Sản phẩm Group FB: STRONG TEAM TOÁN VD VDC Đề HỌC SINH GIỎI TOÁN 11 NGHỆ AN NĂM 2019 GIẢI CHI TIẾT ĐỀ HỌC SINH GIỎI LỚP 11 NGHỆ AN NĂM HỌC 2018-2019 MƠN TỐN TIME:150 PHÚT ĐỀ BÀI Câu a) Giải phương trình cos x cos x 3(sin x sin x) � x x2 2x y2 y 1 � x, y �R �3 2 x x y x y � b) Giải hệ phương trình � Câu 2: Gọi S tập hợp tất số tự nhiên gồm chữ số đôi khác chọn từ chữ số 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, Xác định số phần tử S Lấy ngẫu nhiên số từ S , tính xác suất để số chọn số chia hết cho 11 tổng chữ số chia hết cho 11 Câu Trong mặt phẳng với hệ trục tọa độ Oxy , cho hình chữ nhật ABCD có AB BC Gọi M trung điểm đoạn AB G trọng tâm tam giác ACD Viết phương trình đường thẳng �5 � G � ;0 � AD Biết M 1; �3 � Câu Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD hình thang cân (AB//CD) nội tiếp đường tròn tâm O o � � SBA SCA 90 Gọi M trung điểm cạnh SA a) Chứng minh rằng: MO ABCD b) Gọi góc hai đường thẳng AB SC Chứng minh cos BC SA Câu 2un 1 un n n u lim 2n 2 un u 12 n n 2n a) Cho dãy số , biết , n 5n với n �1 Tìm 3 b) Cho ba số thực a, b, c thoả mãn a b c 3abc 32 Tìm giá trị nhỏ biểu thức P a2 b2 c2 a b b c c a Hết Hãy tham gia STRONG TEAM TỐN VD-VDC- Group dành riêng cho GV-SV tốn! Trang Mã đề X Sản phẩm Group FB: STRONG TEAM TOÁN VD VDC Đề HỌC SINH GIỎI TOÁN 11 NGHỆ AN NĂM 2019 HƯỚNG DẪN GIẢI CHI TIẾT Câu a) Giải phương trình cos x cos x 3(sin x sin x) Lời giải Tác giả: Nguyễn Thanh Tâm; Fb: Tâm Nguyễn Phương trình: cos x cos x 3(sin x sin x) � cos x sin x 7( sin x cos x) 3 � cos x sin x 7( sin x cos x) 2 2 � cos cos x sin sin x 7(cos sin x sin cos x) 3 6 � cos(2 x ) sin( x ) � 2sin ( x ) sin( x ) 6 � 2sin ( x ) sin( x ) 6 � sin( x ) � �� � sin( x ) 3( vn) � � � sin( x ) sin 6 � x k 2 � 6 �� � x k 2 � (k ��) � x k 2 � � � 2 � x k 2 (k ��) � tambc3vl@gmail.com � x x2 2x y y � x, y �R �3 2 x x y x y � b) Giải hệ phương trình � Lời giải Tác giả: Nguyễn Thanh Tâm; Fb: Tâm Nguyễn �x x x y y (1) � x, y �R �3 2 x x y x y (2) � Xét hệ phương trình � Điều kiện x y �0 (1) � x y x 1 1 y2 1 Hãy tham gia STRONG TEAM TOÁN VD-VDC- Group dành riêng cho GV-SV toán! Trang Mã đề X Sản phẩm Group FB: STRONG TEAM TOÁN VD VDC � x 1 y � � �� 1 � � Đề HỌC SINH GIỎI TOÁN 11 NGHỆ AN NĂM 2019 � x 1 y x 1 y � x 1 y � x 1 y � � � 2 � 2 x 1 y � x 1 y � x 1 y x 1 y y x 1 � � � � x y x y (*) � x 1 y (*) � x 1 y x 1 y x x 1 y y �0 Ta có nên phương trình (*) vơ nghiệm Thế y x vào phương trình (2) ta phương trình x3 x x x2 x � x3 � x x x 1 � � � x x (3) Đặt a x x �0 , phương trình (3) trở thành �x a x x a 4a � x a x 2a � � x 2 a � � x �0 1 1 x a � x x x � �2 �x �y 2 �x x + x �0 2 5 � x 2a � 2 x x x � � � x �y x 4x 7 � + � � �1 1 ��2 5 � � � S � ; ; ; � � � � � � � � � �� 7 � � � � Vậy