Tổ 19 đ2 đề học SINH GIỎI NGHỆ AN

Sản phẩm Group FB: STRONG TEAM TOÁN VD VDC Đề HỌC SINH GIỎI TOÁN 11 NGHỆ AN NĂM 2019 GIẢI CHI TIẾT ĐỀ HỌC SINH GIỎI LỚP 11 NGHỆ AN NĂM HỌC 2018-2019 MƠN TỐN TIME:150 PHÚT ĐỀ BÀI Câu a) Giải phương trình cos x  cos x  3(sin x  sin x)  � x  x2  2x   y2   y 1 �  x, y �R  �3 2 x  x  y  x  y    �  b) Giải hệ phương trình � Câu 2: Gọi S tập hợp tất số tự nhiên gồm chữ số đôi khác chọn từ chữ số 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, Xác định số phần tử S Lấy ngẫu nhiên số từ S , tính xác suất để số chọn số chia hết cho 11 tổng chữ số chia hết cho 11 Câu Trong mặt phẳng với hệ trục tọa độ Oxy , cho hình chữ nhật ABCD có AB  BC Gọi M trung điểm đoạn AB G trọng tâm tam giác ACD Viết phương trình đường thẳng �5 � G � ;0 � AD Biết M  1;  �3 � Câu Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD hình thang cân (AB//CD) nội tiếp đường tròn tâm O o � � SBA  SCA  90 Gọi M trung điểm cạnh SA a) Chứng minh rằng: MO   ABCD  b) Gọi  góc hai đường thẳng AB SC Chứng minh cos   BC SA Câu 2un 1 un  n  n  u  lim 2n 2 un   u  12 n n 2n  a) Cho dãy số , biết , n  5n  với n �1 Tìm 3 b) Cho ba số thực a, b, c thoả mãn a  b  c  3abc  32 Tìm giá trị nhỏ biểu thức P   a2  b2  c2   a  b  b  c  c  a  Hết Hãy tham gia STRONG TEAM TỐN VD-VDC- Group dành riêng cho GV-SV tốn! Trang Mã đề X Sản phẩm Group FB: STRONG TEAM TOÁN VD VDC Đề HỌC SINH GIỎI TOÁN 11 NGHỆ AN NĂM 2019 HƯỚNG DẪN GIẢI CHI TIẾT Câu a) Giải phương trình cos x  cos x  3(sin x  sin x)  Lời giải Tác giả: Nguyễn Thanh Tâm; Fb: Tâm Nguyễn Phương trình: cos x  cos x  3(sin x  sin x)  � cos x  sin x  7( sin x  cos x)  3 � cos x  sin x  7( sin x  cos x)  2 2     � cos cos x  sin sin x  7(cos sin x  sin cos x)  3 6   � cos(2 x  )  sin( x  )    �  2sin ( x  )  sin( x  )   6   �  2sin ( x  )  sin( x  )   6  � sin( x  )  � ��  � sin( x  )  3( vn) � �   � sin( x  )  sin 6 �   x    k 2 � 6 ��   � x      k 2 � (k ��) � x  k 2 � � � 2 � x  k 2 (k ��) � tambc3vl@gmail.com � x  x2  2x   y   y  �  x, y �R  �3 2 x  x  y  x  y    �  b) Giải hệ phương trình � Lời giải Tác giả: Nguyễn Thanh Tâm; Fb: Tâm Nguyễn �x  x  x   y   y  (1) �  x, y �R  �3 2 x  x  y  x  y   (2)   � Xét hệ phương trình � Điều kiện x  y  �0 (1) �  x   y    x  1 1  y2 1  Hãy tham gia STRONG TEAM TOÁN VD-VDC- Group dành riêng cho GV-SV toán! Trang Mã đề X Sản phẩm Group FB: STRONG TEAM TOÁN VD VDC �  x 1 y   � � �� 1 � � Đề HỌC SINH GIỎI TOÁN 11 NGHỆ AN NĂM 2019 �  x 1 y  x 1 y   � x 1 y �  x 1 y  � �   � 2 � 2  x  1   y  �  x  1   y  � x 1 y  x 1 y y  x 1 � �  � � x    y   x   y  (*)    �  x  1   y  (*) �  x  1   y    x  1  y  x    x  1  y  y �0 Ta có nên phương trình (*) vơ nghiệm Thế y   x  vào phương trình (2) ta phương trình x3   x  x   x2  x   � x3  � x   x  x  1 � � � x  x   (3) Đặt a  x  x  �0 , phương trình (3) trở thành �x  a x  x a  4a  �  x  a   x  2a   � � x  2 a � � x �0 1  1  x  a � x  x   x � �2 �x �y 2 �x  x   + x �0 2  5  � x  2a � 2 x  x    x � � � x �y x  4x   7 � + � � �1  1  ��2  5  � � � S � ; ; ; � � � � � � � � � �� 7 � � � � Vậy hệ phương trình cho có tập nghiệm vuthithao99@gmail.com Câu 2: Gọi S tập hợp tất số tự nhiên gồm chữ số đôi khác chọn từ chữ số 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, Xác định số phần tử S Lấy ngẫu nhiên số từ S , tính xác suất để số chọn số chia hết cho 11 tổng chữ số chia hết cho 11 Lời giải Tác giả : Vũ Thị Thảo Facebook: Vũ Thảo Số phần tử S là: A9  3024 ( số ) Số phần tử không gian mẫu n     3024 Gọi A biến cố ՙՙ số chọn số chia hết cho 11 tổng chữ số chia hết cho 11 ՚՚  a �0, a �b �c �d  Gọi số tự nhiên gồm chữ số đôi khác : abcd , Hãy tham gia STRONG TEAM TOÁN VD-VDC- Group dành riêng cho GV-SV toán! Trang Mã đề X Sản phẩm Group FB: STRONG TEAM TOÁN VD VDC Đề HỌC SINH GIỎI TOÁN 11 NGHỆ AN NĂM 2019 � M 11 � M 11  a  c   b  d  �  a  c   b  d  � � � Theo giả thiết ta có : � � suy  b  d  M11  a  c  M11 Trong chữ số 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, có số gồm hai chữ số mà tổng chia hết cho 11  2; 9 ;  3; 8 ;  4; 7 ;  5; 6 Chọn cặp số  a, c  có khả năng, khả có cách Khi đó, chọn cặp số Vậy n  A   4.2.3.2  48 Xác suất cần tìm Câu  b, d  khả năng, khả có cách (số) P  A  n  A 48   n    3024 63 Oxy Trong mặt phẳng với hệ trục tọa độ , cho hình chữ nhật ABCD có AB  BC Gọi M trung điểm đoạn AB G trọng tâm tam giác ACD Viết phương trình đường thẳng AD Biết M  1;  �5 � G � ;0 � �3 � Lời giải Tác giả: Nguyễn Văn Minh ; Fb: Minh Nguyễn Gọi H hình chiếu G lên AB K trung điểm CD Đặt BC  3a  0, suy AB  6a, GH  2a, HM  a MG  MH  HG � Suy ra: 40 2  5a � a  AM  3a  2, AG  Giả sử A  x; y    2 AK  3a  3 Khi Hãy tham gia STRONG TEAM TỐN VD-VDC- Group dành riêng cho GV-SV toán! Trang Mã đề X Sản phẩm Group FB: STRONG TEAM TOÁN VD VDC Đề HỌC SINH GIỎI TOÁN 11 NGHỆ AN NĂM 2019 �AM  2 � � �AG  � 2 �  1 x    y   � �� �5 � 64 � �  x � y  �3 � � �x  y  x  y  �� �x  y  �x  y  � y0 �� � �� �� y � �� x  1, y  � � � 19 � x ,y � A  1;0  Nếu đường thẳng AD qua A vng góc với AM nên có phương trình x  y   19 � � A� ; � Nếu �5 �thì đường thẳng AD qua A vng góc với AM nên có phương trình x  y  25  Câu Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD hình thang cân (AB//CD) nội tiếp đường tròn tâm O o � � SBA  SCA  90 Gọi M trung điểm cạnh SA a) Chứng minh rằng: MO   ABCD  b) Gọi  góc hai đường thẳng AB SC Chứng minh cos   BC SA Lời giải Tác giả: Chu Viết Tấn ; Fb: Chu Viết Tấn Hãy tham gia STRONG TEAM TOÁN VD-VDC- Group dành riêng cho GV-SV toán! Trang Mã đề X Sản phẩm Group FB: STRONG TEAM TOÁN VD VDC Đề HỌC SINH GIỎI TOÁN 11 NGHỆ AN NĂM 2019 a), Gọi O’ hình chiếu vng góc M (ABCD) Do tam giác SBA SCA lần MB �MC O ' A O ' B O ' C O ' O hay lượt vuông B C nên ta có MA  MO   ABCD  b) Cách 1: Gọi Ký hiệu ( a,b) góc hai đường thẳng �  SAD �    SC , AB    SC , CD   SCD a,b Mặt cầu đường kính SA ngoại tiếp khối chóp S.ABC nên ngoại tiếp khối chóp �  90o S.ABCD SDA Gọi R, r bán kính đường tròn ngoại tiếp SAD, SCD Ta có: � � � � �  R sin SAD � SD  2r sin SCD Do r  R nên sin SCD  sin SAD �   SCD  SAD �  AD  BC cos   cos