Tổ 5 đ2 HSG lớp 12 tỉnh lào cai năm 2018 2019

Sản phẩm Group FB: STRONG TEAM TOÁN VD VDC Đề HSG lớp 12 tỉnh Lào Cai năm 2018-2019-Tổ ĐỀ THI HSG LỚP 12 TỈNH LÀO CAI NĂM 2018 – 2019 MƠN TỐN TIME: 180 PHÚT Câu (5.0 điểm) �  17  3x   x   y  14   y  � ,  x, y �� a) Giải hệ phương trình � �2 x  y   3 x  y  11  x  x  13 b) Cho a, b, c số thực dương Tìm giá trị nhỏ biểu thức a  bc b  ca c  ab    44 a  b  c bc ca ab Câu (4.0 điểm) P  x    x  3 a) Cho hàm số y  f  x  có đạo hàm f � 2018 �2 x x � e e  �  x  x  Tìm tất � 3� � 2 2 giá trị thực m để hàm số f  x  x  m  có điểm cực trị cho x1  x2  x3  50 , x1 , x2 , x3 hồnh độ ba cực trị b) Cho dãy số  u n  � u1  ; u2  � � xác định sau � u u 1 � un   n 1 n , n �1 un 1  un � � Chứng minh dãy  un  có giới hạn tìm giới hạn Câu (3.0 điểm) a) Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy cho hình thang vng ABCD vng A D , có CD  AD  AB Gọi M  2;  điểm thuộc cạnh AB cho AB  AM Điểm N thuộc cạnh BC cho tam giác DMN cân M Phương trình đường thẳng MN x  y   Tìm tọa độ đỉnh hình thang ABCD biết D thuộc đường thẳng d : x  y  điểm A : 3x  y   thuộc đường thẳng d � b) Cho hình chóp S ABCD có đáy hình vng cạnh a Biết hình chiếu vng góc uuur uuuu r S mặt phẳng  ABCD  điểm M thỏa mãn AD  3MD Trên cạnh CD lấy điểm I , � MN vng góc với BI Biết góc SC  ABCD  60 N cho � ABM  MBI Tính thể tích khối chóp S AMCB khoảng cách từ N đến mặt phẳng  SBC  Câu (3.0 điểm) Tìm tất nghiệm nguyên dương phương trình 15 x  y  z Câu (3.0 điểm) Tính tổng S  2 2018 2018 2019 2019 2 C2019  C2019        C2019    C2019  2019 2018 Hãy tham gia STRONG TEAM TOÁN VD-VDC- Group dành riêng cho GV-SV toán! Trang Sản phẩm Group FB: STRONG TEAM TOÁN VD VDC Đề HSG lớp 12 tỉnh Lào Cai năm 2018-2019-Tổ GIẢI CHI TIẾT ĐỀ THI HSG LỚP 12 TỈNH LÀO CAI NĂM 2018 – 2019 MƠN TỐN TIME: 180 PHÚT Câu (5.0 điểm) �  17  3x   x   y  14   y  � ,  x, y �� a) Giải hệ phương trình � �2 x  y   3 x  y  11  x  x  13 Lời giải Tác giả: Nguyễn Ngọc Tâm; Fb:Nguyễn Ngọc Tâm  x �0 � �  y �0 �  * Điều kiện: � x  y  �0 � � x  y  11 �0 � Đặt  x  a �0 ;  y  b �0 , phương trình  17  x   x   y  14   y  trở thành: 2 3 � 17    a  � a  �   b   14 � � � � � �  3a   a   3b   b � 3a  2a  3b  2b Xét hàm số y  f  t   3t  2t  0; �  t   9t   0, t � 0; � nên hàm số y  f  t  đồng biến  0; � Ta có f � 3 Vì với a �0, b �0 3a  2a  3b  2b � f  a   f  b  � a  b Suy  x   y �  x   y � y  x 1 Thay y  x  vào phương trình thứ hai hệ ta phương trình: 3x   x   x  x  13  1 �4 �  ;5 Điều kiện x �� �3 � �     Khi phương trình  1 � x    x    x  x  �  3x    3x     x    36 5x     x  1  x   Hãy tham gia STRONG TEAM TOÁN