Tổ 2 đợt 2 đề 1 đề THI HSG lớp 11 yên lạc 2 VĨNH PHÚC 2019

Sản phẩm Group FB: STRONG TEAM TOÁN VD VDC Đề THI HSG 11 YÊN LẠC – VP - 2019 – TỔ ĐỀ KSCL ĐỘI TUYỂN HSG KHỐI 11 TRƯỜNG THPT YÊN LẠC – VĨNH PHÚC MÔN TOÁN TIME: 180 PHÚT Câu (1,0 điểm) a) [1D1-3.3-3] Tìm giá trị lớn giá trị nhỏ hàm số b) [1D1-3.5-2] dGiải phương trình: y= cos x + 2sin x + 2cos x − sin x + cos x + ( + 2cos x ) ( sin x − cos x ) = Câu (1,0 điểm) [1D1-3.5-2] Cho tam giác ABC có · = 90° BC = a, AB = c, AC = b Biết góc BAC theo thứ tự lập thành cấp số nhân Tính số đo góc a, b, c B, C Câu (1,0 điểm) [1D2-3.2-3] Cho n số nguyên dương Gọi đa thức ( x + 1) ( x + ) n n Tìm a3n− hệ số x3n − khai triển thành n cho a3n− = 26n ? Câu (1,0 điểm) [1D2-2.1-4] Cho chữ số 0;1; 2; 3; 4; 5; 6; Từ chữ số lập số tự nhiên có chữ số đơi khác cho tổng chữ số đầu tổng chữ số cuối? Câu (1,0 điểm) [1D4-1.7-4] Cho dãy số quát tính ( un ) u1 = 2019   n un +1 = n +1 un + thỏa mãn:  2019n Tìm cơng thức số hạng tổng lim un Câu (2,0 điểm) Cho hình chóp S ABCD có đáy ABCD · = 600 , SA ⊥ ( ABCD), SA = a AD = 2a, AB = BC = CD = a, BAD M uuur uuur r uur uur r mãn 3MB + MS = 0, IS + 3ID = Mặt phẳng ( AIM ) cắt SC N hình I thang có hai điểm thỏa Sản phẩm Group FB: STRONG TEAM TOÁN VD VDC SD Đề THI HSG 11 YÊN LẠC – VP - 2019 – TỔ a) Chứng minh đường thẳng vng góc với mặt phẳng b) Chứng minh c) Tính diện tích thiết diện tạo mặt phẳng ( AIM ) ·ANI = 900 ; ·AMI = 900 ( AMI ) hình chóp S ABCD Câu (1,0 điểm) Cho tứ diện phẳng (α ) ABCD , gọi G qua G′ BCD , G′ trung điểm B′, C ′, D′ Tính trọng tâm tam giác cắt cạnh AB, AC , AD AB AC AD + + AB′ AC ′ AD′ Câu (1,0 điểm) [1D4-3.4-4] Cho n số a1 , a2 , , an ∈ [ 0;1] Chứng minh rằng: ( + a1 + a2 + a3 + + an ) ≥ ( a12 + a22 + a32 + + an2 ) AG Một mặt Sản phẩm Group FB: STRONG TEAM TOÁN VD VDC Đề THI HSG 11 YÊN LẠC – VP - 2019 – TỔ GIẢI CHI TIẾT ĐỀ THI CHỌN HSG THPT YÊN LẠC – VĨNH PHÚC KHỐI 11 Câu (1,0 điểm) a) [1D1-3.3-3] Tìm giá trị lớn giá trị nhỏ hàm số b) [1D1-3.5-2] Giải phương trình: y= cos x + 2sin x + 2cos x − sin x + cos x + ( + 2cos x ) ( sin x − cos x ) = Lời giải a) Tìm giá trị lớn giá trị nhỏ hàm số y= cos x + 2sin x + 2cos x − sin x + Lời giải Tác giả: Nguyễn Yên Phương; Fb: Yenphuong Nguyen Phản biện: