PHỊNG GD&ĐT N THÀNH TRƯỜNG THCS HỒ TƠNG THỐC ĐỀ THI THỬ HỌC SINH GIỎI LỚP Năm học 2018-2019 Mơn: Tốn Thời gian làm bài: 150 phút Câu 1(5.0 điểm): a) Tìm số tự nhiên n cho: n + 24 n – 65 hai số phương b) Tìm số ngun tố mà tích chúng lần tổng chúng c) Tìm nghiệm nguyên phương trình: x(y + 1) + 2y(x - 2) = Câu 2(5.0 điểm): a) Giải phương trình: 3x + x + 10 = 14 x − b) Giải phương trình: 3x - + - 3x = 5x -20x + 22 c) Cho x, y hai số dương thỏa mãn : x2 + y2 = 2 1 1 Tìm giá trị nhỏ biểu thức : E = x + ÷ + y + ÷ y x Câu 3(4.0 điểm): a) Cho abc = Chứng minh rằng: b) Cho a, b, c > : Chứng minh a b c + + =1 ab + a + bc + b + ac + c + a+b+c a2 b2 c2 ≥ + + b+c c+a a+b Câu 4: (4,0 điểm) Cho tam giác ABC nhọn, ba đường cao AD, BE, CF cắt H Gọi I, K hình chiếu điểm D cạnh AB, AC Gọi O giao điểm EF AD Chứng minh rằng: a) AE.AC = AF.AB AI.AB = AK AC b) Chứng minh: AD.CosBAC = AH.SinABC SinACB Câu 5(2 điểm) ): Cho tam giác nhọn ABC Tìm điểm M tam giác cho: MA.BC + MB AC + MC.AB đạt giá trị bé Câu ĐÁP ÁN TOÁN Đáp án Ý n + 24 = k Ta có: n − 65 = h ⇔ k2 − 24 = h2 + 65 A ⇔ ( k − h )( k + h ) = 89 = 1.89 k + h = 89 k = 45 ⇔ ⇒ k − h = h = 44 Vậy: n = 452 – 24 = 2001 Tìm số nguyên tố mà tích chúng lần tổng chúng Gọi a, b, c số nguyên tố cần tìm Ta có: abc = 5(a+b+c) ⇒abc M mà nguyên tố, nên số a, b, c có số Khơng tính tổng qt, giả sử a= 5, ta có: 5bc = 5(5+b+c) ⇔ bc = + b + c ⇔ bc − b − c + = ⇔ b(c − 1) − (c − 1) = ⇔ (c − 1)(b − 1) = B b,c số ngun dương có vai trị nên ta có hệ: b −1 = b = ⇔ i) c − = c = b − = b = ⇔ ii) trường hợp loại hợp số c −1 = c = Vậy số nguyên tố cần tìm là: 2; 5; C Ta có: x(y + 1) + 2y(x - 2) = ⇔ xy + x + 2yx - 4y = ⇔ x(y + + 2y) = 4y ⇔ x(y+1) = y + Nếu y = −1 = −4 (khơng thoả mãn) + Nếu y ≠ −1 thì: 4y ⇒x= (1) (y + 1) Vì y y + số nguyên tố ( HS chứng minh không chứng minh) nên từ (1) để nghiệm x ∈ Z 4M(y + 1) Suy ra: (y + 1) = (y + 1) = y = +) Với (y + 1) = ⇒ y = −2 y =1 +) Với (y + 1) = ⇒ y = −3 Điểm 0.5 0.5 0.5 0.5 0.5 0.5 0.5 0.5 0.5 0.5 0.5 y =0⇒ x =0 y = −2 ⇒ x = − y =1⇒ x =1 y = −3 ⇒ x = −3 Vậy ta có cặp nghiệm: ( 0;0), (-8;-2), (1;1), (-3;-3) 3x - + - 3x = 5x -20x + 22 (**) Điều kiện: ≤ x ≤ 3 Áp dụng bất dẳng thức Bunhiacopski ta có: ( 3x - + - 3x ) ≤ (12 + 12 )(3x - + - 3x) = 0.5 0.5 0.5 A ⇒ 