VD-VDC- Group dành riêng cho GV-SV toán! Trang Sản phẩm Group FB: STRONG TEAM TOÁN VD VDC  x  1 Đề HSG lớp 12 tỉnh Lào Cai năm 2018-2019-Tổ 15  x  1   x  1  x   3x   5x   x 1  � � � 15 �   x5 5x   � 3x   �  x  1 � � � 15 �   x   2 � 3x   5x   Phương trình   tương đương với 15   x  3x   5x   15 �4 �   x, x ��  ;5 3x   5x   �3 � � Đặt g  x   � Ta có g  x   9   3x   x    75 �4 �   0, x ��  ;5 � � � 5x   5x   �4 �  ;5 Suy hàm số g  x  nghịch biến � �3 � � �4 �  ;5 Vì phương trình g  x   có nhiều nghiệm � �3 � � Ta lại có x  nghiệm phương trình g  x   nên nghiệm Với x  1 y  2 Với x  y  1 So sánh điều kiện  * , hệ cho có hai nghiệm  x ; y   1 ; 2  ;  ; 1 b) Cho a, b, c số thực dương Tìm giá trị nhỏ biểu thức P a  bc b  ca c  ab    44 a  b  c bc ca ab Lời giải Ta có a  bc a  bc  ab  ac  a  b   a  c  a  bc  a  b   a  c  a   �  a bc bc bc bc bc Tương tự ta có: �P b  ca  b  c   b  a  c  ab  a  c   c  b    b ;  c ca ca ab ab  a  b  a  c   b  c  b  a   c  a  c  b  bc ca ab  a  b  c   44 a  b  c ÁP dụng bất đẳng thức AM-GM  a  b  a  c   b  c  b  a bc ca �2  a  b  Hãy tham gia STRONG TEAM TOÁN VD-VDC- Group dành riêng cho GV-SV toán! Trang Sản phẩm Group FB: STRONG TEAM TOÁN VD VDC  b  c  b  a   c  a  c  b �2  b  c   c  a  c  b   a  b  a  c � c  a  ca ab a b bc Đề HSG lớp 12 tỉnh Lào Cai năm 2018-2019-Tổ � a  b   a  c   b  c   b  a   c  a   c  b  � � 2�   ��4  a  b  c  b  c c  a a  b � �     P a b c 44 a b c Đặt t  a  b  c  � a  b  c  4 a  b  c  t  4t   Ta có t  4t � t 2t 2 t 2t  t 1 2 3 P abc 1 � � abc Vậy giá trị nhỏ P 3 � abc � Câu (4.0 điểm) 1� 2018 e2 x  e x  �  x    x  3 � a) Cho hàm số y  f  x  có đạo hàm f �  x  x  Tìm tất � 3� � 2 2 giá trị thực m để hàm số f  x  x  m  có điểm cực trị cho x1  x2  x3  50 , x1 , x2 , x3 hồnh độ ba cực trị Lời giải Cách x3 � x  Trong đó, x  nghiệm bội chẵn  x  � � Ta có f � � � x2 �  x    x  8 f � Xét hàm g  x   f  x  x  m  có g �  x  8x  m  Khi đó, x4 � x4 � �2 �2 x  8x   m x  8x  m  � g� �  x  � � � � x2  8x   m x2  8x  m  � � � � x2  8x  m  x  8x  m � �  1  2  3 Ta xét hàm h  x   x  x Hàm số có bảng biến thiên sau – Hãy tham gia STRONG TEAM TOÁN VD-VDC- Group dành riêng cho GV-SV toán! Trang Sản phẩm Group FB: STRONG TEAM TOÁN VD VDC Đề HSG lớp 12 tỉnh Lào Cai năm 2018-2019-Tổ Nếu  m  16 � m  19 phương trình  1 ,   ,  3 vô nghiệm Do đó, hàm số g  x  có cực trị m �-� 16 - m Nếu � 18 m 19 phương trình  1 có nghiệm bội chẵn nghiệm kép, phương trình   vơ nghiệm có nghiệm kép, phương trình  3 vơ nghiệm Do đó, hàm số g  x  có cực trị - �m  16  m Nếu  16 m 18 phương trình  1 có nghiệm bội chẵn, phương trình   có nghiệm bội