Fb:Hieu Le Với x∈ ¡ ta có: 2cos x − sin x + = ( cos x + 1) + ( − sin x ) + > (vì sin x ∈ [ − 1;1] , cos x ∈ [ − 1;1] ) nên y= cos x + 2sin x + ⇔ y ( 2cos x − sin x + ) = cos x + 2sin x + 2cos x − sin x + ⇔ ( y + ) sin x + ( − y ) cos x + ( − y ) = Phương trình (*) có nghiệm tương đương 11y − 24 y + ≤ ⇔ (*) ( y + 2) + ( − y ) ≥ ( − y ) 2 2 ≤ y≤2 11 Giá trị lớn nhỏ hàm số cho m= ,M = 11 , Sản phẩm Group FB: STRONG TEAM TỐN VD VDC b) Giải phương trình: Đề THI HSG 11 YÊN LẠC – VP - 2019 – TỔ cos x + ( + 2cos x ) ( sin x − cos x ) = Lời giải Tác giả: Lê Trọng Hiếu ; Fb: Hieu Le Phản biện: Nguyễn Văn Mạnh ; Fb: Nguyễn Văn Mạnh Ta có: cos x + ( + 2cos x ) ( sin x − cos x ) = ⇔ cos x − sin x + ( + 2cos x ) ( sin x − cos x ) = ⇔ ( cos x − sin x ) ( cos x + sin x ) − ( + 2cos x ) ( cos x − sin x ) = ⇔ ( cos x − sin x ) ( cos x + sin x − − 2cos x ) = ⇔ ( cos x − sin x ) ( sin x − cos x − 1) =  cos x − sin x = ⇔  sin x − cos x − = • π  π cos x − sin x = ⇔ sin x − cos x = ⇔ sin  x − ÷ = ⇔ x = + kπ ( k ∈ ¢ ) 4   π π  π  x − = + k 2π x = + k 2π  π sin x − cos x − = ⇔ sin  x − ÷ = ⇔  ⇔ ( k ∈ ¢)  4   x − π = 3π + k 2π  x = π + k 2π  4 • Vậy phương trình có nghiệm : x= π π + kπ x = + k 2π x = π + k 2π ( k ∈ ¢ ) ; ; Câu (1,0 điểm) [1D1-3.5-2] Cho tam giác ABC có BC = a, AB = c, AC = b Biết góc theo thứ tự lập thành cấp số nhân Tính số đo góc · = 90° BAC a, b, c B, C Lời giải Tác giả: Nguyễn Văn Mạnh ; Fb: Nguyễn Văn Mạnh Phản biện: Nguyễn Đức Hoạch ; Fb: Hoạch Nguyễn Sản phẩm Group FB: STRONG TEAM TOÁN VD VDC Do a, Đề THI HSG 11 YÊN LẠC – VP - 2019 – TỔ 2 2 b, c b = ac theo thứ tự lập thành cấp số nhân nên ta có (*) Áp dụng định lí sin cho tam giác ABC a b c = = · = 90° ⇒ sin A = ta có sin A sin B sin C mà BAC b c = = a ⇒ b = a sin B, c = a sinC = a cosB Do sin B sin C (vì tam giác Khi (*) ⇔ ABC vuông A) 2 a sin B = a cos B ⇔ ( − cos B ) = 3cos B ⇔ 2cos B + 3cos B − =  cosB =  ⇔   cosB = − 2(lo¹i) Với Vậy cosB = B góc tam giác ABC nên B = 60° ⇒ C = 30° B = 60°, C = 30° Câu (1,0 điểm) [1D2-3.2-3] Cho n số nguyên dương Gọi đa thức ( x + 1) ( x + ) n n Tìm a3n− hệ số x3n − khai triển thành n cho a3n− = 26n ? Lời giải Tác giả: Nguyễn Đức Hoạch, Fb: Hoạch Nguyễn Phản biện: Nguyễn Văn Mộng, FB: Nguyễn Văn