Tài liệu hạn chế xem trước, để xem đầy đủ mời bạn chọn Tải xuống
1
/ 19 trang
THÔNG TIN TÀI LIỆU
Thông tin cơ bản
Định dạng
Số trang
19
Dung lượng
1,06 MB
Nội dung
STRONG TEAM TOÁN VD-VDC TỔ _ ĐỀ THI HSG HÀ NAM 2019 SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO HÀ NAM ĐỀ CHÍNH THỨC KỲ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI THPT NĂM HỌC: 2018 – 2019 Mơn: Tốn – Lớp 12 (Đề thi có 01 trang) Thời gian làm bài: 180 phút Họ và tên: ………………… ………………………SBD:…………………… ĐỀ Câu (5,0 điểm) Cho hàm số y mx3 3mx 2m 1 x m 1 , với m tham số thực Tìm tất 1 có điểm cực trị A B cho khoảng cách từ giá trị tham số m để đồ thị hàm số �1 15 � I�; � điểm �2 �đến đường thẳng AB đạt giá trị lớn x2 x có đồ thị C Có bao Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy, cho hàm số nhiêu điểm M thuộc trục Oy, có tung độ số nguyên nhỏ 2019 thỏa mãn từ điểm C M kẻ tiếp tuyến tới đồ thị cho tiếp điểm tương ứng nằm phía trục Ox ? y Câu (4,0 điểm) Cho phương trình sau với m tham số thực x � x2 x 1� x log 2019 x x 2011 m � log 2019 ( x x 2011) � 4� � � � Tìm tất giá trị m cho phương trình có hai nghiệm thực phân biệt thỏa mãn �x �3 � 2019 x y x x y2 1 y � � � 18 y � 25 x x x y 1 Giải hệ phương trình sau tập số thực: � 1 2 �cos x sin x sin x x cos x � I� x dx � � � e sin x � � sin x � Câu (2,0 điểm) Tính tích phân Câu (5,0 điểm) Cho tứ diện ABCD có cạnh Gọi M , N hai điểm thay đổi thuộc cạnh AB , AC cho mặt phẳng (DMN ) vng góc với mặt phẳng Trang STRONG TEAM TOÁN VD-VDC TỔ _ ĐỀ THI HSG HÀ NAM 2019 ( ABC ) Đặt AM x, AN y Tìm x, yđể tam giác DMN có diện tích nhỏ nhất, lớn Cho hình hộp ABCD A ' B ' C ' D ' có tất mặt hình thoi cạnh a , � BAA � � BAD � A� AD 60� a) Tính thể tích khối hộp ABCD A ' B ' C ' D ' D, AB, IJ Mặt phẳng P qua G cắt cạnh b) Gọi I , J , G trung điểm A� A1 , B1 , D1 A � P , B � P , D � P Gọi A� A, A� B, A� D VA A1B1D1 ,VB A1B1D1 ,VD A1B1D1 A A1 B1 D1 , B.A1 B1D1 , D A1B1 D1 thể tích khối chóp T VA A1B1D1 VB A1B1D1 VD A1B1D1 Tìm giá trị nhỏ biểu thức theo a A 1; 1;0 , M 0;1;0 Câu (2,0 điểm) Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz , cho hai điểm Tìm tọa P : x y z biết AH mặt phẳng AMH độ điểm H thuộc mặt phẳng P vng góc với mặt phẳng a c b c 4c Tìm giá trị nhỏ Câu (2,0 điểm) Cho số thực dương a , b , c thỏa mãn P biểu thức 32a b 3c 32b3 a 3c a b 3c 1 a b2 HẾT Trang STRONG TEAM TOÁN VD-VDC TỔ _ ĐỀ THI HSG HÀ NAM 2019 SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO HÀ NAM ĐỀ CHÍNH THỨC KỲ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI THPT NĂM HỌC: 2018 – 2019 Mơn: Tốn – Lớp 12 (Đề thi có 01 trang) Thời gian làm bài: 180 phút Họ và tên: ………………… ………………………SBD:…………………… LỜI GIẢI CHI TIẾT Câu 1 Cho hàm số y mx3 3mx 2m 1 x m 1 , với m tham số thực Tìm tất 1 có điểm cực trị A B cho khoảng cách từ giá trị tham số m để đồ thị hàm số �1 15 � I�; � điểm �2 �đến đường thẳng AB đạt giá trị lớn Lời giải Nhóm Tác giả: Nguyễn Thị Huỳnh Như; Fb: Nhu Nguyen; Vũ Kiều Oanh; Fb: Rio Vũ Vũ Trần Ngọc Hiếu; FB: Trần Ngọc Hiếu TX Đ : D � 3mx 6mx 2m Ta có: y � Để hàm số 1 có điểm cực trị có nghiệm phân biệt � PT: y� m0 �m �0 �m �0 � �� �� �� (*) 0 � m 1 3m 3m � �� 1� 2 10 �1 y y� � x � mx x m 3� 3 3 �3 Ta có: Khi đường thẳng qua điểm cực trị A B đồ thị hàm số (1) m 10 ( ) : y m 1 x 3 � m 1 x y m 10 Giả sử đường thẳng qua điểm M x0 ; y0 cố định với giá trị m Trang STRONG TEAM TOÁN VD-VDC Suy ra: TỔ _ ĐỀ THI HSG HÀ NAM 2019 m 1 x0 y0 m 10 0, m � m x0 1 x0 y0 10 0, m � x0 � �x0 �� �� �1 � � M � ;3 � 2 x0 y0 10 � � �y0 � � Gọi H hình chiếu vng góc I lên hình vẽ Khi : Do d I , IH �IM d I , lớn H �M uuur uu r � IM � IM u � 3 (1 m) � m (thỏa mãn (*)) uuur � �uur IM � 1; � ; u 3; 2(1 m) � � (vì ) Vậy m Nhận xét: (Lê Thanh Bình) �1 15 � I�; � AB :2 m 1 x y m 10 Xử lý toán khoảng cách từ �2 � đến đường thẳng d I ; AB m 1 m 1 đại số sau: Ta có Đặt t m 1 ta d I ; AB 45 m 10 t t 9 Bunhiacopxky � m 1 4 m 1 2 �2 �3 � � � ��t 32 � � �4 �� t 9 t � � t � m 1 � m 3 Đẳng thức xảy (thỏa mãn (*)) x2 x có đồ thị C Có bao Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy, cho hàm số nhiêu điểm M thuộc trục Oy, có tung độ số nguyên nhỏ 2019 thỏa mãn từ điểm y Trang STRONG TEAM TOÁN VD-VDC TỔ _ ĐỀ THI HSG HÀ NAM 2019 M kẻ tiếp tuyến tới đồ thị trục Ox ? C cho tiếp điểm tương ứng nằm phía Lời giải Tác giả: Lê Hoàn ; Fb: Lê Hoàn y Gọi x2 � y 1 x 1 x 1 M 0; m �Oy Gọi tiếp tuyến C qua M đường thẳng d : y kx m � kx m (1) � x 1 � � 3 � k (2) x � x , x �1 Yêu cầu đề bài, điều kiện hệ phương trình � có nghiệm � �y x1 � y x thỏa mãn � �1 � 1 0 � � � x1 �x1 � � � � � �y x1 � � 1 1 0 � y x � � � x2 �x2 Xét điều kiện � 3 x Từ (1) (2) suy x 1 m 1 3 � 1 m x 1 x 1 x 1 t t �0 Đặt x , phương trình (3) trở thành 3t 6t m (3) (4) t1 t2 �0 t,t Bài toán trở thành tìm m để phương trình (4) có nghiệm thỏa