Đề thi HSG Toán 11 năm 2018 – 2019 trường Phùng Khắc Khoan – Hà Nội (Có đáp án)

Đề thi HSG Toán 11 năm 2018 – 2019 trường Phùng Khắc Khoan – Hà NộiĐề thi HSG Toán 11 năm 2018 – 2019 trường Phùng Khắc Khoan – Hà NộiĐề thi HSG Toán 11 năm 2018 – 2019 trường Phùng Khắc Khoan – Hà NộiĐề thi HSG Toán 11 năm 2018 – 2019 trường Phùng Khắc Khoan – Hà NộiĐề thi HSG Toán 11 năm 2018 – 2019 trường Phùng Khắc Khoan – Hà NộiĐề thi HSG Toán 11 năm 2018 – 2019 trường Phùng Khắc Khoan – Hà NộiĐề thi HSG Toán 11 năm 2018 – 2019 trường Phùng Khắc Khoan – Hà NộiĐề thi HSG Toán 11 năm 2018 – 2019 trường Phùng Khắc Khoan – Hà NộiĐề thi HSG Toán 11 năm 2018 – 2019 trường Phùng Khắc Khoan – Hà NộiĐề thi HSG Toán 11 năm 2018 – 2019 trường Phùng Khắc Khoan – Hà NộiĐề thi HSG Toán 11 năm 2018 – 2019 trường Phùng Khắc Khoan – Hà NộiĐề thi HSG Toán 11 năm 2018 – 2019 trường Phùng Khắc Khoan – Hà NộiĐề thi HSG Toán 11 năm 2018 – 2019 trường Phùng Khắc Khoan – Hà NộiĐề thi HSG Toán 11 năm 2018 – 2019 trường Phùng Khắc Khoan – Hà Nội

Sở giáo dục đào tạo Hà Nội Trường Phùng Khắc Khoan ĐỀ THI HỌC SINH GIỎI CẤP TRƯỜNG *** Mơn : Tốn- Khối: 11 Năm học 2018-2019 Thời gian: 150 phút ( Đề có 01 trang) =============================================== Câu ( điểm) - Tính tổng nghiệm phương trình sin x cos x  cos x  sin x   0; 2  - Tìm tất giá trị tham số m để phương trình sau có ba nghiệm phân biệt lập thành cấp số nhân: x3  x2   m2  6m  x   Câu ( điểm) - Cho n số dương thỏa mãn 5Cnn1  Cn3 n Tìm số hạng chứa x khai triển nhị thức Newton  nx  P    14 x  - Một tổ gồm em, có nữ chia thành nhóm Tính xác xuất để nhóm có nữ - An Bình thi đấu với trận bóng bàn có tối đa séc , người thắng trước séc giành chiến thắng chung Xác suất An thắng séc 0, (khơng có hòa) Tính xác suất để An thắng chung Câu ( điểm) 1-Trong mặt phẳng tọa độ Oxy , cho điểm A  2;3 , A 1;5  B  5; 3 , B  7; 2  Phép quay tâm I  x; y  biến A thành A B thành B  , tính x  y 2- Cho đường tròn  O; R  đường kính AB Một đường tròn  O  tiếp xúc với đường tròn  O  đoạn AB C D Đường thẳng CD cắt  O; R  I Tính độ dài đoạn AI Câu4 (4điểm) Cho hình chóp S.ABC , M điểm nằm tam giác ABC Các đường thẳng qua M song song với SA, SB, SC cắt mặt phẳng  SBC  ,  SAC  ,  SAB  A, B, C  a) Chứng minh b) Chứng minh c) M di động tam giác ABC Tìm vị trí M tam giác ABC để MA MB MC  đạt giá trị lớn SA SB SC Câu5 (2điểm) Cho a, b, c ba số (un ) dãy số xác định công thức: un  a n   b n   c n  (n  *) Chứng minh lim un  a  b  c  n -HẾT - ĐÁP ÁN Thi học sinh giỏi cấp trường MƠN TỐN LỚP 11 ( 2018- 2019) Câu Nội dung Tính tổng nghiệm phương trình sin x cos x  cos x  sin x   0; 2  Thang điểm sin x cos x  cos x  sin x  (3)   Đặt t  sin x  cos x  sin  x     t  0;  4 t  t 1 t 1 t   2sin x cos x  sin x cos x    3   t   t  2t     2 t  3  l  2 điểm    sin  x    4    Với t  1: sin  x        4   sin  x     4     x   x     x      x     1,0  k 2  x  k 2    x    k 2     k 2        k 2  x    k 2     x    k 2     k 2 4 Suy phương trình có nghiệm  0; 2  x  Vậy tổng nghiệm     ;x  ;x  3 1,0 3  3 2 - Tìm tất giá trị tham số m để phương trình sau có ba nghiệm phân biệt lập thành cấp   số nhân: x3  x  m2  6m x   + Điều kiện cần: Giả sử phương trình cho có ba nghiệm phân biệt x1 , x2 , x3 lập thành cấp số nhân.Theo định lý Vi-ét, ta có x1 x2 x3  điểm Theo tính chất cấp số nhân, ta có x1 x3  x22 Suy ta có x23   x2  1,0 + Điều kiện đủ: Với m  m  m  6m  nên ta có phương trình x  x  14 x   Giải phương trình này, ta nghiệm 1, 2, Hiển nhiên ba nghiệm lập thành cấp số nhân với công bôị q  Vậy, m  m  7 giá trị cần tìm 1,0 Câu - Cho n số dương thỏa mãn 5Cnn1  Cn3 Tìm số hạng chứa x khai triển nhị thức Newton  nx  P    14 x  n Điều kiện n  , n  n 1 Ta có 5Cn  Cn  5.n ! n!    1!  