hệ phương trình cho có tập nghiệm vuthithao99@gmail.com Câu 2: Gọi S tập hợp tất số tự nhiên gồm chữ số đôi khác chọn từ chữ số 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, Xác định số phần tử S Lấy ngẫu nhiên số từ S , tính xác suất để số chọn số chia hết cho 11 tổng chữ số chia hết cho 11 Lời giải Tác giả : Vũ Thị Thảo Facebook: Vũ Thảo Số phần tử S là: A9 3024 ( số ) Số phần tử không gian mẫu n 3024 Gọi A biến cố ՙՙ số chọn số chia hết cho 11 tổng chữ số chia hết cho 11 ՚՚ a �0, a �b �c �d Gọi số tự nhiên gồm chữ số đôi khác : abcd , Hãy tham gia STRONG TEAM TOÁN VD-VDC- Group dành riêng cho GV-SV toán! Trang Mã đề X Sản phẩm Group FB: STRONG TEAM TOÁN VD VDC Đề HỌC SINH GIỎI TOÁN 11 NGHỆ AN NĂM 2019 � M 11 � M 11 a c b d � a c b d � � � Theo giả thiết ta có : � � suy b d M11 a c M11 Trong chữ số 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, có số gồm hai chữ số mà tổng chia hết cho 11 2; 9 ; 3; 8 ; 4; 7 ; 5; 6 Chọn cặp số a, c có khả năng, khả có cách Khi đó, chọn cặp số Vậy n A 4.2.3.2 48 Xác suất cần tìm Câu b, d khả năng, khả có cách (số) P A n A 48 n 3024 63 Oxy Trong mặt phẳng với hệ trục tọa độ , cho hình chữ nhật ABCD có AB BC Gọi M trung điểm đoạn AB G trọng tâm tam giác ACD Viết phương trình đường thẳng AD Biết M 1; �5 � G � ;0 � �3 � Lời giải Tác giả: Nguyễn Văn Minh ; Fb: Minh Nguyễn Gọi H hình chiếu G lên AB K trung điểm CD Đặt BC 3a 0, suy AB 6a, GH 2a, HM a MG MH HG � Suy ra: 40 2 5a � a AM 3a 2, AG Giả sử A x; y 2 AK 3a 3 Khi Hãy tham gia STRONG TEAM TỐN VD-VDC- Group dành riêng cho GV-SV toán! Trang Mã đề X Sản phẩm Group FB: STRONG TEAM TOÁN VD VDC Đề HỌC SINH GIỎI TOÁN 11 NGHỆ AN NĂM 2019 �AM 2 � � �AG � 2 � 1 x y � �� �5 � 64 � � x � y �3 � � �x y x y �� �x y �x y � y0 �� � �� �� y � �� x 1, y � � � 19 � x ,y � A 1;0 Nếu đường thẳng AD qua A vng góc với AM nên có phương trình x y 19 � � A� ; � Nếu �5 �thì đường thẳng AD qua A vng góc với AM nên có phương trình x y 25 Câu Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD hình thang cân (AB//CD) nội tiếp đường tròn tâm O o � � SBA SCA 90 Gọi M trung điểm cạnh SA a) Chứng minh rằng: MO ABCD b) Gọi góc hai đường thẳng AB SC Chứng minh cos BC SA Lời giải Tác giả: Chu Viết Tấn ; Fb: Chu Viết Tấn Hãy tham gia STRONG TEAM TOÁN VD-VDC- Group dành riêng cho GV-SV toán! Trang Mã đề X Sản phẩm Group FB: STRONG TEAM TOÁN VD VDC Đề HỌC SINH GIỎI TOÁN 11 NGHỆ AN NĂM 2019 a), Gọi O’ hình chiếu vng góc M (ABCD) Do tam giác SBA SCA lần MB �MC O ' A O ' B O ' C O ' O hay lượt vuông B C nên ta có MA MO ABCD b) Cách 1: Gọi Ký hiệu ( a,b) góc hai đường thẳng � SAD � SC , AB SC , CD SCD a,b Mặt cầu đường kính SA ngoại tiếp khối chóp S.ABC nên ngoại tiếp khối chóp � 90o S.ABCD SDA Gọi R, r bán kính đường