mãn Đặt f t 3t 6t m , với điều kiện ta có bảng biến thiên sau Từ bảng biến thiên suy điều kiện Trang STRONG TEAM TOÁN VD-VDC TỔ _ ĐỀ THI HSG HÀ NAM 2019 �� � � �1� � 1� � 3� � � � m m �f � � � � �� � � � � �� � � � �f �0 � � m �1 m �0 � � � m � 0; 2;3; ; 2018 Do m số nguyên nhỏ 2019 nên � có 2018 điểm M Cách y Tác giả:Nguyễn Ngọc Như Trang ; Fb:nhutrangnguyenngoc x 3 � y' x1 (x 1)2 Gọi phương trình tiếp tuyến đồ thị hàm số cho K (x0 ; y0 ) (): y Ta có: x 2 3 (x x0 ) x0 (x0 1) M �Oy � M (0; m) M � � m x 2 3 ( x0 ) x0 (x0 1) � �x �1 � �0 m(x0 1)2 x0 (x0 2)(x0 1) � � �x �1 � �0 f(x0 ) (m 1)x0 2(m 2)x0 m (1) � u cầu tốn � phương trình (1) có nghiệm phân biệt x1 , x2 khác cho y(x1 ).y(x2 ) phương trình (1) có nghiệm phân biệt x1 , x2 khác � m�1 � � m�1 m�1 � �� ' �� �� (2) 3(m 2) m 2 � �fl(1) �0 ( uon dung) � � y(x1 ).y(x2 ) � � x1 x2 0 x1 x2 x1 x2 2(x1 x2 ) 0 x1 x2 (x1 x2 ) m 4(m 2) 4 9m 2 m m � 0� � m (3) m 2(m 2) 3 1 m m Trang STRONG TEAM TOÁN VD-VDC TỔ _ ĐỀ THI HSG HÀ NAM 2019 � m�1 � � 2 m � Từ (2),(3) suy : � Do m��, m 2019 nên m�{0; 2;3; ; 2018} Vậy có 2018 giá trị m thỏa đề Câu Cho phương trình sau với m tham số thực � x2 x 1� 2 x x log x x 2011 m log 2019 ( x x 2011) � � 2019 4� � � � Tìm tất giá trị m cho phương trình có hai nghiệm thực phân biệt thỏa �x �3 mãn GIẢI � �x x �0 � x � �;0 � 2; � �2 x x 2011 � ĐK Ta có � PT �x �3 � x � 2;0 � 2; 4 (*) �1 x x log 2019 ( x x 2011) m � 2 � 1� x x log 2019 ( x x 2011) � 4� � x x log 2019 ( x x 2011) m � x x log 2019 ( x x 2011) 1� � � 2 Đặt t x x log 2019 ( x x 2011) t' x 1 x2 x log 2019 ( x x 2011) (2 x 2) x x ( x x 2011).ln 2019 � � log ( x x 2011) x2 2x ( x 1) � 2019 � ( x x 2011) ln 2019 � x2 2x � � � Do với x � 2;0 x � 2; 4 t ' , với t ' Bảng biến thiên Trang STRONG TEAM TOÁN VD-VDC TỔ _ ĐỀ THI HSG HÀ NAM 2019 Từ bảng biến thiên ta thấy, với x � 2;0 �� 2; � t �� 0; � � � cho ta hai giá trị Như tốn trở thành tìm m để phương trình sau có nghiệm t2 m Ta có m' t2 m 2.t � m t �� 0; � � � 2.t t2 t 2.t (do không nghiệm pt) 2t 2t ( 2.t 1) , m' � t 2 Bảng biến thiên Từ bảng biến thiên ta thấy m �(�; 4] �[4; �) u cầu tốn thỏa mãn � 2019 x y x x y2 1 y � � � 18 y � 25 x x x y 1 Câu 2.2 Giải hệ phương trình sau tập số thực: � 1 2 Lời giải Tác giả:Trần Ngọc Quang ; Fb:Quang Tran x� Điều kiện Trang STRONG TEAM TOÁN VD-VDC (1) � 2019 x � x x 2019 y � � y 1 y � � � � x ln 2019 ln Xét hàm số TỔ _ ĐỀ THI HSG HÀ NAM 2019 � x x y ln 2019 ln � (*) � y 1 y � � � f t t ln 2019 ln f '(t ) ln 2019 t2 1 t t , t �� 0, t �� Suy hàm số đồng biến � Do phương trình (*) � x y 25 x x x Thay x y vào (2) ta có 18 x x (3) 18 x x� 18 x , x2 x 1 Nếu , suy pt (3) vô nghiệm 18 2 � 25 9 (**) x� x x x 1 (3) Nếu Đặt u ,0 u � x , Pt (**) trở thành 25 9 4u 2u � u 2 u 1 18u �18u � �� 12 � 2u 9 4u u 1 �u � u 2 36 u 4u 0 u2 � � � 36 � 2 0(4) u 1 � 4u Vì � 4u � 36 �36 28 9u , u 1 , suy phương trình (4) vô nghiệm � x � u 2� 2� � x � x � � Với 1 2 1 x� �x �y 2 Vì �1 � � ; � Vậy hệ phương trình có nghiệm � 2 � Trang STRONG TEAM TOÁN VD-VDC TỔ _ ĐỀ THI HSG HÀ NAM 2019 Câu �cos x sin x sin x x cos x � I � x dx � � � e sin x � � sin x � (2,0 điểm) Tính tích phân Lời giải Tác giả: Nguyễn Thanh Việt ; Fb: Nguyễn Thanh Việt 4 �cos x sin x sin x x cos x � cos x sin x sin x x cos x I� d x d x d x I1 I � � x x � � � sin x � e sin x e sin x sin x 0� 0 � Ta có: cos x sin x I1 � dx sin x +) Tính Ta có: sin x �� x �� 0; cos x sin x cos x sin x cos x sin x � 4� �) ( d cos x sin x cos x sin x cos x sin x I1 � dx � dx � ln cos x sin x cos x sin x cos x sin x sin x 0 ln +) Tính sin x x cos x I �x dx e sin x � sin x x cos x u � ex � dx dx dx � dv � sin x sin x cos x � � cos � x � � �4 � Đặt � � x 1 sin x cos x dx du � � ex � � � cos x sin x � v tan � x � � �4 � sin x cos x Suy ra: � �sin x x cos x 1 � cos x sin x x 1 sin x cos x � � I2 � tan � x � dx �2� x e sin x cos x ex �4 � � �0 x 1 cos x sin x � dx 20 ex x e x cos x x sin x cos x sin x � dx 20 e2 x x x 2sin x x cos x sin x e e x sin x cos x � dx 20 e2 x Trang 10 STRONG TEAM TOÁN VD-VDC TỔ _ ĐỀ THI HSG HÀ NAM 2019 / �2 x sin x cos x � � � �dx 0� ex � x sin x cos x 2 2 x e 8e I I1 I ln Vậy Câu 2 2 8e Cho tứ diện ABCD có cạnh Gọi M , N hai điểm thay đổi thuộc cạnh AB , AC cho mặt phẳng (DMN ) vng góc với mặt phẳng ( ABC ) Đặt AM x, AN y Tìm x, y để tam giác DMN có diện tích nhỏ nhất, lớn Lời giải Tác giả: Trần Duy Khương ; Fb:Tran Duy Khuong Gọi O tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC Do ABCD tứ diện nên DO ABC Theo đề bài, mặt phẳng DMN ABC SDMN nên suy O �MN DO.MN S Mà DO số nên DMN lớn Tam giác DMN có DO MN nên MN lớn nhất, nhỏ MN nhỏ MN x y xy x y 3xy Áp dụng định lí cosin tam giác AMN ta có Như M , N thay đổi cho đoạn thẳng MN qua O Ta có x, y �1 uuur uuu r uuur uuur uuu r �1 r uuu r �uuu uuur uuu r uuur uuu