Đang tải... (xem toàn văn)
Website HOC247 cung cấp một môi trường học trực tuyến sinh động, nhiều tiện ích thông minh, nội dung bài giảng được biên soạn công phu và giảng dạy bởi những giáo viên nhiều năm kinh ng[r]
(1)W: www.hoc247.net F: www.facebook.com/hoc247.net Y: youtube.com/c/hoc247tvc Trang | Vững vàng tảng, Khai sáng tương lai
TRƯỜNG THCS NGÔ QUYỀN ĐỀ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI MƠN TỐN
NĂM HỌC 2020 – 2021 THỜI GIAN: 120 PHÚT Câu : (2 điểm) Cho biểu thức
1 2 2 3 + + + − + = a a a a a A a Rút gọn biểu thức
b Chứng minh a số nguyên giá trị biểu thức tìm câu a, phân số tối giản Câu 2: (1 điểm)
Tìm tất số tự nhiên có chữ số abc cho abc=n2−1 cba=(n−2)2 Câu 3: (2 điểm)
a Tìm n để n2 + 2006 số phương
b Cho n số nguyên tố lớn Hỏi n2 + 2006 số nguyên tố hợp số Câu 4: (2 điểm)
a Cho a, b, n N* Hãy so sánh n b n a + + b a
b Cho A =
1 10 10 12 11 − −
; B =
1 10 10 11 10 + +
So sánh A B Câu 5: (2 điểm)
Cho 10 số tự nhiên : a1, a2, , a10 Chứng minh có số tổng
số số liên tiếp dãy chia hết cho 10 Câu 6: (1 điểm)
Cho 2006 đường thẳng đườngthẳng cắt Khơng có đường thẳng đồng qui Tính số giao điểm chúng
ĐÁP ÁN Câu 1:
a Ta có:
1 2 2 3 + + + − + = a a a a a
A =
1 ) )( ( ) )( ( 2 2 + + − + = + + + − + + a a a a a a a a a a
Điều kiện a ≠ -1 ( 0,25 điểm) Rút gọn cho 0,75 điểm
b.Gọi d ước chung lớn a2 + a – a2+a +1 (0,25đ)
Vì a2 + a – = a(a+1) – số lẻ nên d số lẻ Mặt khác, = [ a2+a +1 – (a2 + a – 1) ] d
Nên d = tức a2 + a + a2 + a – nguyên tố (0,5đ)
(2)W: www.hoc247.net F: www.facebook.com/hoc247.net Y: youtube.com/c/hoc247tvc Trang | Vững vàng tảng, Khai sáng tương lai
Câu 2:
abc= 100a + 10 b + c = n2 - (1)
cba= 100c + 10 b + c = n2 – 4n + (2) (0,25đ) Từ (1) (2) 99(a – c) = n – 4n – 99 (3) (0,25đ)
Mặt khác: 100 n2-1 999 101 n21000 11n31 394n – 5 119 (4) ( 0,25đ) Từ (3) (4) 4n – = 99 n = 26
Vậy: abc = 675 ( 0,25đ) Câu 3: (2 điểm)
a) Giả sử n2 + 2006 số phương ta đặt n2 + 2006 = a2 ( a Z) a2 – n2 = 2006 (a-n) (a+n) = 2006 (*) (0,25 điểm)
+ Thấy : Nếu a,n khác tính chất chẵn lẻ vế trái (*) số lẻ nên khơng thỏa mãn (*) ( 0,25 điểm) + Nếu a,n tính chẵn lẻ (a-n)2 (a+n) 2 nên vế trái chia hết cho vế phải không chia hết không thỏa mãn (*) (0,25 điểm)
Vậy không tồn n để n2 + 2006 số phương (0,25 điểm)
b) n số nguyên tố > nên không chia hết cho Vậy n2 chia hết cho dư n2 + 2006 = 3m + + 2006 = 3m+2007= 3( m+669) chia hết cho
Vậy n2 + 2006 hợp số ( điểm) Bài 4: Mỗi câu cho điểm Ta xét trường hợp a
b= ; a
1 b ;
a
b (0,5đ) TH 1: a
b = a = b
a n a b n b
+ = =
+ (0,5đ) TH 2: a
b a > b a + n > b+ n Mà a n
b n +
+ có phần thừa so với
a b a ; b n b
−
+ có phần thừa so với a b
b −
,
vì a b a b b n b
− −
+ nên
a n a b n b
+
+ (0,25đ) TH3: a
b a < b a + n < b + n Khi a n
b n +
+ có phần bù tới b a b n − + ,
a
b có phần bù tới b a
b −
,