tròn ngoại tiếp SAD, SCD Ta có: � � � � � R sin SAD � SD 2r sin SCD Do r R nên sin SCD sin SAD � SCD SAD � AD BC cos cos SAD SA SA Cách 2: ( Đáp án chính) Vì AB / / CD nên góc hai đường thẳng AB SC góc CD SC Hãy tham gia STRONG TEAM TỐN VD-VDC- Group dành riêng cho GV-SV tốn! Trang Mã đề X Sản phẩm Group FB: STRONG TEAM TOÁN VD VDC suy cos cos SCD sin SCD Đề HỌC SINH GIỎI TOÁN 11 NGHỆ AN NĂM 2019 (*) Gọi I hình chiếu vng góc điểm M tam giác SAD vuông D SCD lên mặt phẳng ta có MD MC SA nên Mặt khác MS MD MC suy I tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác SCD Khi SD SD SD sin SCD 2.ID 2.MD SA ( Vì tam giác MI D vng I ) Từ (*) suy ra: cos sin SCD SD SA2 SD SA2 SA2 AD BC SA2 SA Vậy ta có đpcm tranquyen259@gmail.com Câu (4 điểm) 2un 1 un n n un lim 2 u n n 2n a) Cho dãy số n , biết u1 12 , n 5n với n �1 Tìm 3 b) Cho ba số thực a, b, c thoả mãn a b c 3abc 32 Tìm giá trị nhỏ biểu thức P a2 b2 c2 a b b c c a Lời giải Tác giả: Nguyễn Trần Quyền; Fb: Nguyễn Trần Quyền a) (2 điểm) Ta có: 2un 1 un n n 2un 1 un n 1 n � 2 n 5n n n n n 1 n n 3 n n 1 � � � n 2 2 n 1 n n 3 n n 1 n n n 1 n 2un 1 2un 1 n 1 n n 3 un 1 un un n n 1 Đặt q un n n 1 n 2 n n 1 n n 1 n n 1 n n 3 n 1 n bội , từ * n n 1 un 1� � � � * 2� n n n n n � � � 1 nên cấp số nhân có cơng ta có 1 v1 2, suy n n 1 n un 1 n � n � un n 3n 2 n n n 2 n n 1 n v1q n 1 Khi � n n 1 n n 3n � un � lim lim � n 2n 2n � 2 n � � � Hãy tham gia STRONG TEAM TOÁN VD-VDC- Group dành riêng cho GV-SV toán! Trang Mã đề X Sản phẩm Group FB: STRONG TEAM TOÁN VD VDC Đề HỌC SINH GIỎI TOÁN 11 NGHỆ AN NĂM 2019 2n C0n C1n C 2n C3n L C nn C3n Ta có Do ta có bất đẳng thức sau 0 n n 1 n 2 2n 1 n 6n n 1 6n n 1 n n 1 n n �3 n 2 n �3 n n 1 n 2n 1 n 2 lim n n 1 n 2n 1 Vì 2 0 lim n n 1 n 2 2n 1 n nên 0 n 3n u lim 2n 2n nên 2n u lim 2n 2n Vậy lim b) (2 điểm) Ta có a b3 c3 3abc 32 � a b c a b c ab bc ca 32 * * suy t a b c Đặt t a b c , từ a b2 c a b c * � a b c � � � a b2 c 64 a b c abc � 64 � 64 t t Ta chứng minh 2 a b bc c a � 2� ** �a b b c c a � � Thật vậy, vai trò a, b, c bình đẳng nên khơng giảm tổng quát giả sử a �b �c , a b b c c a a b b c a c 2 a c Ta có ** � a c � 2 2� a b b c c a � � � � a c � a b b c 2 � a b b c � a b b c 2 � a b b c �0 Điều với a �b �c Vì 2 a b bc c a � 2� �a b b c c a � � � a b b c c a � a b c 2ab 2bc 2ca 32 abc t Ta có 3P a b c a b b c c a 64 �64 � �64 �8 3P �� t � � t t ��8 2.2 t t 128 t t �t � t �t t � ۳ P 128 Hãy tham gia STRONG TEAM TOÁN VD-VDC- Group dành riêng cho GV-SV toán! Trang Mã đề X Sản phẩm Group FB: STRONG TEAM TOÁN VD VDC Đề HỌC SINH GIỎI TOÁN 11 NGHỆ AN NĂM 2019 128 Vậy giá trị nhỏ biểu thức P Đạt a 44 42 ,b c 3 hoán vị a, b, c Hãy tham gia STRONG TEAM TỐN VD-VDC- Group dành riêng cho GV-SV tốn! Trang Mã đề X