r uuu r MO AO AM AH x AB � x �AB AC 3 �3 � Ta có MN AN AM y AC x AB , Trang 11 STRONG TEAM TOÁN VD-VDC TỔ _ ĐỀ THI HSG HÀ NAM 2019 1 x 33 0� uuuu r uuuu r y x MN MO Vì hướng nên Từ x, y �1 , ta có x ۳ y xy MN x y x y �1 � y � x � x � 3xy x y �3 � 1 1 �3� x y x y x x 2 Ta có � t' x � x x �� ;1� t x �, � x với Đặt t x y Ta có x 3x 3x 1 Bảng biến thiên: �t � Quan sát bảng biến thiên, ta có � 3� ; � � MN f t t t f t �ta � Ta có Khảo sát biến thiên hàm đoạn 2 � � x t � � � �t �� �� 2� � �y t � � , MN max � MN � x 1, y � � � y 1, x � � 2 Cho hình hộp ABCD A ' B ' C ' D ' có tất mặt hình thoi cạnh a , � BAA � � BAD � A� AD 60� a) Tính thể tích khối hộp ABCD A ' B ' C ' D ' D, AB, IJ Mặt phẳng P qua G cắt cạnh b) Gọi I , J , G trung điểm A� A1 , B1 , D1 A � P , B � P , D � P Gọi A� A, A� B, A� D VA A1B1 D1 , VB A1B1 D1 ,VD A1 B1 D1 A A1 B1 D1 , B A1 B1D1 , D A1B1 D1 thể tích khối chóp T VA A1B1D1 VB A1B1D1 VD A1B1D1 Tìm giá trị nhỏ biểu thức theo a Lời Giải Tác giả: Nguyễn Tuấn Phương ; Fb:phuongnguyentuan86 Trang 12 STRONG TEAM TOÁN VD-VDC TỔ _ ĐỀ THI HSG HÀ NAM 2019 D, AA ' B tam giác suy A� B BD A� D a Do Các tam giác ABD, AA� BD tứ diện có cạnh a tứ diện AA� a a BH 3 Tam giác ABH vuông BD Ta có Gọi H trọng tâm tam giác A� a2 a a2 AH AB BH a S A ' BD 3 ; H nên a a2 a3 VA A' BD 12 Vậy 2 VABCD A���� B C D 6.VA A ' BD a3 a3 12 Suy Cách khác: O vng góc với mặt Gọi O trọng tâm ABD , tứ diện A ' ABD tứ diện nên A� ABD Do A� O chiều cao hình hộp phẳng a2 a A� O A� D OD a 3 Ta có a a2 a3 a2 a2 � VABCD A���� S ABCD SABD B C D A O S ABCD 2 Vậy Bổ đề: Cho tứ diện SABC có SA SB SC Một mặt phẳng ( P ) thay đổi qua trọng 1 CMR : 4 SM SN SP tâm G tứ diện cắt SA, SB, SC M , N , P Chứng minh: Trang 13 STRONG TEAM TOÁN VD-VDC TỔ _ ĐỀ THI HSG HÀ NAM 2019 Gọi G�là trọng tâm ABC Theo tính chất trọng tâm tứ diện ta có S , G , G �thẳng hàng SG VSABGG� VSBCG � VSG�CA VSABC SG � Thêm Ta có: VSMNG SM SN SG 3V V 3SM SN SM SN � SMNG � SMNG 1 VSABG� SA SB SG � VSABC VSABC (Lưu ý SA SB ) VSNPG SN SP VSGPM SP.SM 2 3 V V � SABC SG CA Lập luận tương tự thu , , ta Cộng theo vế đẳng thức VSMNP SM SN SN SP SP.SM SM SN SP SM SN SN SP SP.SM � VSABC SA SB SC 1 � 4 � 4.SM SN SP SM SN SN SP SP.SM SM SN SP Quay lại toán cho: G trung điểm đoạn thẳng nối trung điểm hai cạnh đối tứ diện A� ABD nên G ABD với G trọng tâm tứ diện Coi a đơn vị dài Áp dụng bổ đề cho tứ diện A� Trang 14 