Mộng  n k n −k   n m n − m m   n k n− k   n m n− m m  ( x + 1) ( x + 2) =  ∑ Cn ( x ) ÷. ∑ Cn x ÷ =  ∑ Cn x ÷. ∑ Cn x ÷ Ta có:  k =0   m=0   k =0   m =0  n n ( m, n, k ∈ ¥ ; ≤ m, k ≤ n ) Sản phẩm Group FB: STRONG TEAM TOÁN VD VDC Xét số hạng chứa Do k , m∈ ¥ x3n − ta suy nên suy Hệ số số hạng chứa Theo giả thiết ( 2n − 2k ) + ( n − m ) = 3n − ⇔ 2k + m = ( k , m ) ∈ { ( 0;3) , ( 1;1) } x3n − a3n− = 26n a3n− = Cn0 Cn3 23 + Cn1 Cn1 nên Cn0 Cn3 23 + Cn1 Cn1 = 26n ⇔ ⇔ Đề THI HSG 11 YÊN LẠC – VP - 2019 – TỔ n! n! n! + = 26n 3!( n − 3) ! ( n − 1) ! ( n − 1) ! 4n ( n − 1) ( n − ) + 2n = 26n ⇔ 2n2 − 3n − 35 = ⇔ n = (Do n∈ ¥ ) Vậy n = thỏa mãn yêu cầu toán Câu (1,0 điểm) [1D2-2.1-4] Cho chữ số 0;1; 2; 3; 4; 5; 6; Từ chữ số lập số tự nhiên có chữ số đơi khác cho tổng chữ số đầu tổng chữ số cuối? Lời giải Tác giả: Nguyễn Văn Mộng; Fb: Nguyễn Văn Mộng GVPB: Trần Thanh Sơn; Fb: Trần Thanh Sơn 0+ 1+ 2+ 3+ 4+ 5+ 6+ = 28, nên để tổng chữ số đầu tổng chữ số cuối tổng 14 Do Ta lập số có tổng 14 có chữ số là: ( 0;1;6;7) ; ( 0;2;5;7) ; ( 0;3;4;7) ; ( 0;3;5;6) Với số có số ứng với cịn lại khơng có số có tổng 14 TH1: Bộ có số đứng trước: có có chữ số 0, ứng với có: +) Xếp số đầu có 3.3! cách +) Xếp số cuối có 4! cách Áp dụng qui tắc nhân có 4.3.3!.4! = 1728 số TH2: Bộ có số đứng sau: có có chữ số 0, ứng với có: +) Xếp khơng có chữ số đứng trước có +) Xếp có chữ số đứng sau có Áp dụng qui tắc nhân có 4! cách 4.4!.4! = 2304 số 4! cách Sản phẩm Group FB: STRONG TEAM TỐN VD VDC Vậy có Đề THI HSG 11 YÊN LẠC – VP - 2019 – TỔ 1728+ 2304 = 4032 số thỏa mãn yêu cầu toán Câu (1,0 điểm) Cho dãy số ( un ) u1 = 2019   n un +1 = n +1 un + thỏa mãn:  2019n Tìm cơng thức số hạng tổng qt tính lim un Lời giải Tác giả: Trần Thanh Sơn ; Fb: Trần Thanh Sơn Phản biện: Dương Hà Hải; Fb: Dương Hà Hải Ta có unn++11 = unn + 1 ⇒ unn++11 − unn = n 2019 2019n  u2 − u1 = 20191  u − u = 20192  L  u n − u n −1 =  n n −1 2019n −1 n −1 Suy ra: unn − u11 = 1 + +K + 2019 2019 2019n −1   1−  ÷ 2019   = 2018 n −1   1−  ÷ n 2019  un = 2019 +  Vậy 2018 Ta có n −1   1−  ÷ n 2019   < un = 2019 + 2018 (AM-GM cho < n 2020 = n 1.1K 1.2020 < n − số số 2020 )  2019  lim  + ÷= Mặt khác n  Vậy lim un =  Câu (2,0 điểm) + + K + + 2020 2019 = 1+ n n Sản