Sở Gd&Đt Nghệ an Kỳ thi chọn học sinh giỏi Tỉnh Năm học 2007 - 2008 Môn thi: Toán lớp 12 THPT - bảng B Thời gian: 180 phút (không kể thời gian giao đề) Bài 1. a) Tìm m để phơng trình sau có nghiệm: (m - 3) x + ( 2- m)x + 3 - m = 0. b) Chứng minh rằng: 3 sinx cosx x > ữ , với x (0; ) 2 . Bài 2. a) Tìm giá trị nhỏ nhất, giá trị lớn nhất của hàm số: 2 y x 1 x= + b) Giải hệ phơng trình: x y sinx e sin y sin 2y cos2y sin x cos x 1 x, y 0; 4 = = + ữ Bài 3. Tìm nghiệm nguyên của phơng trình: ( ) 2 cos 3x 9x 160x 800 1. 8 + + = Bài 4 a) Trong mặt phẳng Oxy cho tam giác ABC có diện tích bằng 3 2 . Biết A(2; - 3), B(3; - 2) và trọng tâm G thuộc đờng thẳng d có phơng trình: 3x - y - 8 = 0. Tính bán kính đờng tròn nội tiếp tam giác ABC. b) Trong mặt phẳng Oxy cho đờng tròn (C) có phơng trình: x 2 + y 2 - 2x - 4y + 4 = 0 và đờng thẳng có phơng trình: x - y - 1 = 0. Từ điểm M bất kỳ trên đờngthẳng kẻ hai tiếp tuyến MT 1 , MT 2 đến (C) (T1, T2 là tiếp điểm) . Chứng minh rằng: đờng thẳng T 1 T 2 luôn đi qua một điểm cố định khi M chạy trên . Hết Họ và tên thí sinh: SBD: Trang / 51 Đề chính thức Sở Gd&Đt Nghệ an Kỳ thi chọn học sinh giỏi tỉnh Năm học 2007 - 2008 hớng dẫn và biểu điểm Chấm đề chính thức (Hớng dẫn và biểu điểm chấm gồm 05 trang) Môn: Toán lớp 12 - THPT - bảng B ---------------------------------------------- Bài Nội dung Biểu điểm Bài 1: 6,0 a. (m - 3) x + ( 2- m)x + 3 - m = 0 (1). 3,0 ĐK: x 0; Đặt t = x , t 0. 0,5 (1) trở thành: (m - 3)t + (2 - m)t 2 + 3 - m = 0 <=> m = 2 2 2t 3t 3 t t 1 + + (2) 0,5 Xét f(t) = 2 2 2t 3t 3 t t 1 + + , t 0 f / (t) = 2 2 2 t 2t (t t 1) + ; f / (t) = 0 <=> t 0 t 2 = = 1,0 Bảng biến thiên t 0 2 + 0,5 f / (t) 0 + f(t) 3 2 5 3 Phơng trình (1) có nghiệm <=> phơng trình (2) có nghiệm thoả mãn t 0 <=> 5 m 3 3 . 0,5 b. 3 sinx cosx x > ữ (1). 3,0 (1) <=> tgx.sin 2 x - x 3 > 0. Xét f(x) = tgx.sin 2 x - x 3 > 0 ; x (0; ) 2 . 0,5 f / (x) = tg 2 x + 2sin 2 x - 3x 2 . f // (x) = 2tgx. 2 1 cos x + 4sinx.cosx - 6x = 3 2sin x cos x + 2sin2x - 6x f /// (x) = 4 2 2 6 2cos x 6sin x.cos x 4cos2x 6 cos x + + 0,5 Trang / 52 = 2 2 2 4 2cos x 6sin x 8cos x 10 cos x + + − = 6 4 2 4 8cos x 10cos x 4cos x 6 cos x − − + = 2 2 2 4 2(cos x 1) (4cos x 3) 0 cos x − + > x (0; ) 2 π ∀ ∈ 0,5 => f // (x) ®ång biÕn trªn (0; ) 2 π => f // (x) > f // (0) = 0 , x (0; ) 2 π ∀ ∈ 0,5 => f / (x) ®ång biÕn trªn (0; ) 2 π => f / (x) > f / (0) = 0 , x (0; ) 2 π ∀ ∈ 0,5 => f(x) ®ång biÕn trªn (0; ) 2 π => f(x) > f(0) = 0 , x (0; ) 2 π ∀ ∈ 0,5 Bµi 2. 6,0 a. §K: - 1 ≤ x ≤ 1. 0,5 XÐt hµm sè y = x + 2 1 x− trªn ®o¹n [-1; 1], ta cã: y / = 1 - 2 x 1 x− = 2 2 1 x x 1 x − − − . 0,5 • y / kh«ng x¸c ®Þnh t¹i x = ± 1 0,5 • y / = 0 <=> 2 1 x x− = <=> 2 2 x 0 1 x 2 1 x x ≥ <=> = − = 0,5 Khi ®ã y(-1) = - 1 ; y( 1 ) 2 2 = ; y(1) = 1. 0,5 VËy max y = 2 khi x = 1 2 min y = - 1 khi x = - 1. 