STRONG TEAM TOÁN VD-VDC TỔ 14 KỲ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI CẤP TỈNH LỚP 12 NĂM HỌC 2018-2019 Ngày thi: 18/10/2018 Mơn thi: TỐN Thời gian làm bài: 180 phút Họ tên: ………………… ……………………… SBD:…………………… SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO QUẢNG NGÃI (Đề thức) Câu ( 5,0 điểm ) a) Giải phương trình sin x − cos x − 2sin x = cos x ( − cos x ) tan x ( b) Giải hệ phương trình ) ( x y − ) x − − x + xy = x ( + y ) − = + x − xy Câu ( 3,0 điểm ) y= Cho hàm số 2x +1 x +1 có đồ thị ( C) y = −2 x + m Chứng minh với m đường thẳng k1 , k2 A, B cắt đồ thị hai điểm phân biệt Gọi hệ số góc tiếp tuyến với 2019 2019 P = ( k1 ) + ( k2 ) ( C) A, B Tìm m để biểu thức đạt giá trị nhỏ Câu ( 3,0 điểm ) a) Cho n số nguyên dương thỏa mãn Cnn++41 − Cnn+3 = ( n + 3) n hai triển nhị thức Niu-tơn 3 P = 2x2 − ÷ , x Tìm hệ số số hạng chứa x4 ( x ≠ 0) b) Có hai hộp chứa bi, viên bi mang màu xanh đỏ Lấy ngẫu nhiên từ hộp viên bi Biết tổng số bi hai hộp 20 xác suất để lấy hai viên bi màu xanh 55 84 Tính xác suất để lấy hai viên bi màu đỏ SAB tam giác vuông A Tam giác AB = a, BC = a SC nằm mặt phẳng vng góc với đáy Biết E điểm cạnh CE = ES cho Câu (4,0 điểm) Cho hình chóp a) Tính thể tích khối chóp S ABC E ABC có đáy b) Tính khoảng cách hai đường thẳng Câu (3,0 điểm) Trong mặt phẳng với hệ tọa độ BC Đường thẳng qua A ABC AC Oxy vng góc với BE , cho hình vng AE cắt CD F ABCD Gọi M điểm E thuộc cạnh trung điểm EF , Trang STRONG TEAM TOÁN VD-VDC đường thẳng AM cắt CD TỔ 14 K Tìm tọa độ điểm D A ( −6;6 ) M ( −4; ) K ( −3;0 ) E biết , , có tung độ dương c < a, c < b a , b, c Câu (2,0 điểm) Cho số thực khơng âm thỏa Tìm giá trị nhỏ biểu thức 2 ( a + 1) 64 2a + c 2b + c P = ( a − b ) 2 ÷ + 2 ÷ − + b + c a + c ab + bc + ca a ( a − b ) HẾT KỲ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI CẤP TỈNH LỚP 12 NĂM HỌC 2018-2019 Ngày thi: 18/10/2018 Mơn thi: TỐN Thời gian làm bài: 180 phút Họ tên: ………………… ……………………… SBD:…………………… LỜI GIẢI CHI TIẾT Câu ( 5,0 điểm ) SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO QUẢNG NGÃI (Đề thức) a) Giải phương trình sin x − cos x − 2sin x = cos x ( − cos x ) tan x Lời giải Tác giả: Vĩnh Tín, FB: Vĩnh Tín cos x ≠ cos x ≠ tan x ≠ Điều kiện: Khi sin x − cos x − 2sin x = cos x ⇔ sin x − cos x − 2sin x = sin x − 2sin x cos x − cos x tan x ( ) ⇔ sin x − cos x − 3sin x + 2sin x cos x = ( ) ( ) ⇔ sin x 2sin x − + cos x 2sin x − = ( ⇔ 2sin x − )( ) sin x + cos x = sin x + cos x = ( 1) ⇔ 2sin x − = ( 2) ( 1) ⇔ +) π −π sin x + cos x = ⇔ sin x + ÷ = ⇔ x = + kπ , k ∈ Z 2 6 Trang STRONG TEAM TOÁN VD-VDC +) TỔ 14 π x = + k 2π ,k ∈¢ ( ) ⇔ sin x = ⇔ π x = + k 2π π x = − + kπ ⇔ ,k ∈¢ x = 2π + k 2π Kết hợp điều kiện ta suy nghiệm phương trình là: ( x y − ) x − − x + xy = x ( + y ) − = + x − xy b) Giải hệ phương trình ( ) Lời giải Tác giả: Nguyễn Hoàng Kiệt ; Fb: Nguyễn Hồng Kiệt ( Xét hệ phương trình +) Điều kiện: ) ( x y − ) 3x − − x + xy = x ( + y ) − = + x − xy x≥ x ≥ ⇔ x + 3xy ≥ y ≥ − +) Với điều kiện (*) ( 2) ⇒ (y (t + 4) + y = + 4) + t , t ≥ − +) Xét hàm số: f ' ( t) = • ( 2) ( * ) , từ f ( t) = ( 1) 1 +4+ x x ( 3) t + > ,∀t ≥ − ( t + 4) − ; + ữ ã Suy ra, hm s ng biến 1 − ; +∞ ⇔ f y = f ⇔ y = ( ) ( ) ÷ ÷ f ( t) x x Mặt khác liên tục Do đó, từ y= ( x − ) 3x − − x + = ( ) ( 1) x +) Thay vào , ta được: x= ( 4) ( 4) • Nhận thấy, khơng nghiệm , nên viết lại: f ( t) = ( t + 4) + t ( ) Trang STRONG TEAM TOÁN VD-VDC 3x − − x + = TỔ 14 5 ⇔ 3x − − x + − = 2x − 2x − g ( x ) = 3x − − x + − • Đặt g' ( x ) = = , ∀x ≥ , x ≠ 2x − 10 x + − 3x − 10 − + = + 2 3x − 2 x + ( x − ) x + 3x − ( x − ) x + 29 ( x + 3x − x + + 3x − 2 ; ÷ g ( x) ) + 10 ( 2x − 7) > , ∀x > ,x ≠ 7 ; +∞ ÷ 2 Suy đồng biến g ( 1) = g ( ) = ( 4) x = 1,x = Mà , nên có hai nghiệm 1 ( x; y ) ( 1;1) 6; ÷ +) Vậy nghiệm hệ phương trình y= Câu ( điểm ) Cho hàm số y = −2 x + m 2x +1 x +1 có đồ thị ( C) Chứng minh với m đường thẳng cắt đồ thị hai điểm phân biệt tiếp tuyến với ( C) A, B Tìm m để biểu thức A, B Gọi P = ( k1 ) 2019 k1 , k2 + ( k2 ) hệ số góc 2019 đạt giá trị nhỏ Lời giải Tác giả:Trần Lê Vĩnh Phúc ; Fb: Trần Lê Vĩnh Phúc Phương trình hồnh độ giao điểm : Điều kiện: 2x +1 = −2 x + m ( 1) x +1 x ≠ −1 ( 1) ⇔ x + ( − m ) x + − m = Từ ∆ ( 1) = ( − m ) − 4.2 ( − m ) = m + > 0, ∀x ∈ ¡ Vì x = −1 không nghiệm ( 1) nên phương trình ln có hai nghiệm phân biệt với m Gọi A ( x1 , −2 x1 + m ) ; B ( x2 , −2 x2 + m ) ( 1) hoành độ tiếp điểm với x1 , x2 hai nghiệm Trang STRONG TEAM TỐN