Đề thi HSG Toán 10 năm 2018 – 2019 trường Phùng Khắc Khoan – Hà NộiĐề thi HSG Toán 10 năm 2018 – 2019 trường Phùng Khắc Khoan – Hà NộiĐề thi HSG Toán 10 năm 2018 – 2019 trường Phùng Khắc Khoan – Hà NộiĐề thi HSG Toán 10 năm 2018 – 2019 trường Phùng Khắc Khoan – Hà NộiĐề thi HSG Toán 10 năm 2018 – 2019 trường Phùng Khắc Khoan – Hà NộiĐề thi HSG Toán 10 năm 2018 – 2019 trường Phùng Khắc Khoan – Hà NộiĐề thi HSG Toán 10 năm 2018 – 2019 trường Phùng Khắc Khoan – Hà NộiĐề thi HSG Toán 10 năm 2018 – 2019 trường Phùng Khắc Khoan – Hà NộiĐề thi HSG Toán 10 năm 2018 – 2019 trường Phùng Khắc Khoan – Hà NộiĐề thi HSG Toán 10 năm 2018 – 2019 trường Phùng Khắc Khoan – Hà NộiĐề thi HSG Toán 10 năm 2018 – 2019 trường Phùng Khắc Khoan – Hà NộiĐề thi HSG Toán 10 năm 2018 – 2019 trường Phùng Khắc Khoan – Hà NộiĐề thi HSG Toán 10 năm 2018 – 2019 trường Phùng Khắc Khoan – Hà Nội
SỞ GIÁO DỤC & ĐÀO TẠO HÀ NỘI TRƯỜNG THPT PHÙNG KHẮC KHOAN ĐỀ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI CẤP TRƯỜNG Lớp 10 – Năm học: 2018 - 2019 Môn: Tốn Thời gian làm bài: 150 phút (khơng kể giao đề) -THẠCH THẤT- Câu 1.(5,0 điểm) 1) Cho hàm số y x x có đồ thị (P) Tìm m để đường thẳng d : y 2 x m cắt đồ thị (P) hai điểm phân biệt A, B cho tam giác OAB vuông O (với O gốc tọa độ) 2) Tìm tất giá trị tham số m ( m R ) để phương trình x 3m 1 x 6m có bốn nghiệm phân biệt lớn 4 Câu 2.(5,0 điểm ) 1) Giải bất phương trình: 2x x x 25 x2 5x 3 x y x y 2) Giải hệ phương trình: 2 x y x 10 y Câu 3.(2,0 điểm) Cho tam giác ABC có BC = a, CA = b, BA = c diện tích S Biết S b2 (a c)2 Tính tan B Câu 4.(3,0 điểm) Cho tam giác ABC có AB = c, AC = b BAC 600 Các điểm M, N xác định MC 2MB NA 1 NB Tìm hệ thức liên hệ b c để AM CN vng góc với Câu 5.(3,0 điểm) Trong mặt phẳng toạ độ Oxy, cho A 1;2 , B 3; 4 Tìm tọa độ điểm C cho ABC vuông C có góc B 600 Câu (2,0 điểm) Cho x, y, z số thực dương Chứng minh rằng: y x z 1 2 2 2 2 x y y z z x x y z Hết - Họ tên thí sinh:……………………………………………………… Số báo danh: …… SỞ GIÁO DỤC & ĐÀO TẠO HÀ NỘI TRƯỜNG THPT PHÙNG KHẮC KHOAN -THẠCH THẤT- ĐÁP ÁN ĐỀ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI CẤP TRƯỜNG Lớp 10 - Năm học: 2018 - 2019 Mơn: Tốn Thời gian: 150 phút Câu 1.1 (3,0 đ) 1) Cho hàm số y x x có đồ thị (P) Tìm m để đường thẳng d: y 2 x m cắt đồ thị (P) điểm phân biệt A, B cho tam giác OAB vuông O (O gốc tọa độ) PT hoành độ giao điểm: x 3x m (1) Để d cắt (P) điểm phân biệt PT (1) có nghiệm phân biệt x1 , x2 13 13 4m m (*) Giả sử A( x1; 2 x1 m); B( x2 ; 2 x2 m) 1,0 x1 x2 3 x1.x2 m Theo hệ thức Vi-et: 0,5 Ta có OAB vng O OA.OB x1 x2 2m x1 x2 m m m m Đối chiếu đk (*) có giá trị m m 21 21 1,0 0,5 Câu 1.2(2,0 điểm) 2) Tìm tất giá trị m để phương trình x 3m 1 x 6m có bốn nghiệm phân biệt lớn - Đặt t x , thay vào phương trình ta t 3m 1 t 