1 − Lời giải Tác giả:Trần Phương ; Fb: Trần Phương + Lập bảng biến thiên vẽ (P): y = x + x −  x = −1 ⇒ I ( −1; −4 ) Ta có đỉnh I :   y = −4 + Bảng biến thiên: + Đồ thị: Đồ thị parabol có bề lõm hướng lên có trục đối xứng đường thẳng x = −1 cắt trục hoành điểm ( 1;0 ) ; ( −3;0 ) cắt trục tung điểm ( 0; −3) Hãy tham gia STRONG TEAM TỐN VD-VDC- Group dành riêng cho GV-SV tốn! Trang Sản phẩm Group FB: STRONG TEAM TOÁN VD VDC HSG lớp 11 Hậu Lộc –Thanh Hóa - Năm 18-19-Tổ  x1 ≠ Điều kiện:   x2 ≠ 2 Xét phương trình hồnh độ giao điểm x + x − = 2mx − ⇔ x − ( m − 1) x + = (1) d cắt (P) hai điểm phân biệt có hồnh độ x1 ; x2 ⇔ Phương trình (1) có hai nghiệm phân biệt ∆′ = ( m − 1) − >  m − 2m > m > x1 ; x2 ≠ ⇔  ⇔ ⇔ m <  − 2m ≠ 1 − ( m − 1) + ≠  x1 + x2 = ( m − 1) Khi theo định lí viet ta có   x1.x2 = x12 + x22 + ( m − 1) ( x1 + x2 ) − 2m x1 + m x2 + m + = − ⇔ = −6 Ta có x2 − x1 − x1 x2 − ( x1 + x2 ) + (x +x ) ⇔ 2 − x1 x2 + ( m − 1) ( x1 + x2 ) − 2m ( m − 1) − + ( m − 1) − 2m = −6 ⇔ = −6 x1 x2 − ( x1 + x2 ) + 1 − ( m − 1) + 2 m = ⇔ ( m − 1) − 2m − = −6 ( − 2m ) ⇔ 3m − 13m + 14 = ⇔  m =  2 Kết hợp với điều kiện ta m = Giải bất phương trình ( x + − x − 1) ×(1+ x2 + 2x − 3) ≥ Lời giải Tác giả: Hồ Xuân Dũng ; Fb:Dũng Hồ Xuân Giải bất phương trình ( x + − x − 1) ×(1+ x2 + 2x − 3) ≥ Điều kiện: x ≥ Suy ra: (∗) ⇔ 4×(1+ x2 + 2x − 3) x+ 3+ x− (∗) x + + x − > ≥ ⇔ 1+ x2 + 2x − ≥ x + + x − ⇔ 1+ x2 + 2x − + x2 + 2x − ≥ x + 3+ x − 1+ (x + 3)(x − 1) ⇔ x2 − ≥ ⇔ x ≤ −2 x ≥ Kết luận: Kết hợp với điều kiện ta tập nghiệm bất phương trình S =  2; +∞ ) × Câu II (4.0 điểm) Giải phương trình ( + sin x + cos x ) sin  x + + tan x  π ÷ 4 = cos x Lời giải Hãy tham gia STRONG TEAM TOÁN VD-VDC- Group dành riêng cho GV-SV toán! Trang Sản phẩm Group FB: STRONG TEAM TOÁN VD VDC HSG lớp 11 Hậu Lộc –Thanh Hóa - Năm 18-19-Tổ Tác giả: Nguyễn Hữu Nam; Fb: Nam Nguyen Huu π  x ≠ + kπ cos x ≠ cos x ≠  ⇔ Điều kiện:   1 + tan x ≠ tan x ≠ −1  x ≠ − π + kπ  Pt ⇔ ⇔ ( + sin x + cos x ) sin  x + 1+ sin x cos x  π ÷ 4 = cos x cos x ( + sin x + cos x ) cos x + sin x = cos x cos x + sin x 2  sin x = −  ⇔ + sin x + cos x = ⇔ −2sin x + sin x + = ⇔  sin x = ( loaïi ) −π  x= + k 2π   −π  ,( k ∈ Z ) Với sin x = − ⇔ sin x = sin  ÷⇔     x = 7π + k 2π  Kết hợp với điều kiện ta tập nghiệm phương trình là: x = −π 7π + k 2π ; x = + k 2π 6 với ( k ∈ Z )  x + + y + = − x + y Giải hệ phương trình   x + y + = ( x − y + 1) + x + ( x, y ∈ ¡ ) Lời giải Tác giả:Nguyễn Thu Hằng ; Fb: Nguyễn Thu Hằng  x ≥ −  Điều kiện:  y ≥ −1 4 − x + y ≥   x − y + ≥ Từ phương trình thứ hệ ta có: x +1 + y +1 = − x + y ⇔ x + y + + ⇔ 2x − y − + ⇔ x +1+ ⇔ x +1 = ( x + 1) ( y + 1) ( x + 1) ( y + 1) = ⇔ x − y −1+ ( x + 1) ( y + 1) − ( y + 1) = ⇔ ( = − x + 5y ( x + 1) ( y + 1) x +1 − y +1 )( =0 ) x +1 + y +1 = y +1 ⇔ x = y Thay x = y vào phương trình thứ hai hệ ta có phương trình: Hãy tham gia STRONG TEAM TOÁN VD-VDC- Group dành riêng cho GV-SV toán! Trang Sản phẩm Group FB: STRONG TEAM TOÁN VD VDC HSG lớp 11 Hậu Lộc –Thanh Hóa - Năm 18-19-Tổ x + x + = ( x + 1) + 3x + ( ) ( ) ⇔ x − x − + x + − 5x + + x + − 3x + = x2 − x −1 x2 − x −1 + =0 x + + x + x + + 3x + 1   ⇔ ( x − x − 1)  + + ÷=  x + + x + x + + 3x +  ⇔ x2 − x −1 +  1+ 1+ ( TM ) ⇒ y = ( TM ) x = 2 ⇔ x2 − x −1 = ⇔   1− 1− ( TM ) ⇒ y = ( TM ) x =  2 Vì + x + + 5x + + x + + 3x + > 0, ∀ x ≥ −  + +   − −   ; ; Vậy tập nghiệm hệ phương trình S =  ÷;  ÷ ÷ ÷    Câu III (4.0 điểm) Cho a, b, c số thực dương thỏa mãn abc = Chứng minh rằng: b+c c+a a +b + + ≥ a + b + c +3 a b c Lời giải Tác giả: Nguyễn Dung; Fb: Dung Nguyễn Áp dụng bất đẳng thức Cauchy, ta có: Tương tự: b + c bc bc ≥ =2 a a a c+a ac a + b ab ≥2 ≥2 ; b c b c Cộng vế bất đẳng thức trên, ta được:  bc b+c c+a a+b ac ab  + + ≥  + + ÷ (1) b c ÷ a b c  a  Dấu “ = ” xảy a = b = c Lại có: bc ac + ≥2 a b Tương tự: bc ac =2 c a b ac ab + ≥2 a ; b c ab bc + ≥2 b c a Cộng vế bất đẳng thức trên, ta được: bc ac ab + + ≥ a + b + c (2) a b c Dấu “ = ” xảy a = b = c Hãy tham gia STRONG TEAM TỐN VD-VDC- Group dành riêng cho GV-SV tốn! Trang Sản phẩm Group FB: STRONG TEAM TOÁN VD VDC Từ (1) (2) ta được: Ta chứng minh Thật vậy, ta có: Từ suy ( ( b+c c + a a +b + + ≥2 a b c ( ) a + b + c (3) ) a + b + c ≥ a + b + c + a + b + c ≥ 3 abc Mà abc = nên a + b + c ≥ ) a + b + c ≥ a + b + c + (4) Từ (3) (4) ta được: Vậy: HSG lớp 11 Hậu Lộc –Thanh Hóa - Năm 18-19-Tổ b+c c+a a +b + + ≥ a + b + c +3 a b c b+c c+a a +b + + ≥ a + b + c + (Điều phải chứng minh) a b c Dấu “ = ” xảy a = b = c = u1 = 2018 Cho dãy số ( un ) xác định  ( 3n + 9n ) un +1 = ( n + 5n + ) un , n ≥  3n  Tính giới hạn lim  un ÷ n  Lời giải Ta có un +1 = Đặt = un +1 +3 ( n + 1) un un ⇔ = 2 n + 3n ( n + 1) + ( n + 1) n + 3n un 1 ⇒ +1 = ⇒ ( ) cấp số nhân có cơng bội q = số hạng đầu n + 3n 3 n −1 u 2018 1009 1009   v1 = = = ⇒ =  ÷ 4 2 3 n −1 1009   ⇒ un =  ÷ 3 (n + 3n )  1009  n −1  3n   3n  3n  lim u = lim u = lim n + n  Khi ) n ÷÷  n÷  n÷  ÷ ( n  n   3   3027 n + 3n  3027   3027 = lim  lim  + ÷ = ÷= n 2  n   Câu IV (4.0 điểm)  3 x − x + = y + 18 − y Tìm m để hệ phương trình sau có