phẩm Group FB: STRONG TEAM TOÁN VD VDC Cho hình chóp S ABCD có Đề THI HSG 11 N LẠC – VP - 2019 – TỔ đáy ABCD · = 600 , SA ⊥ ( ABCD), SA = a AD = 2a, AB = BC = CD = a, BAD M uuur uuur r uur uur r mãn 3MB + MS = 0, IS + 3ID = Mặt phẳng ( AIM ) cắt SC N SD d) Chứng minh đường thẳng vng góc với mặt phẳng e) Chứng minh f) Tính diện tích thiết diện tạo mặt phẳng hình I thang hai điểm thỏa ( AIM ) ·ANI = 900 ; ·AMI = 900 ( AMI ) hình chóp S ABCD Lời giải Tác giả: Dương Hà Hải ; Fb: Dương Hà Hải Phản biện: Vũ Huỳnh Đức; Fb: Vũ Huỳnh Đức a) Đặt uuur r uuur r uuur r AB = a, AD = b, AS = c uuur r r r r rr rr rr BC = b, a = a, b = 2a, c = a 3, a.b = a , a.c = 0, c.b = Ta có uuur r r uur r r uuuur SD = b − c, AI = b + c, AM = Ta có: 7 Suy uuur uur uuur uuuur SD.AI = 0, SD AM = Do SD ⊥ AI , SD ⊥ AM Vậy 3r 1r a + c 4 SD ⊥ ( AMI ) BD E Trog mặt phẳng (SBD), SE Khi đó, mặt phẳng ( SAC ), AF cắt SC N b) Trog mặt phẳng ( ABCD), AC cắt cắt MI có F Sản phẩm Group FB: STRONG TEAM TỐN VD VDC Ta có: uuur r r AN = a + b + Đề THI HSG 11 YÊN LẠC – VP - 2019 – TỔ r uur 1r r r c, NI = − a + b + c 2 28 14 uuur uur ⇒ AN NI = ⇒ AN ⊥ NI ⇒ ·ANI = 900 uuuur r r uuur 3r 3r r AM = a + c, MI = − a + b + c 4 28 c) uuuur uuur · = 900 ⇒ AM MI = ⇒ AM ⊥ MI ⇒ AMI Thiết diện tạo mặt phẳng ( AMI ) hình chop S ABCD Ta có S AMNI = S ANI + S AMN Ta có AM = tứ giác AMNI a a a 42 , AN = , NI = 2 14 3a ⇒ S ANI = AN NI = 28 uuuur uuur uuuur uuur 15a AM AN 14 · · AM AN = ⇒ cos MAN = = ⇒ sin MAN = Ta có 16 AM AN 3a · ⇒ S AMN = AN AM sin MAN = 32 2 3a 3a 45a S = + = Vậy AMNI 28 32 224 Câu (1,0 điểm) Cho tứ diện phẳng (α ) ABCD , gọi G qua G′ BCD , G′ trung điểm B′, C ′, D′ Tính trọng tâm tam giác cắt cạnh AB, AC , AD AG Một mặt AB AC AD + + AB′ AC ′ AD′ Lời giải Tác giả: Vũ Huỳnh Đức; Fb: Vũ Huỳnh Đức Phản biện: Trần Đức Phương; Fb: Phuong Tran Duc 1) Trước hết ta xét toán: “ Cho tam giác ABC có đường trung tuyến AM Một đường thẳng d cắt cạnh AB, AC đoạn thẳng AB AC AM + =2 A Chứng minh AB1 AC1 AM ” AM điểm B1 , C1 , M khác Sản phẩm Group FB: STRONG TEAM TOÁN VD VDC Đề THI HSG 11 YÊN LẠC – VP - 2019 – TỔ Chứng minh: Qua B C dựng đường thẳng nhận uuuur B1C1 làm vectơ phương Mỗi đường AM E F (hình vẽ) Khơng tính tổng qt, AM F đối xứng với