6m t phương trình cho có bốn nghiệm phân biệt t 3m 1 3m m Khi pt cho có nghiệm 2; 3m 3m m 17 Để nghiệm lớn 4 3m 4 3m m 17 Vậy giá trị m m ; \ 1 3 Câu 2.1(3,0 điểm) Giải bất phương trình: 2x x x 25 0,5 0,5 0,5 x2 5x x Điều kiện: x *) Nếu x = x = bất phương trình nghiệm x *) Nếu bất PT cho x x x 25 (a) x (a ) 0,5 2 x (Do x x 25 0) (1) x x 25 x 2 x (2) x x 25 x 20 x 25 0,5 0,5 0,5 0,5 +) Giải (1) kết hợp đk x ;2 x +) Giải (2): (2) 3x 19 x x 19 Kết hợp đk x 3; 3 0 x 19 19 Tập nghiệm S ;2 3; 3 0,5 0,5 3 x y x y Câu 2.2(2,0 điểm) Giải hệ phương trình: 2 x y x 10 y ĐK: x y 0, x y Đặt u x y ,(u 0) v x y 1,(v 0) 3u v Ta hệ phương trình: 2 4u 3v 2v 12 v 3u v 3u u 23u 96u 73 u 73 23 2x y 2 x y x (t/m) x 2y y 1 x y x 73 104 Với u v , (loại đk v ) Vậy hệ phương trình có nghiệm: 23 23 y 1 Với u v 0,5 0,5 0,5 0,5 Câu 3.(2,0 điểm) Cho tam giác ABC có BC = a, CA = b, BA = c diện tích S Biết S b2 (a c)2 Tính tan B Ta có: S b2 (a c)2 ac sin B a c 2ac cos B a c 2ac 1 ac sin B 2ac(1 cos B ) sin B 4(1 cos B ) cos B sin B (*) 0,5 0,5 17 Mặt khác sin B cos2 B sin B 1 sin B sin B sin B 16 sin B (do sinB > 0) 17 Kết hợp với (*) ta được: cos B 15 tan B 17 15 0,5 0,5 Câu 4.1(3,0 điểm) Cho tam giác ABC có AB = c, AC = b BAC 600 Các điểm M, N xác định MC 2MB NA 1 NB Tìm hệ thức liên hệ b c để AM CN vuông góc với Ta có: MC 2MB AC AM 2( AB AM ) AM AB AC 0,75 Tương tự ta có: 3CN 2CA CB 0,75 Vậy: AM CN AM CN (2 AB AC)(2CA CB) (2 AB AC)( AB AC) AB2 AC AB AC 2c 3b 5bc 0 0,5 0,5 0,5 4c2 6b2 5bc Câu 5.(3,0 điểm) Trong mặt phẳng toạ độ Oxy, cho A 1;2 , B 3; 4 Tìm tọa độ điểm C cho ABC vng C có góc B 600 Ta có AB 2; 6 , Giả sử C x; y AC x 1; y ; BC x 3; y AC BC ABC vng C có góc B 60 BC AB AC.BC x 1).( x 3) ( y (y 4) 2 AB x 3 y 10 BC 2 x y 4x y 2 x y x y 25 10 0,5 0,5 0,5 0,5 x2 y2 x y x2 y2 4x y x y 20 x y 10 9 y 60 y 100 y 12 y 40 y x y 10 x y 10 10 y 50 y 55 53 5 ,y x 2 53 5 KL : … ,y x 2 0,5 0,5 y x z 1 2 2 2 2 x y y z z x x y z Áp dụng BĐT côsi cho số dương x, y, z ta có Câu (2,0 điểm) Cho x, y, z CMR: 0,5 x3 y x3 y ; y z y z ; z x z x y y x z x z 2 2 x y y z z x x3 y 2 y z 2 z x 2 y x z 1 2 2 x y y z z x xy yz zx 1 1 1 2 2 Mặt khác, ta có: ; 2 2 ; 2 2 x zx z yz z x y xy y 1 1 1 2 2 2 2 x y z xy yz zx y x z 1 2 2 2 2 x y y z z x x y z Dấu '' '' xảy x y z Từ 1 , ta có Chú ý: Các cách giải khác cho điểm tương tự 1 0,5 0,5 0,5 ... ĐÀO TẠO HÀ NỘI TRƯỜNG THPT PHÙNG KHẮC KHOAN -THẠCH THẤT- ĐÁP ÁN ĐỀ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI CẤP TRƯỜNG Lớp 10 - Năm học: 2018 - 2019 Mơn: Tốn Thời gian: 150 phút Câu 1.1 (3,0 đ) 1) Cho hàm số y... 10 BC 2 x y 4x y 2 x y x y 25 10 0,5 0,5 0,5 0,5 x2 y2 x y x2 y2 4x y x y 20 x y 10 9 y 60 y 100 ... x y 20 x y 10 9 y 60 y 100 y 12 y 40 y x y 10 x y 10 10 y 50 y 55 53 5 ,y x 2 53 5 KL : … ,y x 2 0,5 0,5