VD-VDC Hệ số góc k1.k2 = Mà TỔ 14 k1 = ( x1 + 1) 2019 2019 ⇒ P = ( k1 ) + ( k2 ) ≥2 k = ( x2 + 1) ( x1.x2 + x1 + x2 + 1) Dấu ”=” xảy ( k1.k2 ) 2019 = ⇒ P ≥ 22020 ⇒ Pmin = 22020 x1 = x2 ( l ) k1 = k2 ⇔ ⇒m=0 x1 + x2 = −2 Câu ( 3,0 điểm ) a) Cho n số nguyên dương thỏa mãn Cnn++41 − Cnn+3 = ( n + 3) n khai triển nhị thức Niu-tơn 3 P = 2x2 − ÷ , x Tìm hệ số số hạng chứa x4 ( x ≠ 0) Lời giải Tác giả:Trần Văn Đức ; Fb: Đức trần văn Ta có: Cnn++41 − Cnn+3 = ( n + 3) ⇔ ⇔ ( n + 3) ( n + ) ( n + ) ! − ( n + 3) ! = n + ( ) ( n + 1) !.3! n !.3! = ( n + 3) ⇔ n + = 14 ⇔ n = 12 (tm) 12 Với 12 3 n = 12, P = x − ÷ = ∑ C12k 212− k ( −3) k x 24−5k x k =0 Số hạng chứa x4 x4 Vậy hệ số chứa ứng với 24 − 5k = ⇔ k = C124 28.34 b) Có hai hộp chứa bi, viên bi mang màu xanh đỏ Lấy ngẫu nhiên từ hộp viên bi Biết tổng số bi hai hộp 20 xác suất để lấy hai viên bi màu xanh 55 84 Tính xác suất để lấy hai viên bi màu đỏ Lời giải Tác giả: Nguyễn Thiện ; Fb:Thien Nguyen Trang STRONG TEAM TOÁN VD-VDC TỔ 14 y x a Giả sử hộp thứ có viên bi, có viên bi xanh, hộp thứ hai có viên bi, x, y, a, b x ≥ y , x ≥ a, y ≥ b b có viên bi xanh (điều kiện nguyên dương, ) Từ giả thiết ta có: Từ Từ Từ x + y = 20 ab 55 xy = 84 (1) (2) (2) ⇒ 55 xy = 84 ab ⇒ xy M 84 (1) (2) và (3) (3) suy suy x = 14 y = ab = 55 , mặt khác: , mà a ≤ x ≤ 14, b ≤ y ≤ ⇒ a = 11, b = Vậy xác suất lấy hai viên bi đỏ là: S ABC có đáy E ABC x−a y −b = x y 28 ABC nằm mặt phẳng vng góc với đáy Biết CE = ES cho a) Tính thể tích khối chóp (3) P= Câu (4,0 điểm) Cho hình chóp xy ≤ ( x + y) = 100 ⇒ xy = 84 tam giác vuông A Tam giác AB = a, BC = a SAB E điểm cạnh SC b) Tính khoảng cách hai đường thẳng AC BE Lời giải Tác giả: Bùi Thu Hương ; Fb:Cucai Đuong Trang STRONG TEAM TOÁN VD-VDC TỔ 14 AC = ( 7a 3) 2 - ( 7a) = 7a ABC A a) Tam giác vuông nên H AB Gọi trung điểm ìï ( SAB ) ^ ( ABC ) ïï ï ( SAB ) Ç ( ABC ) = AB Þ SH ^ ( ABC ) í ïï ïï SH Ì ( SAB ) , SH ^ AB ỵ Tam giác SAB SH = nên Cách 1: Ta có VE ABC , 7a VS ABE V SE = = Þ E ABC = VS ABC SC VS ABC 2 7a 343a = VS ABC = SH S ABC = a.7 a = 3 3 2 18 Cách 2: Dựng EJ // SH cắt HC J Þ EJ ^ ( ABC ) Khi , EJ 2 a 7a = Þ EJ = = SH 3 1 7a 343a VE ABC = EJ S ABC = a.7 a = 3 18 Trang STRONG TEAM TOÁN VD-VDC b) Dựng D TỔ 14 BCAD