Đề thi chọn HSG môn Toán 9 năm 2018-2019 có đáp án - Sở GD&ĐT Đồng Nai

Cùng tham khảo Đề thi chọn HSG môn Toán 9 năm 2018-2019 có đáp án - Sở GD&ĐT Đồng Nai để các em ôn tập lại các kiến thức đã học, làm quen với cấu trúc đề thi để chuẩn bị cho kì thi sắp tới được tốt hơn với số điểm cao như mong muốn. Tài liệu đi kèm đáp án giúp các em so sánh kết quả và tự đánh giá được năng lực bản thân, từ đó đề ra phương pháp học tập hiệu quả giúp các em tự tin đạt kết quả cao trong kì thi sắp tới. Chúc các em thi tốt!

SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO ĐỒNG NAI ĐỀ CHÍNH THỨC THI CHỌN HỌC SINH GIỎI LỚP NĂM HỌC 2018 – 2019 Mơn Tốn Thời gian làm bài: 150 phút Ngày thi 29/3/2019 (Đề thi gồm trang có câu) Câu (4,5 điểm) �x  y  m  1) Cho (x, y) nghiệm hệ phương trình � (với m tham số 2x  3y  m  � thực) Tìm m để biểu thức P  x  y đạt giá trị nhỏ �x  y  � 2) Giải hệ phương trình �3 (với x, y thuộc R) x  y   � Câu (4,5 điểm) 1) Giải phương trình x  x  24 x  27 x   (x �R) 2) Cho ba số thực dương a, b, c Chứng minh: a b c b c � �a    �4 �   � b c a �a  b b  c c  a � Câu (4,5 điểm) 1) Cho a, b, c ba số nguyên khác thỏa 1   Chứng minh rằng: abc chia a b c hết cho 2) Tìm số số nguyên dương không vượt 1000 nguyên tố với 999 Câu (2 điểm) 99     tổng 99 1 2 3 99  100 số hạng B      100 tổng 99 số hạng Cho A  Tính A + B Câu (4,5 điểm) Cho tam giác ABC ngoại tiếp đường tròn (I) Gọi D, E hai tiếp điểm � , � � , góc nhọn Gọi M AB, AC với đường trịn (I) Biết ba góc BAC ABC , BCA N trung điểm hai đoạn BC AC 1) Chứng minh: 2AD = AB + AC – BC 2) Chứng minh ba đường thẳng BI, DE, MN đồng quy Hết Đào Văn Tuấn – THCS Quang Trung – Tân Phú SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO ĐỒNG NAI THI CHỌN HỌC SINH GIỎI LỚP NĂM HỌC 2018 – 2019 Mơn Tốn HƯỚNG DẪN GIẢI Câu (4,5 điểm) �x  y  m  1) Cho (x, y) nghiệm hệ phương trình � (với m tham số 2x  3y  m  � thực) Tìm m để biểu thức P  x  y đạt giá trị nhỏ Giải: x  y  3m  �x  2m �x  y  m  � � �� � � x  y  m  x  y  m  � � �y  x  m  �x  2m �� �y  m  (m �R) Ta có: P  x  y  4m  8(m  1)  4m  8m    2m    12 �12 Dấu “=” xẩy 2m + = � m  1 Giá trị nhỏ P -12 m = -1 �x  y  � 2) Giải hệ phương trình �3 (với x, y thuộc R) x  y   � 2 � �  x  y   xy  �x  y  � �� Giải: �3 ( x  y )3  3xy  x  y   1 �x  y  1 � �x  y  S Đặt � �xy  P � 1 S2 � 1 S2 P � � �S  P  � �P  �� � Ta có: � � 1 S �S  3SP  1 � � S  S  3S   S  3S  1 � � Đào Văn Tuấn – THCS Quang Trung – Tân Phú � 1 S2 � 1 S2 � 1 S2 �P  �P  �P  2 �� �� �� 2 � � � S  S  S   S  S  5S        S  S      � � � � � 1 S2 �x  P  � � � �P  �x  y  1 � � �y  �� �� �� � � S  1  �  S   xy  �y  � � �� � � �� �x  1 �5S  5S   (vn) � Câu (4,5 điểm) 1.Giải phương trình x  x  24 x  27 x   (x �R) Giải: x  x  24 x  27 x   (*) Với x = 0, (*) � 0x+9=0 (phương trình vơ nghiệm Với x �0, chia vế phương trình (*) cho x2 27 � 3� � 3� (*) � x - 9x+24 - + =0 � �x  � �x  � 18  x x � x� � x� � x 3 � � � � � x � �x   � �x   � � � � x � � x � � x 6 0 � x � � x  x   (vo nghiem) x  3 � �2 �� x  6x   x  3 � � 2.Cho ba số thực dương a, b, c Chứng minh: a b c b c � �a    �4 �   � b c a �a  b b  c c  a � Giải: a b c b c � �a    �4 �   � b c a �a  b b  c c  a � b c � �a � �b � �c � � a � �  1� �  1� �  1��4 �   � �b � �c � �a � �a  b b  c c  a � Đào Văn Tuấn – THCS Quang Trung – Tân Phú � ab 4a bc 4b ca 4c      �0 b ab c bc a ca  a  b � b( a  b )  b  c  c (b  c)  c  a  a (c  a ) �0 Luôn a, b, c số dương Dấu xẩy a = b = c Câu (4,5 điểm) 1) Cho a, b, c ba số nguyên khác thỏa hết cho Giải: 1   Chứng minh rằng: abc chia a b c 1   � bc  a (b  c) (1) a b c , theo (1)Suy ra: b.c M2 TH1: Nếu a số nguyên chẵn, suy a (b  c ) M Cách 1: Vậy abc chia hết cho � a (b  c)M2 TH2: Nếu a số nguyên lẻ Với b c hai số lẻ thì: b  cM Mà a.b.c khơng chia hết cho (vì a, b, c lẻ) Suy mâu thuẫn Vậy hai số, b, c tồn số chẵn + Với b chẵn, mà a lẻ nên c chẵn (vì b.c chẵn nên a(b+c) chẵn suy c chẵn, a lẻ) Suy abc chia hết cho + Với c chẵn, tương tự abc chia hết cho Cách 2: 1   � bc  a(b  c) � abc=a (b+c) (2) a b c Ta thấy a, b, c khơng thể số lẻ vây abc số lẻ, cịn b+c số chẵn Vậy số tồn số chẵn Nếu a chẵn a2 chia hết cho 4, từ (2) suy abc chia hết cho Nếu b chẵn, a lẻ nên b + c chẵn (vì abc chẵn) suy c chẵn Vậy abc chia hết cho Tương tự cho trường hợp c chẵn 2.Tìm số số ngun dương khơng vượt q 1000 nguyên tố với 999 Giải: Cách 1: Dùng hàm Ơle: Phân tích số m thừa số nguyên tố: m  p1x p2 y p3 z Số số nguyên dương không vượt m nguyên tố với m � �� �� �  (m)  m � 1 � � 1 � � 1 � � p1 �� p2 �� p3 � Đào Văn Tuấn – THCS Quang Trung – Tân Phú � �� � �  � 648 � � �� 37 � 1 Ta có: 999  37 �  (999)  999 � Có 648 số nguyên tố với 999 không vượt 999 Vây có 649 số nguyên tố với 999 không vượt 1000 Cách 2: Gọi A số số nguyên dương không vượt 1000 Suy A = 1000 B số số nguyên dương không vượt 1000 mà không nguyên tố với 999 C số số nguyên dương không vượt 1000 nguyên tố với 999 Ta có: 999  33.37 B = (Số số nguyên dương không vượt 1000 chia hết cho 3) – (Số số nguyên dương không vượt 1000 chia hết cho 37 mà không chia hết cho 3) + Số số nguyên dương không vượt 1000 chia hết cho là: 999    333 + Số số nguyên dương không vượt 1000 chia hết cho 37 là: 999  37   27 37 + Số số nguyên dương không vượt 1000 chia hết cho 37 (chia hết cho 111) là: 999  111 1  111 + Số số nguyên dương không vượt 1000 chia hết cho 37 mà không chia hết cho là: 27   18 Suy B = 333+ 18 = 351 Vậy C= A – B = 1000 – 351 = 649 Câu (2 điểm) 99     tổng 99 1 2 3 99  100 số hạng B      100 tổng 99 số hạng Cho A  Tính A + B Giải: A   99     1 2 3 99  100   1     3     98   99  98  99  100  99  1      99  99 100 B      100 � A  B  100 100   999 Câu (4,5 điểm) Đào Văn Tuấn – THCS Quang Trung – Tân Phú  Cho tam giác ABC ngoại tiếp đường tròn (I) Gọi D, E hai tiếp điểm � , � � , góc nhọn Gọi M AB, AC với đường trịn (I) Biết ba góc BAC ABC , BCA N trung điểm hai đoạn BC AC 1)Chứng minh: 2AD = AB + AC – BC 2)Chứng minh ba đường thẳng BI, DE, MN đồng quy Giải: a) Gọi F tiếp điểm BC với đường trịn (I) Theo tính chất tiếp tuyến cắt ta có: AD = AE; BD = BF; CE = CF Suy ra: AB + AC – BC = (AD + DB) + (AE+ CE) – (BF + CF) = AD + AE = 2AD b) Gọi S giao điểm BI MN Ta cần chứng minh: D, E, S thẳng hàng Thật vậy: Do MN đường trung bình tam giác ABC nên MN//AB �  BSM � (hai goc so le trong); B � B � �B 2 � B � � BSM Suy tam giác MBS cân M nên MB = MS = MC Tam giác BSC có đường trung tuyến SM=1/2BC nên tam giác BSC vuông S Ta có: Tứ giác IECF IESC tứ giác nội tiếp (đường trịn đường kính IC) Nên điểm I, E, S, C, F thuộc đường trịn đường kính IC Ta có: �  SIC � ; SIC � B �C � ( goc ngoai cua tam giac) � SEC 1 � B �C � (1) � SEC 1 Lại có tam giác ADE cân A � 1800  � A A � � � � nên: AED  ADE  (2)  90   B  C1 2 � =� Từ (1) (2) suy SEC AED mà A, E, C thẳng hàng nên D, E, S thẳng hàng Vậy ba đường thẳng BI, DE, MN đồng quy Cách khác: Gọi P giao điểm DE BI Đi chứng minh M, N, P thẳng hàng Đào Văn Tuấn – THCS Quang Trung – Tân Phú ... Tân Phú � �� � �  � 648 � � �� 37 � 1 Ta có: 99 9  37 �  (99 9)  99 9 � Có 648 số nguyên tố với 99 9 không vượt 99 9 Vây có 6 49 số nguyên tố với 99 9 không vượt 1000 Cách 2: Gọi A số số nguyên... 6 49 Câu (2 điểm) 99     tổng 99 1 2 3 99  100 số hạng B      100 tổng 99 số hạng Cho A  Tính A + B Giải: A   99     1 2 3 99  100   1     3     98   99 ... 2 3 99  100   1     3     98   99  98  99  100  99  1      99  99 100 B      100 � A  B  100 100   99 9 Câu (4,5 điểm) Đào Văn Tuấn – THCS Quang Trung – Tân