0,5 b. 3,0 x y sinx e (1) sin y cos2y sin 2y sin x cos x 1 (2) x, y 0; (3) 4 − = − + = + − π ∈ ÷ Ta cã (1) <=> / x y sin x sin y (1 ) e e = 0,5 XÐt f(t) = t sin t e , t 0; 4 π ∈ ÷ 0,5 Trang / 53 f / (t) = t 2t t t 2.cos(t ) e (cos t sin t) cos t sin t 4 0 , t (0; ) 4 e e e π + − − π = = > ∀ ∈ . => f / (t) ®ång biÕn trªn 0; 4 π ÷ . Khi ®ã tõ (1 / ) => x = y. 0,5 Thay vµo (2): - cos2x + sin2x = sinx + cosx - 1 <=> cos2x + sinx + cosx - (1 + sin2x) = 0 <=> (cosx - sinx)(cosx + sinx) + (sinx + cosx) - (sinx + cosx) 2 = 0 <=> (sinx + cosx) (cosx - sinx + 1 - sinx - cosx) = 0 <=> (sinx + cosx) (1 - 2sinx) = 0 <=> sinx = 1 2 (do sinx + cosx > 0 x (0; ) 4 π ∀ ∈ ) <=> x k2 6 5 x k2 6 π = + π π = + π 1,0 Do x (0; ) 4 π ∈ nªn x = 6 π . VËy hÖ cã nghiÖm: ; 6 6 π π ÷ 0,5 Bµi 3. T×m nghiÖm nguyªn cña ph¬ng tr×nh: ( ) 2 cos 3x 9x 160x 800 1 8 π − + + = (1) 2,5 Ta cã (1) <=> 2 (3x 9x 160 800) k2 8 π − + + = π , k ∈ Z <=> 2 9x 160 800+ + = 3x - 16k 0,5 <=> 2 169x 800 (3x 16k) 2 3x - 16k 0 9x ≥ + + = − <=> 2 16k x (1) 3 8k 25 x (2) 3k 5 ≥ − = + 0,5 Cã (2) <=> 9x = 24k - 40 - 25 3k 5+ 0,5 Do k vµ x nguyªn nªn 3k + 5 lµ íc cña 25 Suy ra 3k + 5 ∈ {- 1; 1; 5; - 5; 25; - 25} 0,5 Gi¶i ra ta ®îc x = - 7 ; x = - 31. 0,5 Trang / 54 Bµi 4. 5,5 a. Gäi C(a; b) 3,0 • S = 1 2 CH.AB (1). Ta cã: AB = 2 Ph¬ng tr×nh AB: x - y - 5 = 0 => CH = d(C, AB) = a b 5 2 − − do ®ã: (1) <=> a b 5 3 1 . . 2 a b 5 3 2 2 2 − − = ⇔ − − = . <=> a b 8 a b 2 − = − = 0,5 • To¹ ®é G( a 5 b 5 ; 3 3 + − ) Ta cã: G ∈ ∆ <=> 3(a 5) b 5 8 0 3 3 + − − − = <=> 3a - b = 4 0,5 TH 1 : a b 8 a 2 3a b 4 b 10 − = = − ⇔ − = = − => C(-2; -10) 0,5 Chu vi tam gi¸c: 2p = AB + BC + CA = 2 65 89+ + => r = 2S 3 2p 2 65 89 = + + . 0,5 TH 2 : a b 2 a 1 3a b 4 b 1 − = = ⇔ − = = − => C(1; -1) 0,5 Chu vi tam gi¸c: 2p = AB + BC + CA = 2 5 2+ => r = 3 2 5 2+ . 0,5 b. Ta cã t©m I(1; 2), b¸n kÝnh R = 1. d(I, ∆) = 2 2 1 2 1 2 R 1 ( 1) − − = > + − => ∆ n»m ngoµi (C) => tõ M ∈ ∆ lu«n kÎ ®îc hai tiÕp tuyÕn víi (C). 0,5 Do M ∈ ∆ nªn M(m + 1; m) => trung ®iÓm cña IM lµ K( m 2 m 2 ; 2 2 + + ) §êng th¼ng T 1 T 2 lµ trôc ®¼ng ph¬ng cña ®êng trßn (C) vµ ®êng trßn (C) ®êng kÝnh MI. 0,5 Trang / 5 I M T 2 T 1 5 Ph¬ng tr×nh ®êng trßn (C) lµ: (x - 2 2 2 2 m 2 m 2 m (m 2) ) (y ) 2 2 4 + + + − + − = <=> x 2 + y 2 - (m + 2)x - (m + 2)y + 3m + 1 = 0 0,5 => ph¬ng tr×nh ®êng th¼ng T 1 T 2 lµ: mx + (m - 2) y - 3m + 3 = 0 0,5 Gäi A(x 0 ; y 0 ) lµ ®iÓm cè ®Þnh mµ T 1 T 2 lu«n ®i qua. Ta cã: mx 0 + (m - 2) y 0 - 3m + 3 = 0 ∀m ∈ R. <=> 0 0 0 0 0 3 x x y 3 0 2 2y 3 0 3 y 2 = + − = <=> − + = = => ®êng th¼ng T 1 T 2 lu«n ®i qua mét ®iÓm cè ®Þnh A( 3 3 ; 2 2 ) 0,5 Trang / 56 . Sở Gd&Đt Nghệ an Kỳ thi chọn học sinh giỏi Tỉnh Năm học 2007 - 2008 Môn thi: Toán lớp 12 THPT - bảng B Thời gian: 180. SBD: Trang / 51 Đề chính thức Sở Gd&Đt Nghệ an Kỳ thi chọn học sinh giỏi tỉnh Năm học 2007 - 2008 hớng dẫn và biểu điểm Chấm đề chính thức (Hớng dẫn