vì b a b a b n b
− −
+ nên
a a n b b n
+
+ (0,25đ) b) Cho A =
1 10
1 10
12 11
− −
(3)W: www.hoc247.net F: www.facebook.com/hoc247.net Y: youtube.com/c/hoc247tvc Trang | Vững vàng tảng, Khai sáng tương lai
rõ ràng A < nên theoa, ba <1 b n n a
++ > ba A<
10 10
10 10 11 ) 10 (
11 ) 10 (
12 11 12
11
+ + = + −
+ −
(0,5đ)
Do A<
10 10
10 10
12 11
+ +
= =
+ +
) 10 ( 10
) 10 ( 10
11 10
1 10
1 10
11 10
+ +
(0,5điểm) Vây A<B
Câu 5: Lập dãy số Đặt B1 = a1
B2 = a1 + a2
B3 = a1 + a2 + a3
B10 = a1 + a2 + + a10
Nếu tồn Bi ( i= 1,2,3 10) chia hết cho 10 tốn chứng minh ( 0,25 điểm)
Nếu không tồn Bi chia hết cho 10 ta làm sau:
Ta đen Bi chia cho 10 10 số dư ( số dư { 1,2.3 9}) Theo ngun tắc Diriclê, phải có
2 số dư Các số Bm -Bn, chia hết cho 10 ( m>n) ĐPCM
Câu 6: Mỗi đường thẳng cắt 2005 đường thẳng lại tạo nên 2005 giao điểm Mà có 2006 đường thẳng
(4)W: www.hoc247.net F: www.facebook.com/hoc247.net Y: youtube.com/c/hoc247tvc Trang | Vững vàng tảng, Khai sáng tương lai
Website HOC247 cung cấp môi trường học trực tuyến sinh động, nhiều tiện ích thơng minh, nội dung giảng biên soạn công phu giảng dạy giáo viên nhiều năm kinh nghiệm, giỏi kiến thức chuyên môn lẫn kỹ sư phạm đến từ trường Đại học trường chuyên danh tiếng
I.Luyện Thi Online
-Luyên thi ĐH, THPT QG: Đội ngũ GV Giỏi, Kinh nghiệm từ Trường ĐH THPT danh tiếng xây
dựng khóa luyện thi THPTQG mơn: Tốn, Ngữ Văn, Tiếng Anh, Vật Lý, Hóa Học Sinh Học -Luyện thi vào lớp 10 chun Tốn: Ơn thi HSG lớp luyện thi vào lớp 10 chuyên Toán trường PTNK, Chuyên HCM (LHP-TĐN-NTH-GĐ), Chuyên Phan Bội Châu Nghệ An trường Chuyên khác TS.Trần Nam Dũng, TS Pham Sỹ Nam, TS Trịnh Thanh Đèo Thầy Nguyễn Đức Tấn
II.Khoá Học Nâng Cao HSG
-Toán Nâng Cao THCS: Cung cấp chương trình Tốn Nâng Cao, Tốn Chun dành cho em HS
THCS lớp 6, 7, 8, yêu thích mơn Tốn phát triển tư duy, nâng cao thành tích học tập trường đạt điểm tốt kỳ thi HSG
-Bồi dưỡng HSG Toán: Bồi dưỡng phân mơn Đại Số, Số Học, Giải Tích, Hình Học Tổ Hợp dành
cho học sinh khối lớp 10, 11, 12 Đội ngũ Giảng Viên giàu kinh nghiệm: TS Lê Bá Khánh Trình, TS Trần Nam Dũng, TS Pham Sỹ Nam, TS Lưu Bá Thắng, Thầy Lê Phúc Lữ, Thầy Võ Quốc Bá Cẩn đôi HLV đạt thành tích cao HSG Quốc Gia
III.Kênh học tập miễn phí
-HOC247 NET: Website hoc miễn phí học theo chương trình SGK từ lớp đến lớp 12 tất môn học với nội dung giảng chi tiết, sửa tập SGK, luyện tập trắc nghiệm mễn phí, kho tư liệu tham khảo phong phú cộng đồng hỏi đáp sôi động
-HOC247 TV: Kênh Youtube cung cấp Video giảng, chuyên đề, ôn tập, sửa tập, sửa đề thi miễn phí từ lớp đến lớp 12 tất mơn Tốn- Lý - Hố, Sinh- Sử - Địa, Ngữ Văn, Tin Học Tiếng Anh
Vững vàng tảng, Khai sáng tương lai
Học mọi lúc, mọi nơi, mọi thiết bi – Tiết kiệm 90%
Học Toán Online Chuyên Gia
I.Luyện Thi Online - - II.Khoá Học Nâng Cao HSG III.Kênh học tập miễn phí -