nghiệm   3 x + y − − 6m = ( I) Lời giải  x ≥ −2 Điều kiện:   y ≥ −6 Hãy tham gia STRONG TEAM TOÁN VD-VDC- Group dành riêng cho GV-SV toán! Trang Sản phẩm Group FB: STRONG TEAM TOÁN VD VDC HSG lớp 11 Hậu Lộc –Thanh Hóa - Năm 18-19-Tổ  x   y x y  +1 − +2 =3  + 1÷+  + ÷− 2     Ta có hệ phương trình ( I ) ⇔   x + 1 +  y +  = m +  ÷  ÷  3   x +1 a =  Đặt  (đk a, b ≥ ) Ta có hệ phương trình y b = +2   a + b − 2a − 2b = ( 1) (*)  2 ( 2)  a + b = m + Hệ phương trình cho có nghiệm ⇔ hệ ( *) có nghiệm a, b ≥ • Nếu m ≤ −4 hệ ( *) vô nghiệm ⇒ hệ phương trình cho vơ nghiệm • Nếu m > −4 Chọn hệ tọa độ Oab hình vẽ Do điều kiện a ≥ 0, b ≥ nên xét góc phần tư thứ Phương trình ( 1) cho ta đường tròn ( C1 ) tâm I ( 1;1) , R1 = , cắt Ox Oy A ( 3;0 ) , B ( 0;3) Phương trình ( ) cho ta đường tròn ( C2 ) tâm O ( 0;0 ) , R2 = m + thay đổi theo m Hệ ( *) có nghiệm a, b ≥ ⇔ ( C1 ) cắt ( C2 ) có giao điểm góc phần tư thứ Cho bán kính R2 = m + tăng dần, dễ thấy ( C2 ) cắt ( C1 ) hai điểm A, B , R2 = OH = ( C2 ) tiếp xúc ( C1 ) điểm cuối K Do đó, để ( C1 ) cắt ( C2 ) góc phần tư thứ ⇔ OH ≤ R2 ≤ OK ⇔ ≤ m + ≤ + ⇔ ≤ m ≤ + 10 Vậy hệ cho có nghiệm ⇔ ≤ m ≤ + 10 Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy , cho hình chữ nhật ABCD , có đỉnh A ( −3;1) , đỉnh C nằm đường thẳng ∆ : x − y − = Trên tia đối tia CD lấy điểm E cho CE = CD , Hãy tham gia STRONG TEAM TOÁN VD-VDC- Group dành riêng cho GV-SV toán! Trang Sản phẩm Group FB: STRONG TEAM TOÁN VD VDC HSG lớp 11 Hậu Lộc –Thanh Hóa - Năm 18-19-Tổ biết N ( 6; − ) hình chiếu vng góc D lên đường thẳng BE Xác định tọa độ đỉnh lại hình chữ nhật ABCD Lời giải Tác giả: ; Fb: · · Ta có BAD + BND = 180° , suy tứ giác ADBN nội tiếp ⇒ ·AND = ·ABD Mà ·ABD = ·ACD (do ABCD hình chữ nhật) Suy tứ giác ANCD nội tiếp đường tròn Mặt khác, ·ADC = 90° ⇒ ·ANC = 180° − 90° = 90° Do AN ⊥ CN Theo đề ta có điểm C nằm đường thẳng ∆ : x − y − = , suy C ( 2c + 5; c ) uuur uuur Ta có AN = ( 9; − 3) CN = ( − 2c ; − − c ) uuur uuur Do AN ⊥ CN , suy AN ×CN = ⇔ ( − 2c ) − ( −2 − c ) = ⇔ c = ⇒ C ( 7;1) Ta có CE P AB   ⇒ ACEB hình bình hành, suy BE P AC CE = AB  Ta có BE qua N , song song AC nên có phương trình y + = uuur uuu r b = Gọi B ( b ; − ) , ta có AB ×CB = ⇔ b − 4b − 12 = ⇔   b = −2 Với b = ⇒ B ( 6; − ) , loại trùng với N Với b = −2 ⇒ B ( −2; − ) uuur uuur  xD = ⇒ D ( 6; ) Gọi D ( xD ; yD ) , ta có AD = BC ⇔ ( xD + 3; yD − 1) = ( 9;3) ⇒   yD = Hãy tham gia STRONG TEAM TOÁN VD-VDC- Group dành riêng cho GV-SV toán! Trang Sản phẩm Group FB: STRONG TEAM TỐN VD VDC HSG lớp 