3x - + - 3x ≤ Mặt khác ta có: 5x - 20 x+ 22 = ( x - ) + ≥ 2 3x - + - 3x = x = ⇔ ⇔ x = (TMĐK) Do đó: (**) ⇔ x = 5x -20x + 22 = Vậy nghiệm phương trình cho x = 2 1 x y + ÷+ + ÷ y y x x 1 Áp dụng BĐT: + ≥ với a > 0; b > a b a+b 1 1 Ta có + ÷ ≥ 2 ⇔ + ≥ y x +y x y x a b Áp dụng BĐT: + ≥ với a > 0; b > b a x y x y Ta có + ≥ ⇔ + ÷ ≥ y x y x 2 Ta có E = ( x + y ) + B 0.5 0.5 0.5 0.5 0.5 0.5 Vậy giá trị nhỏ biểu thức E = Dấu “=” xảy x = y = Thay vào ta có: bc a b c + + ab + a + bc + b + ac + c + 1 b c bc = + + 1 b+ + bc + b + c+c+1 bc bc bc b bc = + + b +1 + bc bc + b + 1 + bc + b + b + bc = =1 b +1 + bc Với abc = ⇒ a = A 0.5 0.5 0.5 0.5 b+c a2 ≥ a ( CôSi) + b+c a+c a+b b2 c2 ≥ b, Tương tự : + + 4 c+a a+b B ⇒ VT + ( a + b + c ) ≥ ( a + b + c ) 2 a+b+c a b2 c2 ≥ Vậy + + b+c c+a a+b Ta có: 0.5 ≥ c 0.5 0.5 0.5 Ta có ∆ABE vng E ∆ACF vng F ( BE CF hai đường AE AF · ⇒ AE.AC = AF.AB(1) = cao ∆ABC) ⇒ Cos BAC = AB AC A ∆ADC vuông D có DK đường cao ⇒ AD2 = AK.AC Lại có ∆ADB vng D có DI đường cao ⇒ AD2 = AI.AB Suy ra: AI.AB = AK AC (2) Ta có ∆ADB vng D ⇒ SinABC = AD AB 0.5 0.5 0.5 Lại có ∆CBE vuông E ∆AHE vuông E BE AE = BC AH CosBAC AE AD AE AE AB AH AH = : ⋅ = = SinABC.SinACB AB AB AH AB AD AE AD 0.5 ⇒ AD Cos BAC= AH.SinABC.SinACB (đpcm) 0.5 mà ∠ AHE = ∠ C( bù ∠ DHE) ⇒ Sin ACB = B 0.5 A M E B C D F Vẽ BE, CF vng góc với AM, tia AM cắt BC D Ta có:MA.BC = MA.(BD+DC)= MA.BD + MA.DC ≥ MA.BE + MA.CF 0.5 0.5 Do : MA.BC ≥ 2SABM + 2SACM Tương tự : : MB.AC ≥ 2SBCM + 2SABM MC.AB ≥ 2SACM + 2SBCM 0.5 Cộng vế theo vế BĐT ta có MA.BC + MB.AC + MC.AB ≥ 4(SABM+ SACM+ SBCM) = 4SABC (kđổi) Dấu xảy MA ⊥ BC; MB ⊥ AC; MC ⊥ AB Hay M trực tâm tam giác ABC (Lưu ý: HS sinh có cách giải khác cho điểm tối đa) 0.5 ... Vậy ta có cặp nghiệm: ( 0;0), (-8 ;-2 ), (1;1), (-3 ;-3 ) 3x - + - 3x = 5x -2 0x + 22 (**) Điều kiện: ≤ x ≤ 3 Áp dụng bất dẳng thức Bunhiacopski ta có: ( 3x - + - 3x ) ≤ (12 + 12 )(3x - + - 3x) =...Câu ĐÁP ÁN TOÁN Đáp án Ý n + 24 = k Ta có: n − 65 = h ⇔ k2 − 24 = h2 + 65 A ⇔ ( k − h )( k + h ) = 89 = 1. 89 k + h = 89 k = 45 ⇔ ⇒ k − h = h = 44 Vậy:... )(3x - + - 3x) = 0.5 0.5 0.5 A ⇒ 3x - + - 3x ≤ Mặt khác ta có: 5x - 20 x+ 22 = ( x - ) + ≥ 2 3x - + - 3x = x = ⇔ ⇔ x = (TMĐK) Do đó: (**) ⇔ x = 5x -2 0x + 22 = Vậy nghiệm phương trình