Đề thi Olympic Toán 11 năm 2018 – 2019 trường THPT Kim Liên – Hà Nội

– 2019 Mơn: TỐN - 11 : 150 phút : cos5 x.sin x 2sin x.cos x Câu 1(3,0 ) Câu (2,0 ) Câu (4,0 ) Cho x2 (un ) xác a (0;1) un (vn ) : u1 (un ) : a) x x x sin x aun3 a , n * un3 (vn ) nhân lim(u13 u23 un3 n) a b) 25 ) Câu (3.0 ó6 , Tốn AB, ABCD.A’B’C’D’ ) Cho Câu (6.0 E Anh DD’ cho AI D'E x 1) x, (0 A'C IE 600 AC ' DI b) Tìm x M,N AB, A ' D ' (CMN ) Câu (2.0 a, b, c b c c s d ng tài li K B'K B 'C ' B 'C ' ) a I a2 b2 c 3b i thích thêm H tên thí sinh: ……………………… ….SBD: ĐÁP ÁN ĐỀ OLYMPIC MƠN TỐN LỚP 11 NĂM HỌC 2018 – 2019 TRƯỜNG THPT KIM LI£N ĐIỂM NỘI DUNG C¢U 5 2 cos x.sin x  2sin x.cos x  sin x (3 điểm)  cos x.sin x(cos x  sin x)(cos x  sin x)  sin x  sin x.cos x  sin x  sin x  sin x    x  k   x  k  sin x         k ,k    x   k 2  x  sin x   1,5 1,5  24   x  5  k  24    5 4 x   k 2  Điều kiện xác định: x  0; x  2 (2 điểm) x2 x2 x  x   x2 x 6  x  2(3  x )      3 x 3 x  3 x  3 x  x 3  x   x  2 x     x    x x  x     x  1  1,0 a) Ta có un31  aun3  a   un31   a un3  Suy 1  avn 1,0 Như dãy số   cấp số nhân với công bội a nên cấp số nhân lùi vơ hạn 1,0  (4,0 điểm) b) Ta v1  v2       an 1 a   1  a  3 n  u  u   u  n  lim u13  u23   un3  n   lim n   1 a 1 a n  4   an  1 a 2  4a 1 a 1 a 1 a T phép thử ‘Chọn ngẫu nhiên học sinh số 25 học sinh’ Ta có :   C25 Vì  a  nên lim 1,0 1,0 1,0 Gọi A biến cố : học sinh chọn có học sinh dự thi mơn Tốn học sinh dự thi 0,5 mơn Anh Ta có trường hợp sau thuận lợi cho biến cố A : (3,0 điểm)  Có học sinh chọn mơn Tốn, học sinh chọn mơn Anh có : C61.C52 khả  Có học sinh chọn mơn Tốn, học sinh chọn mơn Anh có : C62 C51 khả  Có học sinh chọn mơn Tốn, học sinh chọn môn Anh, học sinh chọn môn khác 2,0 (Văn, Tin, Sinh học, Lịch sử, Vật Lí, Hóa, Địa lý) có : C61.C51C141 khả  A  C61 C52  C62C51  C61C51C141 Vậy xác suất biến cố A P( A)  A 555 111    2300 460 0,5 Đặt A ' B '  a; A ' D '  b; A ' A  c K C' D' a) Ta có: A ' C  a  b  c F N Lại có: IE  IA  AD  DE B' A' M'   xa  b  (1  x)c (6,0 điểm) Xét: E   A ' C.IE  a  b  c  xa  b  (1  x)c 2 3.0    xa  b  (1  x)c   x   (1  x)  Suy A ' C  IE A DI AC ' b) Ta có: cos 600  Suy ra: 1  x DI AC '   C D M ( DA  AI )( AD  AB  AA ') DI AC '  B I 1  x  x2  x  x    x   15 1,5 1 x c) Gọi M’ trung điểm cạnh A’B’ Trong ( A ' B ' C ' D ') : kẻ đường thẳng qua N song song với C ' M ' cắt đường thẳng B ' C ' K Khi K giao điểm mặt phẳng (CMN ) với đường thẳng B ' C ' Áp dụng định lí Ta-lét ta tính được: Đặt P   a  1  b  2  B'K  B 'C '  c  3 Ta thấy: a  b2  c  2a  4b  2c    a  1   b     c  1  , theo giả thiết (2 điểm) 1,5 2 a  b  c  3b Suy 3b  2a  4b  2c   hay 2a  b  2c  10  16  x  y  xy Với hai số x, y  ta có:   ( x  y )( x  y )2  x y ( x  y )  xy 1 Do đó:   (1) x y  x  y Áp dụng (1) ta có: 1     ; 2 2 2  a  1  b    a  b    a  b    c  3  a  b  c         2       8 16 P    2 2 2a  b  2c  10  b b     c  3    a   2  a   c  5 2     Theo giả thiết chứng minh  2a  b  2c  10  16 ,  P  Khi a  1, b  2, c  P  0,5 0,5 0,5 0,5 Học sinh làm theo cách khác, đủ điểm tối đa đáp án qui định ……………….HÕt……………… ...ĐÁP ÁN ĐỀ OLYMPIC MƠN TỐN LỚP 11 NĂM HỌC 2018 – 2019 TRƯỜNG THPT KIM LI£N ĐIỂM NỘI DUNG C¢U 5 2 cos x.sin x  2sin x.cos x  sin x (3 điểm)... a  nên lim 1,0 1,0 1,0 Gọi A biến cố : học sinh chọn ln có học sinh dự thi mơn Tốn học sinh dự thi 0,5 mơn Anh Ta có trường hợp sau thuận lợi cho biến cố A : (3,0 điểm)  Có học sinh chọn mơn... có : C61.C51C141 khả  A  C61 C52  C62C51  C61C51C141 Vậy xác suất biến cố A P( A)  A 555 111    2300 460 0,5 Đặt A ' B '  a; A ' D '  b; A ' A  c K C' D' a) Ta có: A ' C  a  b