n  1! 3!  n  3!  n  3! n   n  1  n  3!  n  TM   n  3n  28     n  4  L  điểm  x 1 n  ta có P      x Với Số hạng thứ k  khai triển Tk 1 Suy 14  3k   k  1,0  1  k 27k Vậy số hạng chứa x khai triển T4   C7k x143k 1,0 35 x 16 - Một tổ gồm em, có nữ chia thành nhóm Tính xác xuất để nhóm có nữ Bước 1: Tìm số phần tử khơng gian mẫu Chọn ngẫu nhiên em em đưa vào nhóm thứ có số khả xảy C93 điểm Chọn ngẫu nhiên em em đưa vào nhóm thứ hai có số khả xảy C6 Còn em đưa vào nhóm lại số khả xảy cách 3 Vậy   C9 C6  1680 1,0 Bước 2: Tìm số kết thuận lợi cho A Phân nữ vào nhóm có 3! cách Phân nam vào nhóm theo cách có C62C42 cách khác  A  3!.C62C42  540 Bước 3: Xác suất biến cố A P  A  A   540 27  1680 84 3-An Bình thi đấu với trận bóng bàn có séc , người thắng trước séc giành chiến thắng chung Xác suất An thắng séc 0, (khơng có hòa) Tính xác suất An thắng chung 1,0 điểm Giả sử số séc trân đấu An Bình x Dễ dàng nhận thấy  x  Ta xét trường hợp: TH1: Trận đấu có séc  An thắng séc Xác suất thắng trường hợp là: P1  0, 4.0, 4.0,  0, 064 TH2: Trận đấu có séc  An thua séc: 1, thắng séc thứ Số cách chọn séc để An thua là: C31 (Chú ý xác xuất để An thua séc 0, )  P2  C 0, 0,6  0,1152 TH3: Trận đấu có séc  An thua séc thắng séc thứ Số cách chọn séc đầu để An thua C42 cách 1,0 1,0  P3  C42 0, 43.0,62  0,13824 Như xác suất để An thắng chung là: P  P1  P2  P3  0,31744 1-Trong mặt phẳng tọa độ Oxy , cho điểm A  2;3 , A’ 1;5  B  5; 3 , B’  7; 2  Phép quay tâm I  x; y  biến A thành A’ B thành B’ , tính x  y QO ,   A   A '  IA  IA ' 1 QO ,   B   B '  IB  IB '     Từ 1       điểm  2  x     y   1  x     y    x    3  y     x    2  y  2 1,0 2 25  x  6 x  y  13   x  y  3   x  12 y  19   y   31   1,0 Cho đường tròn  O; R  đường kính AB Một đường tròn  O   tiếp xúc với đường tròn  O  đoạn AB C D Đường thẳng CD cắt  O; R  I Tính độ dài đoạn AI C O' điểm B O D A I Ta có: V R  C,   R  O   O  CO  Từ 1    R CO R 1 V C , R   I   D  CD     R R CI R  2 1,0 CD CO   OI€ OD  OI  AB  I điểm cung CD CI AB 1,0 Câu Cho hình chóp S ABC , M điểm nằm tam giác ABC Các đường thẳng qua M song song với SA, SB, SC cắt mặt phẳng  SBC  ,  SAC  ,  SAB  A, B, C  a) Chứng minh M di động tam giác ABC ? b) Chứng minh c) MA MB MC  nhận giá trị lớn Khi vị trí M tam giác ABC là: SA SB SC điểm a) Do MA∥SA nên bốn điểm nằm mặt phẳng Giả sử E giao điểm mặt MA ME SMBC   SA EA S ABC MA MB MC     Vậy đáp án Vậy SA SB SC 0,5 phẳng với BC Khi A, M , E thẳng hàng ta có: B / Tương tự ta có: MB SMAC MC  SMAB  ,  SB S ABC SC S ABC c) Ap dụng bất đẳng thức Cauchy ta có : MA MB MC  MA MB MC  MA MB MC     33   SA SB SC SA SB SC SA SB SC 27 MA MB MC     S MAC  S MAB  S MBC Dầu xảy khi: SA SB SC Điều xảy M trọng tâm tam giác ABC Vậy đáp án B 0,5 1,0 Câu5 (2điểm) Cho a, b, c ba số  un  dãy số xác định công thức: un  a n   b n   c n  (n  *) Chứng minh lim un  a  b  c  n  Đặt  un n2 n3  ab c   a  b  c n   n 1 n 1 n 1 Ta có: un  n  0, n Ngược lại a  b  c   0, 0, cho nên: a  b  c  lim un ( )  un  b 2,0 đ   n   n 1  c  a  b  c n   ta có  n   n 1  b 2c  0 n   n 1 n   n 1 0,5 ...ĐÁP ÁN Thi học sinh giỏi cấp trường MƠN TỐN LỚP 11 ( 2018- 2019) Câu Nội dung Tính tổng nghiệm phương trình sin x cos x  cos x ... sau có ba nghiệm phân biệt lập thành cấp   số nhân: x3  x  m2  6m x   + Điều kiện cần: Giả sử phương trình cho có ba nghiệm phân biệt x1 , x2 , x3 lập thành cấp số nhân.Theo định lý Vi-ét,... Giả sử số séc trân đấu An Bình x Dễ dàng nhận thấy  x  Ta xét trường hợp: TH1: Trận đấu có séc  An thắng séc Xác suất thắng trường hợp là: P1  0, 4.0, 4.0,  0, 064 TH2: Trận đấu có séc 