E qua M thẳng theo thứ tự cắt đường thẳng ta giả sử E thuộc đoạn Áp dụng định lí Thales, ta có AB AE AM − ME AC AF AM + MF AM + ME = = = = = AB1 AM AM , AC1 AM AM AM ⇒ AB AC AM − ME AM + ME AM + = + =2 AB1 AC1 AM AM AM (đpcm) 2) Gọi M,N theo thứ tự trung điểm của mặt phẳng (α ) với CD BG M ′, N ′ theo thứ tự giao điểm AM , AN Áp dụng kết toán vào tam giác ∆ ACD, ∆ ABG, ∆ AMN g AC AD AM + =2 ( 1) , AC ′ AD′ AM ′ g AB AG AN AB AN AB AN + =2 ⇔ +2= ⇔ =2 − ( 2) AB′ AG′ AN ′ AB′ AN ′ AB′ AN ′ g AM AN AG + =2 = 2.2 = ( 3) AM ′ AN ′ AG′ ta được: AC AD AB  AM AN  + + = 2 + ÷ − = 2.4 − = ′ ′ Từ ( 1) , ( ) ( 3) suy AC ′ AD′ AB′ AM AN   Sản phẩm Group FB: STRONG TEAM TOÁN VD VDC Đề THI HSG 11 YÊN LẠC – VP - 2019 – TỔ AC AD AB + + =6 Vậy AC ′ AD′ AB ′ Câu (1,0 điểm) [1D4-3.4-4] Cho n số a1 , a2 , , an ∈ [ 0;1] Chứng minh rằng: ( + a1 + a2 + a3 + + an ) ≥ ( a12 + a22 + a32 + + an2 ) Lời giải Tác giả: Trần Đức Phương; Fb: Phuong Tran Duc Phản biện: Nguyễn Phương Thu; Fb: Nguyễn Phương Thu Xét tam thức f ( x ) = x − ( + a1 + a2 + + an ) x + ( a12 + a22 + + an2 ) Ta có: f ( 1) = − ( + a1 + a2 + + an ) + ( a12 + a22 + + an2 ) = a1 ( a1 − 1) + a2 ( a2 − 1) + a3 ( a3 − 1) + + an ( an − 1) Mặt khác a1 , a2 , , an ∈ [ 0;1] nên  a1 ( a1 − 1) ≤   a2 ( a2 − 1) ≤ ⇒ f ( 1) ≤    a ( a − 1) ≤  n n Mà f ( ) = a12 + a22 + + an2 ≥ ⇒ f ( 1) f ( ) ≤ Mặt khác hàm số f ( x) liên tục [ 0;1] Sản phẩm Group FB: STRONG TEAM TỐN VD VDC Do phương trình f ( x) = Đề THI HSG 11 YÊN LẠC – VP - 2019 – TỔ có nghiệm đoạn [ 0;1] 2 Suy ∆ = ( + a1 + a2 + + an ) − ( a1 + a2 + + an ) ≥ Do đó: ( + a1 + a2 + + an ) ≥ ( a12 + a22 + + an2 ) ... 1 ⇒ unn+ +11 − unn = n 20 19 20 19 n  u2 − u1 = 20 19 1  u − u = 20 1 92  L  u n − u n ? ?1 =  n n ? ?1 20 19 n ? ?1 n ? ?1 Suy ra: unn − u 11 = 1 + +K + 20 19 20 19 20 19 n ? ?1   1? ??  ÷ 20 19   = 20 18 ... 20 19   = 20 18 n ? ?1   1? ??  ÷ n 20 19  un = 20 19 +  Vậy 20 18 Ta có n ? ?1   1? ??  ÷ n 20 19   < un = 20 19 + 20 18 (AM-GM cho < n 20 20 = n 1. 1K 1 .20 20 < n − số số 20 20 )  20 19  lim  + ÷= Mặt... + a1 + a2 + + an ) x + ( a 12 + a 22 + + an2 ) Ta có: f ( 1) = − ( + a1 + a2 + + an ) + ( a 12 + a 22 + + an2 ) = a1 ( a1 − 1) + a2 ( a2 − 1) + a3 ( a3 − 1) + + an ( an − 1) Mặt khác a1 , a2