a Viết phương trình tiếp tuyến của đồ thị C biết tiếp tuyến song song với đường thẳng có phương trình y=-3x+1.. Người ta chọn ra từ đó 4 người để đi công tác, tính xác suất sao cho trong
Trang 1SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO ĐÈ THỊ CHỌN HỌC SINH GIỎI CÁP HUYỆN
ĐÈ CHÍNH THỨC Thời gian: 180 phút (Không kể thời gian giao đề)
(Đề gầm: 01 trang)
Câu 1 (4,0 điểm) Cho hàm số y= x° =3x? +4 có đồ thị (C)
a) Viết phương trình tiếp tuyến của đồ thị (C) biết tiếp tuyến song song với đường thẳng
có phương trình y=-3x+1
b) Gọi 4, Ø là các điểm cực trị của (C) Tìm tọa độ điểm M thudc Parabol (P): y =x? sao
cho tam giác 4Ä⁄ vuông tại 1⁄4
Câu 2 (4,0 điểm)
a) Tim tập xác định của hàm số y= in 22 =! - 3} ‘
b) Giải phương trình: sin2x +Í = 6sinx+cos2x,
Cau 3 (3,0 điểm) Một đội ngũ cán bộ khoa học gồm 8 nhà Toán học nam, 5 nhà Vật lý nữ
và 3 nhà Hóa học nữ Người ta chọn ra từ đó 4 người để đi công tác, tính xác suất sao cho
trong 4 người được chọn phải có nữ và có đủ ba bộ môn
Câu 4 (đ,0 điểm) Trong mặt phẳng với hệ toa dé Oxy, cho tam giác 4BC có phương trình
cạnh 4B: x-y—2 =0, phương trình cạnh 4C: x +2y-5=0 Biết trọng tâm của tam
giác GŒŒ; 2) Xác định tọa độ điểm 4 và viết phương trình cạnh BC
Câu 5 (4,0 điểm) Cho hinh chép S.ABC có 4BC là tam giác vuông tại 8, AB= a3,
ACB = 60°, hình chiếu vuông góc của Š lên mặt phẳng (48C) là trọng tâm tam giác 4BC,
gọi E là trung điểm AC biết SE = a¬/3 Tính thẻ tích khối chóp Š.48C và khoảng cách từ
C đến mặt phẳng (845)
Câu 6 (2,0 điểm) Một khách sạn có 50 phòng Nếu mỗi phòng cho thuê với giá 400 ngàn
đồng một ngày thì toàn bộ phòng được thuê hết Biết rằng cứ mỗi lần tăng giá lên 20 ngàn
đồng thì có thêm hai phòng bỏ trống không có người thuê Hỏi giám đốc khách sạn phải
chọn giá phòng mới là bao nhiêu để thu nhập của khách sạn trong ngày là lớn nhất?
Hết
Họ và tến HS: sesseszxsssecssdetiDsEiEP V3 BE BE EV 28x Số báo danh: -.c-c-cce¿
Họ tên, chữ ký của giám thị Ì: ch nh ng nh HH1 re
Trang 2
SO GIAO DUC VA DAO TAO
DE CHINH THUC Môn: TOÁN
(Hướng dân châm có 04 trang)
I Hướng dẫn chung
HUONG DAN CHAM DE THI CHON HOC SINH GIOI CAP
1 Điểm của bài thi theo thang điểm 20, phần lẻ được tính đến 0,25 điểm Giám khảo giữ
nguyên điểm lẻ, không được làm tròn điểm
2 Việc chỉ tiết hóa (nếu có) thang điểm trong hướng dẫn chấm phải đảm bảo không làm
sai lệch hướng dẫn chấm
3 Nếu thí sinh làm bài không theo cách nêu trong hướng dẫn chấm nhưng giải theo cách
khác mà lập luận chặt chẽ, tính toán chính xác thì vẫn cho đủ số điểm từng phần như hướng
dẫn quy định
IL Dap án và thang điểm:
Cho hàm số y= x`—3x? +4 có đồ thị (C)
a) Viết phương trình tiếp tuyến của đồ thị (C) biết tiếp tuyến song song với
b) Goi A, B la cac diém ewe tri của (C) Tìm tọa độ điểm M thudc Parabol (P):
y=x” sao cho tam giác 4MB vuông tại M
Vì tiếp tuyến của (C) song song với đường thắng y = -3x +1 nên hoành độ tiếp a_ | điểm là nghiệm của phương trình: 3x°—6x=-3<©x=l 05
VốI xe l=$š p=2 0,5
y'=0<©3x-6x=0<©
Ta có các điểm cực trị của (C) là: 4(0;4) và 8(2;0)
Gọi M (x;2") thudc (P Khi do: AM = (aj x = 4) va BM = (x-2;3?)