lẻ, phương trình  3 vơ nghiệm có nghiệm kép Do đó, hàm số g  x  có ba cực trị Khi đó, giả sử x1  x2 , x3 hai nghiệm phương trình   thỏa mãn điều kiện x22  x32  34 �  x2  x3   x2 x3  34 Kết hợp với định lý Vi-et ta có 64   m    34 � m  17 (thỏa điều kiện 16 �m  18 ) Nếu  m  16 � m  16 phương trình  1 có nghiệm bội chẵn, phương trình   có nghiệm đơn, phương trình  3 có nghiệm đơn Do đó, hàm số g  x  khơng thỏa mãn có ba cực trị Vậy m  17 giá trị cần tìm Cách 2 Xét hàm g  x   f  x  x  m  có g�  x    x  8 f �  x2  8x  m    x    x  x  m  3 2018 �2 x2 16 x  m x2 8 x  m � � e e  � x  x  m   x2  8x  m  �   � � � 3� �  x  dấu với  x  8 � Dấu g �  x2  8x  m    x2  8x  m  � � � x4 � � 0� � x2  8x  m  � Ta có  x   �  x2  x  m    x2  8x  m  � � � � x2  8x  m  � x4 � �2 x  8x  m � � x2  8x   m � Ta xét hàm h  x   x  x Hàm số có bảng biến thiên sau – - �m  16  m 16 m 18 Khi đó, giả sử x1  Hàm số có ba cực trị  x2 , x3 hai nghiệm phương trình x  x   m thỏa mãn điều kiện x22  x32  34 �  x2  x3   x2 x3  34 Hãy tham gia STRONG TEAM TOÁN VD-VDC- Group dành riêng cho GV-SV toán! Trang Sản phẩm Group FB: STRONG TEAM TOÁN VD VDC Đề HSG lớp 12 tỉnh Lào Cai năm 2018-2019-Tổ Kết hợp với định lý Vi-et ta có 64   m    34 � m  17 (thỏa điều kiện 16 �m  18 ) Vậy m  17 giá trị cần tìm b) Cho dãy số  u n  � u1  ; u2  � � xác định sau � u u 1 � un   n 1 n , n �1 u  u � n 1 n � Chứng minh dãy  un  có giới hạn tìm giới hạn Lời giải Tác giả: Lê Thị Nguyệt ; Fb: Nguyetle Từ un   Suy un 1un   un1  1  un  1 u    un1  1  un  1 un    n  un 1  un un 1  un un 1  un un    un 1  1  un  1  un    un 1  1  un  1 Đặt  un  ta có   vn 1 nên   1 un  Đặt xn  ln ta xn   xn 1  xn Phương trình đặc trưng t  t   có nghiệm t1  n 1 1 ; t2  2 n � 1 � � 1 � Vậy xn   � � � �  � � � � � � � � � 1 1 � v1       ln � � � x   ln  �0.38 u1  � � � � �1 �� �� �� Từ � � � x2   ln �3   �0.78  � � � � u2  v2  �     ln � � � 2 n n �� 1 1 1 � �  �� �  1;  nên lim xn  lim � � Vì � �  � � � �� � 2 �� � � �� �� Suy lim  lim un   Vậy dãy un   un  có giới hạn Câu (3.0 điểm) a) Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy cho hình thang vng ABCD vng A D , có CD  AD  AB Gọi M  2;  điểm thuộc cạnh AB cho AB  AM Điểm N thuộc cạnh BC cho tam giác DMN cân M Phương trình đường thẳng MN x  y   Tìm tọa độ đỉnh hình thang ABCD biết D thuộc đường thẳng d : x  y  điểm A : 3x  y   thuộc đường thẳng d � Hãy tham gia STRONG TEAM TỐN VD-VDC- Group dành riêng cho GV-SV tốn! Trang Sản phẩm Group FB: STRONG TEAM TOÁN VD VDC Đề HSG lớp 12 tỉnh Lào Cai năm 2018-2019-Tổ Lời giải +) Đặt BN  x, AB  a � MA  MN  a  a a 10  2 � � 10a  4a  x  2.x 2a