Đề thi chọn học sinh giỏi cấp tỉnh Toán 12 năm 2018 – 2019 sở GD và ĐT Quảng Ngãi

SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO KỲ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI CẤP TỈNH LỚP 12 NĂM HỌC 2018-2019 Ngày thi: 18/10/2018 Mơn thi: TỐN Thời gian làm bài: 180 phút QUẢNG NGÃI ĐỀ CHÍNH THỨC Câu (5,0 điểm) a) Giải phương trình sin x  cos x  2sin x  cos x (1  2cos x) tan x    x y   x   x  xy   b) Giải hệ phương trình  2  x (4  y )    x  xy Câu (3,0 điểm) 2x 1 có đồ thị (C) Chứng minh với m đường thẳng x 1 y  2 x  m cắt đồ thị (C) hai điểm phân biệt A B Gọi k1 , k2 hệ Cho hàm số y  số góc tiếp tuyến với (C) A B Tìm m để biểu thức P   k1  đạt giá trị nhỏ 2019   k2  2019 Câu (3,0 điểm) a) Cho n số nguyên dương thỏa mãn Cnn41  Cnn3   n  3 Tìm hệ số số hạng n chứa x 3  khai triển nhị thức Niu-tơn  x   , x  x   b) Có hai hộp chứa bi, viên bi mang màu xanh màu đỏ Lấy ngẫu nhiên từ hộp viên bi Biết tổng số bi hai hộp 20 xác suất để lấy viên bi màu xanh 55 Tính xác suất để lấy viên bi màu đỏ 84 Câu (4,0 điểm) Cho hình chóp S ABC có đáy ABC tam giác vuông A , tam giác SAB nằm mặt phẳng vng góc với đáy Biết AB  a, BC  3a , E điểm cạnh SC EC  ES a) Tính thể tích khối chóp E ABC b) Tính khoảng cách hai đường thẳng AC BE Câu (3,0 điểm) Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy , cho hình vng ABCD điểm E thuộc cạnh BC Đường thẳng qua A vng góc với AE cắt CD F Gọi M trung điểm EF , đường thẳng AM cắt CD K Tìm tọa độ điểm D biết A  6;  , M  4;  , K  3;  E có tung độ dương Câu (2,0 điểm) Cho số thực không âm a, b, c thỏa c  a, c  b Tìm giá trị nhỏ biểu thức  2a  c   2b  c 2 64 8(a  1)  P  ( a  b)  2    2    2  b  c   a  c  ab  bc  ca a (a  b)  Hết -Ghi chú: Cán coi thi khơng giải thích thêm SỞ GD-ĐT QUẢNG NGÃI ĐỀ CHÍNH THỨC CÂU Câu (5,0đ) ĐÁP ÁN - THANG ĐIỂM THI CHỌN HỌC SINH GIỎI CẤP TỈNH Mơn: TỐN-Lớp 12 (Đáp án – Thang điểm gồm trang) ĐIỂM NỘI DUNG a) (2,0đ) Giải phương trình sin x  cos x  2sin x  cos x (1  2cos x) tan x  cos x   +)Điều kiện cos x  tan x    0,5  sin x  cos x  (1) Với điều kiện Pt    2sin x   0,5 (2)     x   k 2 +) (2)   ,k   x  2  k 2  0,5 +) (1)  x    k , k   Kết hợp điều kiện, suy nghiệm phương trình    x    k  ,k   x  2  k 2  0,5 b) (3,0đ) Giải hệ phương trình (2 x y  7)( 3x   x  3xy )   2  x (4  y )    x  xy  x  +) ĐK:   x  xy  +) Từ (2)   y  y    (1) (2) 0,5 1  x2 x 3 (2')  Xét hàm số f (t )   t  t,  t   ;    ta có f '(t )  