11 Hậu Lộc –Thanh Hóa - Năm 18-19-Tổ Câu V (4.0 điểm) u1 =  xác định  u − u = u − u , ∀ n ≥ ( ) n + n n n  2018 Cho dãy số ( un )  u un  u Tính lim  + + + ÷ un +1 −   u2 − u3 − Lời giải Tác giả: Nguyễn Quý Thành; Fb: Thành Nguyễn Theo giả thiết ta có: un +1 = un ( un − 1) + un mà u1 = suy = u1 < u2 < u3 < 2018 Do dãy ( un ) dãy tăng un = L với L ≥ , đó: Giả sử dãy ( un ) bị chặn suy lim n →∞ lim un +1 = lim L = un2 + 2017un L2 + 2017 L (Vô lý L ≥ ) ⇔L= ⇔ 2018 2018 L = Vậy dãy ( un ) không bị chặn hay lim un = +∞ ⇒ lim = un Ta có: un +1 − un = ⇔ un2 − un ) ⇔ un ( un − 1) = 2018 ( un +1 − un ) ( 2018 un ( un − 1) 2018 ( un +1 − un ) un = = un +1 − ( un +1 − 1) ( un − 1) ( un +1 − 1) ( un − 1) = Đặt Sn = 2018 ( un +1 − − ( un − 1) ) ( un+1 − 1) ( un − 1)  1  = 2018  −   un − un +1 −  un u1 u + + …+ u2 − u3 − un +1 −     ⇒ S n = 2018  − ÷ = 2018 1 − ÷⇒ lim S n = 2018  u1 − un +1 −   un +1 −   u un  u Vậy lim  + + + ÷ = 2018 un +1 −   u2 − u3 − Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy , cho tam giác ABC nội tiếp đường tròn ( C ) : x + y = 25 , đường thẳng AC qua điểm K ( 2;1) Gọi M , N chân đường cao kẻ từ đỉnh B C Tìm tọa độ đỉnh tam giác ABC , biết phương trình đường thẳng MN x − y + 10 = điểm A có hồnh độ âm Lời giải Tác giả: Nguyễn Thị Mai Facebook: Mai Nguyen Hãy tham gia STRONG TEAM TOÁN VD-VDC- Group dành riêng cho GV-SV toán! Trang 10 Sản phẩm Group FB: STRONG TEAM TOÁN VD VDC HSG lớp 11 Hậu Lộc –Thanh Hóa - Năm 18-19-Tổ Gọi I , J giao điểm BM , CN với đường tròn ( C ) · · · = IBC · Do tứ giác BCMN nội tiếp nên MBC , lại có CJI (cùng chắn cung IC ) = CNM · = CNM · CJI ⇒ MN / / IJ  ·ACI = ·ABI  · · = JCA Lại có  JBA · · · ·  ABI = JCA(doNBM = NCM ) · · ⇒ JBA = ICA ⇒ AI = AJ ⇒ AO ⊥ JI ⇒ AO ⊥ MN Từ ta có: +) Do OA qua O ( 0;0 ) vng góc với MN : x − y + 10 = nên Phương trình đường thẳng OA : 3x + y =  A ( −4;3) 3 x + y = ⇒ +) Tọa độ điểm A nghiệm hệ    x + y = 25  A ( 4; −3) ( lo¹i ) +) Do AC qua A ( −4;3) K ( 2;1) , nên phương trình đường thẳng AC : x + y − =  x + y − = C ( −4;3) ≡ A ( lo¹i ) ⇒ Tọa độ điểm C nghiệm hệ  2 C ( 5;0 )  x + y = 25 +) Do M giao điểm AC MN nên tọa độ điểm M nghiệm hệ  x − y + 10 = ⇒ M ( −1; )  x + 3y − = +) Đường thẳng BM qua M ( −1; ) vng góc với AC nên phương trình đường thẳng BM : 3x − y + = 3 x − y + =  B ( 0;5 ) ⇒ Tọa độ điểm B nghiệm hệ  2  B ( −3; −4 )  x + y = 25 Vậy A ( −4;3) , B ( −3; −4 ) , C ( 5;0 ) A ( −4;3) , B ( 0;5 ) , C ( 5;0 ) Hãy tham gia STRONG TEAM TOÁN VD-VDC- Group dành riêng cho GV-SV toán! Trang 11