SAD SA SA Cách 2: ( Đáp án chính) Vì AB / / CD nên góc hai đường thẳng AB SC góc CD SC Hãy tham gia STRONG TEAM TỐN VD-VDC- Group dành riêng cho GV-SV tốn! Trang Mã đề X Sản phẩm Group FB: STRONG TEAM TOÁN VD VDC suy cos   cos SCD   sin SCD Đề HỌC SINH GIỎI TOÁN 11 NGHỆ AN NĂM 2019 (*) Gọi I hình chiếu vng góc điểm M tam giác SAD vuông D SCD  lên mặt phẳng  ta có MD  MC  SA nên Mặt khác MS  MD  MC suy I tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác SCD Khi SD SD SD sin SCD    2.ID 2.MD SA ( Vì tam giác MI D vng I ) Từ (*) suy ra: cos    sin SCD   SD SA2  SD   SA2 SA2 AD BC  SA2 SA Vậy ta có đpcm tranquyen259@gmail.com Câu (4 điểm) 2un 1 un  n  n  un  lim 2 u   n n 2n  a) Cho dãy số n , biết u1  12 , n  5n  với n �1 Tìm 3 b) Cho ba số thực a, b, c thoả mãn a  b  c  3abc  32 Tìm giá trị nhỏ biểu thức P   a2  b2  c2   a  b  b  c  c  a  Lời giải Tác giả: Nguyễn Trần Quyền; Fb: Nguyễn Trần Quyền a) (2 điểm) Ta có: 2un 1 un  n  n  2un 1 un  n  1  n    �   2 n  5n  n n n  n  1  n    n  3 n  n  1 � � �  n  2 2  n  1  n    n  3 n  n  1  n   n  n  1  n   2un 1 2un 1  n  1  n    n  3 un 1   un un n  n  1  Đặt q un n  n  1  n  2  n  n  1   n    n  1  n    n  1  n    n  3  n  1  n    bội  , từ   *  n  n  1 un 1� �  � � * 2� n n    n n  n      � � � 1  nên   cấp số nhân có cơng ta có 1 v1  2, suy n  n  1  n   un 1  n �   n � un   n  3n  2 n n n  2   n  n  1  n    v1q n 1 Khi � n  n  1  n   n  3n  � un � lim  lim � n  2n  2n  � 2 n  �   � � Hãy tham gia STRONG TEAM TOÁN VD-VDC- Group dành riêng cho GV-SV toán! Trang Mã đề X Sản phẩm Group FB: STRONG TEAM TOÁN VD VDC Đề HỌC SINH GIỎI TOÁN 11 NGHỆ AN NĂM 2019 2n  C0n  C1n  C 2n  C3n  L  C nn  C3n  Ta có Do ta có bất đẳng thức sau 0 n  n  1  n  2  2n  1 n 6n  n  1  6n  n  1 n  n  1  n    n �3  n  2  n �3 n  n  1  n    2n  1  n  2 lim n  n  1  n    2n  1 Vì 2 0 lim n  n  1  n  2  2n  1 n nên 0 n  3n  u  lim 2n  2n  nên 2n  u lim 2n  2n  Vậy lim b) (2 điểm) Ta có a  b3  c3  3abc  32 �  a  b  c   a  b  c  ab  bc  ca   32  *  * suy t  a  b  c  Đặt t  a  b  c , từ a  b2  c    a  b  c   * �  a  b  c  � � �  a  b2  c   64   a  b  c abc � 64 � 64  t t Ta chứng minh 2 a b  bc  c  a � 2� ** �a  b    b  c    c  a  � �  Thật vậy, vai trò a, b, c bình đẳng nên khơng giảm tổng quát giả sử a �b �c , a  b  b  c  c  a   a  b   b  c   a  c  2 a  c Ta có  ** �  a  c  � 2 2�  a  b   b  c    c  a  � � � �  a  c  � a  b    b  c  2 �  a  b  b  c  � a  b    b  c  2 �  a  b   b  c  �0 Điều với a �b �c Vì 2 a b  bc  c  a � 2� �a  b    b  c    c  a  � � � a  b  b  c  c  a �  a  b  c  2ab  2bc  2ca   32  abc t Ta có 3P   a  b  c   a  b  b  c  c  a  64 �64 � �64 �8 3P ��  t �  �  t t ��8 2.2 t t  128 t t �t � t �t t � ۳ P 128 Hãy tham gia STRONG TEAM TOÁN VD-VDC- Group dành riêng cho GV-SV toán! Trang Mã đề X Sản phẩm Group FB: STRONG TEAM TOÁN VD VDC Đề HỌC SINH GIỎI TOÁN 11 NGHỆ AN NĂM 2019 128 Vậy giá trị nhỏ biểu thức P Đạt a 44 42 ,b  c  3 hoán vị a, b, c Hãy tham gia STRONG TEAM TỐN VD-VDC- Group dành riêng cho GV-SV tốn! Trang Mã đề X