b Tam giác 41B vuông tại M4 c> 4M.BM =0 © x(x~2)+x°(x”~4) =0 =a 0,5
œx(x`~3x~2)=0© x(x+1Ÿ (x-2)=0 05
Vậy có 3 diém M thuộc (P) để A4MĐ vuông tai M 1a M,(0;0);M, (-1;1) và 5
M,(2;4) ;
% A z > ` & 2x-1
a) Tim tap xac dinh cia ham so y= In -3]
2 b) Giải phương trình: sin 2x +l = 6sinx +cos2x x+3 4,0
Trang 3
2x-1
x+340
0<©-10<xz<-3
Vậy tập xác định của hàm số là D = (-10;-3) 0,5
Tap xac dinh: xe R
© 2sinx(cosx~3)+2sin” x = 0
b 2sinx(cosx-3 +sinx) =0
sinx =0
sinx+cosx = 3 (No)
©® x=*kz Vậy nghiệm của phương trình là x= kZ,k eZ 0,5 Một đội ngũ cán bộ khoa học gồm 8 nhà Toán học nam, 5 nha Vat ly nit va 3
nhà Hóa học nữ Người fa chọn ra từ đó 4 người đề đi công tác, tính xác suât | 3,0
sao cho trong 4 người được chọn phải có nữ và có đủ ba bộ môn
Chọn ngẫu nhiên 4 nhà khoa học trong 16 nhà khoa học có Cƒ cách 0,5
Chọn 4 người đi công tác thỏa mãn yêu câu bài toán có các trường hợp sau:
Chọn 2 nhà toán học nam, 1 nhà vật lý nữ, 1 nhà hóa học nữ có Cÿ.C;.Œ; cách 0,5
Chon 1 nha toán học nam, 2 nhà vật lý nữ, 1 nhà hóa học nữ có Œ¿.Cÿ.; cách | 0,5 Chọn 1 nhà toán học nam, I nhà vật lý nữ, 2 nhà hóa học nữ có Œ¿.C;Œ cách | 0,5
Số cách chọn đoàn công tác: C;.C}.C} + Œ;.C?.Œ + Œ.Œ.Cÿ 0,5
Vậy xác suât cân tìm là : P= S.GG 16G 1G 1C CC: at 8 0,5
Trong mat phang voi hé toa d6 Oxy, cho tam gidc ABC cé phương trình cạnh
AB:x-y-2 =0, phương trình cạnh 4C: x +2y—-5 =0 Biêt trọng tâm của 3,0
tam giác G(3; 2) Xác định tọa độ điểm 4 và viết phương trình cạnh C
` ẵ SA § x-y-2=0
£95 ick ‘ x=3 l
Giải hệ phương trình ta được 1 Do do: A(3; 1) 0.5
Trang 4
l+ð-2+e=6 b+c=7 >
b=5
Một vecto chi phương của cạnh BC la u = BC = (-4;-1) 83
Phương trình cạnh 5C là: x- 4y + 7=0 ,
Cho hình chóp S.ABC cé ABC la tam gidc vuéng tai B, AB = aJ/3, ACB =60°,
hình chiếu vuông góc của Š lên mặt phẳng (48C) là trọng tâm tam giác 4C, 40
gọi E là trung điểm 4C biết Š$E= a3 Tính thể tích khối chóp S.4BC và| ”
khoảng cách từ C đến mặt phẳng (S4)
Gọi Ở là trọng tâm tám giác ABC; gọi 1, N lần lượt là trung điêm BC, 4ð
|
a
2
Ta có Se = = AB.BC =< 1a ( dvdt)
F sưa 0,5
Xét tam giác SƠE vuông tại Ở có SG = xSE” - GE? =,|3a” = = :
Vậy thể tích khối chop S.ABC là Ve spe = +SGS SABC 3 ye = 2 ` 3.3.2 28 4 v3 _a'V78 18 0,5
(dvdt)
AB L&G
Vẽ GŒK /IBM (K e AB) ta có AB LGK = AB 1 (SGK)
b _ {GH 1 AB 0,5
Vé GH | SK(H s SK) ta có GH 1 SK => GH | (SAB)
Suy ra d(G,(SAB)) = GH (2) ; từ (1) và (2) suy ra d(C,(SAB)) = 3GH 05
3
Trang 5
Taoð GK 0 BM CC A©? BM AM 3 axa 2 py 285-8 3 3273
Xét tam giác SớỚK vuông tại Ớ và có đường cao GH, ta cd:
Y" GH? GS GK? 26 d 26a 27
alls
Vay d(C,(SAB)) = 3GH =
Một khách sạn có 50 phong Nếu r mỗi phòng cho thuê với giá 400 ngàn đồng một
ngày thì toàn bộ phòng được thuê hết Biết rằng cứ mỗi lần tăng giá lên 20 ngàn
đồng thì có thêm hai phòng bỏ trống không có người thuê Hỏi giám đốc khách
sạn phải chọn giá phòng mới là bao nhiêu để thu nhập của khách sạn trong
ngày là lớn nhất
2,0
Gọi x (ngàn đồng) là giá phòng khách sạn can dat ra, x > 400 Giá thuê phòng chênh lệch sau khi tăng là: x— 400 (ngàn đồng)
Số lượng phòng cho thuê giảm đi khi chọn mức giá thuê phòng mới là:
x~400 , _ x 400
0,5
x—400 _ 900-x
Số phòng cho thuê với giá x là: 50—
âm
Tổng doanh thu trong ngày là: xế
0,5
Xétham sé f(x) = KT +90x với x>400
Lập bảng biến ta thấy /ƒ(z) đạt giá trị lớn nhất khi x = 450
Vậy nếu cho thuê với giá 450 ngàn đồng thì khách sạn có doanh thu cao nhất
trong ngay