cos135o Xét BMN có MN  MB  BN  2MN NB.cos MBN 9 � x2  2 2a a  0� x 3 Gọi E chân đường vuông góc hạ từ B , kẻ NF vng góc với DC Ta có � NF CN CF   BE CB CE NF CF 2a �4a � �2a � 2a   � NF  CF  � DN  � � � �  a a 3 �3 � �3 � 10a 10a 20a    DN Suy DMN vuông M 9 uuur +) Vì D thuộc đường thẳng d : x  y  nên D  d ;  d  � MD   d  2;  d   Nhận thấy MD  MN  Phương trình đường thẳng MN : x  y   có véc tơ phương r uuur r u   1;  � MD.u  � d  2 � D  2;  : x  y   nên A  a;  3a   +) Điểm A thuộc đường thẳng d � uuu r uuu r uuu r uuu r a 1 � � DA   a  2;  3a   , MA   a  2;  3a   � DA.MA  � a  3a   � � a2 � *) Trường hợp 1: a  � A  1;  uuu r uuur uuur Giả sử B  x; y  ta có AB   x  1; y  5 ; AM   1;  1 � AM   3;  3 uuu r uuur �x   �x  �� � B  4;  Vì AB  AM � AB  AM � � �y   3 �y  uuur uuu r uuu r Giả sử C  x; y  ta có DC   x  2; y   ; AB   3;  3 � AB   6;   uuur uuu r �x   �x  �� � C  4;   Vì DC  AB � DC  AB � � �y   �y  4 Hãy tham gia STRONG TEAM TOÁN VD-VDC- Group dành riêng cho GV-SV toán! Trang Sản phẩm Group FB: STRONG TEAM TOÁN VD VDC Đề HSG lớp 12 tỉnh Lào Cai năm 2018-2019-Tổ *) Trường hợp 2: a  � A  2;  uuu r uuur uuur Giả sử B  x; y  ta có AB   x  2; y   ; AM   0;  � AM   0;  uuur uuur �x   �x  �� � B  2;  Vì AB  AM � AB  AM � � �y   �y  uuur uuu r uuu r Giả sử C  x; y  ta có DC   x  2; y   ; AB   0;  � AB   0;12  uuur uuu r �x   �x  2 DC  AB � DC  AB �� �� � C  2;14  Vì �y   12 �y  14 b) Cho hình chóp S ABCD có đáy hình vng cạnh a Biết hình chiếu vng góc uuur uuuu r S mặt phẳng  ABCD  điểm M thỏa mãn AD  3MD Trên cạnh CD lấy điểm I , � MN vng góc với BI Biết góc SC  ABCD  60 N cho � ABM  MBI Tính thể tích khối chóp S AMCB khoảng cách từ N đến mặt phẳng  SBC  Lời giải *) Tính thể tích khối chóp S AMCB : Ta có : DM  AD 2a , AM  � CM  DM  CD 3 �  60�� SM  CM tan 60� SM   ABCD  � SCM Khi : S AMCB   AM  CB  AB  5a � V S AMCB a 3 5a3 30  SM S AMCB  54 *) Tính khoảng cách từ N đến mặt phẳng  SBC  Hãy tham gia STRONG TEAM TOÁN VD-VDC- Group dành riêng cho GV-SV toán! Trang Sản phẩm Group FB: STRONG TEAM TỐN VD VDC Ta có : BM  Đề HSG lớp 12 tỉnh Lào Cai năm 2018-2019-Tổ a 13 AB � � cos � ABM    cos IBM BM 13 Đặt DI  x � IM  x  a2 , IB   a  x   a Áp dụng định lý cosin ta có 2 � � x  a   a  x   a  13a  2a IM  MB  IB  2MB.IB.cos IBM 9 7a 13a � x � IB  12 12 Gọi H  MN �BI Ta có ABM  MBH � BH  AB  a, IH  IB  BH  CBI ~ HNI �  a  x  a2 a 12 BI CI HI BI 13a a CN  � NI   , CN  CD  DI  IN  �  NI HI CI 60 CD 1 Suy : d  N ,  SBC    d  D,  SBC    d  M ,  SBC   5 Kẻ ME vng góc với BC , MK vng góc với SE Suy : MK  d  M  SBC   Ta có : 1 13 a 130    � MK  2 2 MK MS ME 10a 13 a 