0,5 t    t2 Suy f (t ) đồng biến  ;   Do (2')  y  x 3  Thay y  vào (1) ta (2 x  7)( 3x   x  3)  (3) x   0, t  0,5 0,5 x không nghiệm nên (3)  g ( x )  x   x   2x  10    0, x  , x  2 x  2 x  (2 x  7) 7 Suy g(x) đồng biến  ;   ;   3  2  Mà g (1)  g (6)  nên (3) có nghiệm Vậy nghiệm (x;y) hệ (1;1), (6; ) 2x 1 Cho hàm số y  có đồ thị (C) Chứng minh với m đường x 1 thẳng y  2 x  m cắt đồ thị (C) hai điểm phân biệt A B Gọi k1 , k2 hệ số góc tiếp tuyến với (C) A B Tìm m để Ta có: (3)  g '( x)  Câu (3,0đ) biểu thức P   k1  2019   k2  2019 0,5 0,5 đạt giá trị nhỏ 2x 1  2 x  m x 1 +) Phương trình hồnh độ giao điểm: ( x  1 ) 0,5  x    m  x   m  (1) Ta có   m2   , m x  1 không nghiệm pt(1) 0,5 Vậy đường thẳng y  2 x  m (C) cắt hai điểm phân biệt với m +) A  x1; 2 x1  m  , B  x2 ; 2 x2  m  Trong x1 , x2 nghiệm phương trình (1) k1   x1  1 +) k1.k  P   k1  , k2  2 0,5  x2  1  x1  1  x2  1 2019   k2  2019 2   x1  x2  x1.x2  1  k1.k2  2 Vậy Pmin  2020 k1  k2  Câu (3,0đ) 2019 4 0,5 0,5  42019  22020  x1  1   x2  1  x1  x2 (loai )  m0  x1  x2  2 0,5 a)Cho n số nguyên dương thỏa mãn Cnn41  Cnn3   n  3 Tìm hệ số số 2,0đ n 3  hạng chứa x khai triển nhị thức Niu-tơn  x   , x  x   (n  3)(n  2) Cnn41  Cnn3   n  3    n  3  n  12 12 12 0,5 Với n  12 ,  x     C12k 212 k  3 x 245k x 0,5 Số hạng chứa x4 ứng với 24  5k   k  0,5 Vậy hệ số số hạng chứa x4 là: C124 28.34 0,5   k k 0 b)Có hộp đựng bi, viên bi mang màu xanh màu đỏ Lấy ngẫu nhiên từ hộp viên bi Biết tổng số bi hộp 20 xác suất để lấy viên bi xanh 0,5 55 Tính xác suất để lấy 84 viên bi đỏ +) Giả sử hộp thứ có x viên bi , có a bi xanh, hộp thứ hai có y viên bi có b bi xanh (điều kiện: x, y, a, b nguyên dương, x  y, x  a, y  b ) 0,25  x  y  20 (1)  Từ giả thiết ta có :  ab 55 (2)  xy  84  +)Từ (2)  55 xy  84ab  xy 84 , mặt khác : xy  ( x  y )2  100  xy  84 (3) 0,25  x  14  y  Từ (1) (3) suy  0,25 +)Từ (2) (3) suy ab  55 , mà a  x  14, b  y   a  11, b  Vậy xác suất để lấy bi đỏ P  Câu (4,0đ) 0,25 x a y b  x y 28 a) (2,0đ) Tính thể tích khối chóp E.ABC S E I 0,5 A K C H D B Gọi H trung điểm AB, ABC ( SAB)  ( ABC ) suy SH  ( ABC ) Ta có : AC  BC  AB  2a 1 +) VS ABC  S ABC SH  AB AC.SH  343 a 12 0,5 VS ABE SA.SB.SE   VS ABC SA.SB.SC 0,5 343  VE.ABC  VS ABC  a 18 0,5 +) b) (2,0đ) +) Tính khoảng cách AC BE Lấy điểm D cho ACBD hình bình hành Vì BD / / AC nên d ( AC , BE )  d ( AC ,( BDE ))  d( A, ( BDE ))  2d( H , ( BDE )) +) Gọi I  SH  DE , ( BDE )  ( SAB) theo giao tuyến BI Kẻ HK  BI , ( K  BI )  HK  ( BDE )  d( H , ( BDE ))  HK  HI  0,5 0,5 SH  a 0,5 Trong tam giác BHI vng H có HK  BI , suy 0,5 1 21    HK  a 2 HK HB HI Vậy d ( AC , BE )  21a Câu (3,0đ) Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy , cho hình vng ABCD điểm E thuộc cạnh BC Đường thẳng qua A vng góc với AE cắt CD F Gọi M trung điểm EF , đường thẳng AM cắt CD K Tìm tọa độ điểm D biết A  6;  , M  4;  , K  3;  E có tung độ dương   DAF  (cùng phụ với DAE  ) Ta có ΔABE = ΔADF AB = AD BAE Suy ΔAEF vng cân  AM  EF ME  MA  MF Đường thẳng EF qua M vng góc với MA nên có phương trình x  2y 8  0,5 0,5 +) Phương trình đường tròn ngoại tiếp tam giác AFE:  x     y    20 2  x     y    20 +) Tọa độ điểm E, F thỏa hệ   x  y   0,5 Giải hệ ta tọa độ E  0;  , F  8;0  , ( y E  ) 0,5 Với E  0;  , F  8;0  Đường thẳng CD qua F  8;0  K  3;  nên có phương trình y  0,5 Đường thẳng AD qua A  6;6  vng góc với FK nên có phương trình x6  D  CD  AD  D  6,  0,5 Câu (2,0đ) Cho số thực không âm a, b, c thỏa c  a, c  b Tìm giá trị nhỏ biểu thức  2a  c   2b  c 2 64 8(a  1)  P  ( a  b)  2    2    2  b  c   a  c  ab  bc  ca a (a  b)  1 1 1 1 , +)Ta có 2  ; 2 2  c c c c (a  c ) (a  ) (b  c ) (b  )4 ab  bc  ca (a  ).(b  ) 2 a a c c   4( a ) 4( b )    64    +) Suy ra: P  (a  b)   8(a  )  c c c c a  (b  ) (a  )4 (a  )(b  )   2 2  c c +) Đặt a   x, b   y , ( x  0, y  0) Ta có 2  x y 64  1  P  ( x  y )2  4  4    16 2 c x xy  (a  c )  y (a  )4  x y   x y   x y Hay P              16   16  y x   y x   y x x y +)Đặt t   , (t  2) Xét hàm số f (t )  4(t  2)(t  3t  16) , y x Ta có: f '(t )  4(4t  6t  6t  10) , f '(t )   t  63 Lập bảng biến thiên, suy f (t )   a  a   1   Suy P   P    b  b  4 c    c   Vậy Pmin   0,5 0,25 0,25 0,5 0,5 Chú ý: Mọi lời giải đúng, khác với hướng dẫn chấm, cho điểm tối đa theo câu phần tương ứng Tổ chấm thảo luận để thống tình làm xảy học sinh  ... -Ghi chú: Cán coi thi khơng giải thích thêm SỞ GD- ĐT QUẢNG NGÃI ĐỀ CHÍNH THỨC CÂU Câu (5,0đ) ĐÁP ÁN - THANG ĐIỂM THI CHỌN HỌC SINH GIỎI CẤP TỈNH Mơn: TỐN-Lớp 12 (Đáp án – Thang điểm gồm trang)... 3    n  3  n  12 12 12 0,5 Với n  12 ,  x     C12k 212 k  3 x 245k x 0,5 Số hạng chứa x4 ứng với 24  5k   k  0,5 Vậy hệ số số hạng chứa x4 là: C124 28.34 0,5   k...  2 0,5  x2  1  x1  1  x2  1 2019   k2  2019 2   x1  x2  x1.x2  1  k1.k2  2 Vậy Pmin  2020 k1  k2  Câu (3,0đ) 2019 4 0,5 0,5  42019  22020  x1  1   x2  1 