cho AC // ( BED ) hình bình hành Khi d ( AC , BE ) = d ( AC , ( BED ) ) = d ( A, ( BED ) ) = 2d ( H, ( BED ) ) BD ^ ( SAB ) Þ ( BDE ) ^ ( SAB ) Vì Ta có HK ^ BI K Khi 7a HI = SH = Từ H kẻ BIH Trong tam giác vuông I = SH ầ DE ị ( SAB ) ầ ( BDE ) = BI Gọi HK ^ ( BDE ) Þ d ( AC , BE ) = HK : 2 ỉ2 ÷ a 21 ữ ỗ +ỗ ữ = ị HK = ữ ữ ữ ỗ7a ứ 21a 3ứ ố ổ4 1 = 2+ =ỗ ỗ 2 ç7 a HK HI HB è Þ d ( AC , BE ) = HK = a 21 Câu (3,0 điểm) Trong mặt phẳng với hệ tọa độ BC Đường thẳng qua đường thẳng AM cắt A CD Oxy vng góc với K , cho hình vng AE cắt Tìm tọa độ điểm D CD biết F ABCD Gọi M điểm E thuộc cạnh trung điểm EF , A ( −6;6 ) M ( −4; ) K ( −3;0 ) E , , có tung độ dương Lời giải Tác giả:Nguyễn Phong Vũ ; Fb:Nguyễn Phong Vũ Ta có ∆ABE = ∆ADF Suy ∆AEF AB = AD · · BAE = DAF (cùng phụ với · DAE ) vuông cân EF ⇒ AM ⊥ EF ME = MA = MF trung điểm uuuu r AM = ( 2; −4 ) AM = 20 Ta có Do M Trang STRONG TEAM TOÁN VD-VDC Đường thẳng EF qua TỔ 14 M vng góc với Phương trình đường tròn ngoại tiếp tam giác E, F Tọa độ điểm AFE x − 2y +8 = nên có phương trình : ( x + 4) + ( y − ) = 20 ( x + ) + ( y − ) = 20 x + y − = thỏa hệ Giải hệ ta tọa độ MA E ( 0; ) F ( −8; ) yE > , ,( ) E ( 0; ) F ( −8; ) Với , Đường thẳng Đường thẳng CD AD qua qua F ( −8;0 ) A ( −6; ) D = CD ∩ AD ⇒ D ( −6, ) Câu (2,0 điểm) K ( −3;0 ) nên có phương trình vng góc với FK y=0 nên có phương trình x+6 =0 Cho số thực không âm a , b, c thỏa c < a, c < b Tìm giá trị nhỏ biểu 2a + c 2b + c 2 ( a + 1) 64 P = ( a − b ) 2 ÷ + 2 ÷ − + b + c a + c ab + bc + ca a ( a − b ) thức Lời giải Tác giả:Phạm Hữu Thành ; Fb: Phạm Hữu Thành (a +c ) 2 Ta có : Suy a+ Đặt ≥ c a + ÷ 2 ; (b +c ) 2 ≥ −1 −1 ≥ c ab + bc + ca a + c b + c ÷ ÷ b + ÷ 2 2 2 ; 2 c c 4 a + ÷ 4b + ÷ 64 2 2 + a + ÷ P ≥ ( a − b) + − 4 c c a c c a + b + a + ÷ ÷ b + ÷ ÷ 2 2 c c = x ; b + = y ; ( x > 0; y > ) 2 Ta có y 64 1 x P ≥ ( x − y ) 4 + 4 − + 16 ≥ x xy y ( a + c ) a + c ÷ 2 2 Trang STRONG TEAM TOÁN VD-VDC Hay TỔ 14 x y x y x y P ≥ + − ÷ + ÷ − + ÷− 16 + 16 y x y x y x t= Đặt x y + , ( t ≥ 2) y x Xét hàm số f ( t ) = ( t − ) ( t − 3t − 16 ) f ′ ( t ) = ( 4t − 6t − 6t − 10 ) , f ′ ( t ) = ⇔ t = Ta có f ( t) ≥ − Lập bảng biến thiên suy P≥ Suy a = 1 P = ⇔ b = c = 63 a = b = c = Vậy Pmin = HẾT Trang 10