STRONG TEAM TOÁN VD-VDC trọng tâm tứ diện TỔ _ ĐỀ THI HSG HÀ NAM 2019 P A1 , B1 , D1 giao điểm mặt phẳng 1 4 � � � � � � A A A B A D A A , A B , A D 1 cạnh Ta có: 1 4 A� A1 x; A� B1 y; A� D1 z x, y , z 1 x y z Đặt ta qua G với 1 1 27 27 � � ۳ 33 64 xyz x y z xyz xyz 64 Áp dụng bất đẳng thức AM-GM ta có xyz (mặt phẳng (P) song song với ABD ) Dấu xảy Mặt khác VAA1B1D1 BB1 y VDA1B1D1 DD1 z AA1 x VBA1B1D1 VA�A1B1D1 A� A1 x VA�A1B1D1 A� B1 y VA�A1B1D1 A� D1 z ; ; VA�A1B1D1 A� A1 A� B1 A� D1 xyz � VA�A1B1D1 xyz.VA�ABD VA�ABD A� A A� B A� D Suy �1 �1 1 � 1 � T � 1� VA�A1B1D1 � � xyz.VA�ABD xyz.V � �27 V � A ABD A ABD y z � �x �x y z � 64 a3 12 27 a 64 12 9a3 256 đạt mp ( P) song song với VA�ABD T Tmin Mà ABD mp Cách trình bày khác: (Theo thầy Kiên Nguyễn) AA1 BB1 DD1 A� A A� B A� D 4� 1 � � � � � � A A A B A D A A A B A D 1 1 1 Chứng minh (cách chứng minh tương tự bổ đề trên) h d A; A1B1D1 ; h2 d B; A1B1D1 ; h3 d C ; A1B1D1 ; h d A� ; A1B1D1 Đặt h1 AA1 h2 BB1 h3 DD1 h h h ; ; � 1 � � � � h1 h2 h3 h h h h Ta có h A D1 h A B1 h A D1 1 VA A1B1D1 VB A1B1D1 VD A1B1D1 S A1B1D1 h1 h2 h3 h.SA1B1D1 VA�A1B1D1 3 B A� D � �AA� A� VA�A1B1D1 AA� A� B A� D �A� A A� B1 A� D1 � 4 � �� VA� ABD A� A1 A� B1 A� D1 � � 27 � � � � Lại có 27 27 a 9a VA� ABD 64 64 12 256 AA� A� B A� D � � A1 B1 D1 � � � ABD A A A B A D 1 Dấu xảy // 9a T 256 đạt P // ABD Vậy VA�A1B1D1 Nhận xét: (Lê Thanh Bình) Cách chứng minh vectơ cho bổ đề: Trang 15 STRONG TEAM TOÁN VD-VDC TỔ _ ĐỀ THI HSG HÀ NAM 2019 Bổ đề: Cho tứ diện SABC có SA SB SC a Một mặt phẳng ( P ) thay đổi qua trọng tâm G 1 CMR : SA , SB , SC M , N , P SM SN SP a tứ diện cắt Chứng minh: S M A P G C N H K B uuur uur uuu r uur uur uuu r SM xSA , SN ySB , SP zSC Ta có với SM SM SN SN SP SP x ; y ;z SA a SB a SC a SG � ABC H Vì G trọng tâm tứ diện S ABC nên ta có với H trọng uuu r uuur uur uur uuu r �1 uuur uuu r uur � SG SH SA SB SC � SM SN SP � 4 �x y z � tâm tam giác ABC Suy 1 1 1 1 � x y z Vì M , N , P, G đồng phẳng nên x y z a a a � 4 SM SN SP 1 Hay SM SN SP a dnk260690@gmail.com A 1; 1;0 , M 0;1; Câu ( điểm) Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz , cho hai điểm Tìm tọa P : x y z biết AH mặt phẳng AMH độ điểm H thuộc mặt phẳng P vng góc với mặt phẳng Lời giải uur uuuu r uur uuuu r uuuu r � � 2; 1; 1 n ; AM nP 1;1;1 AM 1; 2;0 u AM P � Ta có: ; Ta có: � Trang 16 STRONG TEAM TỐN VD-VDC TỔ _ ĐỀ THI HSG HÀ NAM 