130 � d  N ,  SBC    d  M ,  SBC    65 Câu (3.0 điểm) Tìm tất nghiệm nguyên dương phương trình 15 x  y  z Lời giải Người Word hóa: Phạm Văn Chuyền ; Fb: Good Hope Theo yêu cầu tốn  15�1 24 z z Khi vế phải phương trình cho chia hết cho 16 Do y phải số lẻ Từ ta được: � x �y �1 mod  � 15 x  y � 1  1 mod  Vì ta suy x số lẻ � x x 15 � 1  mod  � Ta lại lập luận tiếp để kết luận z phải số chẵn phản chứng sau: Nếu z số lẻ z  22 n1    1   mod 3 y chia dư nên ta có mâu n thuẫn Vì z  y chia hết cho Vậy tới ta tiếp tục tìm nghiệm phương trình cho với giả thiết x, y lẻ, z số chẵn x z x t t Ta có 15  y  � 15    y    y  với t �2 số nguyên thỏa mãn z  2t Ta nhận xét Hãy tham gia STRONG TEAM TỐN VD-VDC- Group dành riêng cho GV-SV tốn! Trang Sản phẩm Group FB: STRONG TEAM TOÁN VD VDC   y     y   2.2 Do   y  t t t t Đề HSG lớp 12 tỉnh Lào Cai năm 2018-2019-Tổ t   y  chia hết cho � � 2t 1  3x  x � � � 2t  y  3x � � x  3x  1 � � �t x �y  �  y5 � � � x t t �� Vì 15    y    y  � � t � �2t 1   15x  y 1 � � � �t � x � � 15x     y  15 � � � �y  � � � �x  � � � �y  �y  � � � � � t2 � �z  � � x  � � Nếu � �y  �x  � � � � � t 3 �y  � � � �z  � � � x  3x Nếu x  2n  3, n �0 từ 2t ��   3x  27  3 2n  27   1 2n 76 t 2t  13  mod16  ; x  125   1 2n  mod16  Ta có  13  mod16  x x Khi   26  mod16  , ta kết luận  1 vô nghiệm 15 x  Tương tự thế, x  2n  3, n �0 từ 2t ��   1688 Ta có 5x   16  1 n 3 t 10 2t  mod 32  x �16  2n  3  1 mod 32  Khi  15  16  2n  3  mod 32  , ta kết luận   vô nghiệm Vậy nghiệm nguyên dương  1;1;   1;7;6  Câu (3.0 điểm) Tính tổng S  2 2018 2018 2019 2019 2 C2019  C2019        C2019    C2019  2019 2018 Lời giải Tác giả:Mai Ngọc Thi ; Fb: Mai Ngọc Thi Xét số hạng tổng quát : Tk  k 2019! 2019! k k k k  C2019  C2019  C2019  2020  k 2019  k ! k ! 2020  k ! k  !       2020  k k 1 2019  k  C2019 C2019 , k  1,2, ,2019 2018 2017 2017 2018 Suy S  C2019 C2019  C2019 C2019   C2019 C2019  C2019 C2019 Xét   x 2019  1 x 2019 2019 2019 2019 2019   C2019  C2019 x   C2019 x   C2019  C2019 x   C2019 x  Hệ số x 2018 khai triển   x  2019   x 2019 : Hãy tham gia STRONG TEAM TOÁN VD-VDC- Group dành riêng cho GV-SV toán! Trang 10 Sản phẩm Group FB: STRONG TEAM TOÁN VD VDC Đề HSG lớp 12 tỉnh Lào Cai năm 2018-2019-Tổ 2018 2017 2017 2018 C2019 C2019  C2019 C2019   C2019 C2019  C2019 C2019  1 Xét khai triển :   x  4038 2018 2018 4038 4038  C4038  C4038 x   C4038 x   C4038 x Hệ số x 2018 khai triển   x  4038 2018 C4038   Từ  1   ta có 2 2018 2018 2019 2019 2 2018 S C2019  C2019   C2019   C2019   C4038       2019 2018 Hãy tham gia STRONG TEAM TOÁN VD-VDC- Group dành riêng cho GV-SV toán! Trang 11