2019 AMH chứa AM vng góc với mặt phẳng P nên phương trình mặt phẳng Mặt phẳng AMH : x y z uuur 2 H x; y; z AH x 1; y 1; z AH � x 1 y 1 z Gọi , ta có: � 2x y z 1 � � � x yz20 � 2 x 1 y 1 z P � H Vì thuộc mặt phẳng nên ta có hpt: giải hpt ta H1 1;0; 1 H 1; 2;1 Câu a c b c 4c Tìm giá trị nhỏ biểu Cho số thực dương a , b , c thỏa mãn P thức 32a b 3c 32b a 3c a b 3c 1 a b2 Lời giải Tác giả: Lê Đức Hợp ; Fb: Le Hoop Bổ đề: Cho m , n hai số thực dương ta có a) 1 2� 2 m n m n m3 n3 �m n � �� � � � b) Thật a) Ta có 1 1 �2 �2 2 m n m n m.n m n m n Đẳng thức xảy � m n m3 n3 �m n � �� � � � � 4m3 4n3 �m3 3m2 n 3m.n n3 � m3 n m n m.n �0 b) � m n m n �0 (luôn với m , n hai số thực dương ) m3 n3 �m n � �� � � � m , n ; Đẳng thức xảy � m n Vậy Áp dụng vào tốn Ta có Đặt a c b c 4c x �a � �b � � � 1� � 1� �c � �c � a b 0 y 0 x 1 y 1 c c ; Từ giả thiết ta có Trang 17 STRONG TEAM TỐN VD-VDC TỔ _ ĐỀ THI HSG HÀ NAM 2019 P 32a b 3c 32b 3 3 �a � 32 � � �c � P �b � � � �c � a 3c 32 y P �x P � �y y 3 x 3 3 �b � 32 � � �c � 2 �a � � � �c � 32 x 3 �a � �b � 32 � � 32 � � c c � �� � �3 a b 3c 1 a b 3c �b � �a � � � � � a b �c � �c � y � � 2 x3� a b �a � �b � 32 � � 32 � � 2c c c �� � �3 2 a b a b �b � �a � � 3� � 3� c c �c � �c � 3 � � x � � y �� 6 32 � � � � �� 2 x y x y � �y � �x �� � � 2 x y x y x x y y x y x y xy y 3 x 3 xy x y x 3 y 3 Ta có x 1 y 1 � xy x y � xy x y Từ Ta có x y xy x y � x y x y � 4 x y �0 � x y �2 (vì x y ) Đặt t x y �2 Ta có xy t Khi 3 � x y x y xy � � t 3t t � 6 P �8 � � 2 � 2 � x y t � � � t 3t � � xy x y � �t 5t � P � � 2 � 2t 12 � f t t 1 Xét hàm t t 1 t 2 2 2; � t Ta có f� t t 1 t � 2; � t2 f t t 1 Vậy hàm số Từ suy Vậy 2 2; � t đồng biến P �f t �f Pmin xảy x y � a b c Trang 18 STRONG TEAM TOÁN VD-VDC TỔ _ ĐỀ THI HSG HÀ NAM 2019 HẾT Trang 19 ... STRONG TEAM TOÁN VD-VDC TỔ _ ĐỀ THI HSG HÀ NAM 20 19 SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO HÀ NAM ĐỀ CHÍNH THỨC KỲ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI THPT NĂM HỌC: 2018 – 20 19 Mơn: Tốn – Lớp 12 (Đề thi có 01 trang) Thời gian... STRONG TEAM TOÁN VD-VDC (1) � 20 19 x � x x 20 19? ?? y � � y 1 y � � � � x ln 20 19 ln Xét hàm số TỔ _ ĐỀ THI HSG HÀ NAM 20 19 � x x y ln 20 19 ln � (*) � y 1... 4 9m 2 m m � 0� � m (3) m 2(m 2) 3 1 m m Trang STRONG TEAM TOÁN VD-VDC TỔ _ ĐỀ THI HSG HÀ NAM 20 19 � m�1 � � 2 m � Từ (2),(3) suy : � Do m��, m 20 19 nên m�{0; 2;3; ; 2018}