Đề thi-Đáp án học sinh giỏi Bình Thuận09

Sở Giáo dục & Đào tạo Kỳ thi chọn HSG truyền thống 19/4 Bình Thuận Năm học 2008-2009 Môn: Toán lớp 9 Thời gian làm bài: 150 phút Bài 1: (4 điểm) Cho A = 2 332 x12 )x1()x1(.x11 −−       −++−− 1. Rút gọn A 2. Tìm x biết A ≥ 2 1 Bài 2: (4 điểm) 1. Giải hệ phương trình:      += += += )xz(8zx7 )zy(6yz5 )yx(4xy3 2. Giải phương trình: x 4 + 9 = 5x(3 – x 2 ) Bài 3: (4 điểm) 1. Cho a, b > 0. Chứng minh rằng: ab 2 ba ≥ + 2. Chia 10 số: 2; 3; 4; 5; 7; 8; 9; 10; 12; 14 làm thành hai nhóm rồi lấy tích các số trong mỗi nhóm. Gọi M là tổng của hai tích số đó. Tìm giá trị nhỏ nhất của M và chỉ ra ít nhất 4 cách chia sao cho M nhỏ nhất. Bài 4: (5 điểm) Cho nửa đường tròn (O) đường kính AB. Gọi Ax, By là các tiếp tuyến tại A và B của (O). Tiếp tuyến tại điểm M tuỳ ý của (O) cắt Ax và By lần lượt tại C và D. 1. Chứng minh AB là tiếp tuyến của đường tròn ngoại tiếp ∆OCD. 2. Cho AB = 8cm. Tìm vị trí của C để chu vi tứ giác ABDC bằng 28cm, khi đó tính phần diện tích của tứ giác nằm ngoài (O). Bài 5: (3 điểm) Tìm tất cả các tam giác vuông có số đo các cạnh là số nguyên và hai lần số đo diện tích bằng ba lần số đo chu vi. ---------------------- HẾT------------------------- HƯỚNG DẪN Bài 1: (4 điểm) 1. A xác định khi: –1 ≤ x ≤ 1 A = ( ) ( ) 2 2 2 x12 x12x1x1. 2 x1x1 −−             −−−++ +−− = ( ) 2 x1x1.x1x1 −+++−− =      ≤≤−− ≤≤ 0x1khix2 1x0khix2 2. A ≥ 2 1 Khi 0 ≤ x ≤ 1 thì 2 1 x2 ≥ ⇔ 22 1 x ≥ Khi –1 ≤ x ≤ 0 thì 2 1 x2 ≥− ⇔ 22 1 x −≤ Vậy A ≥ 2 1 ⇔ 22 1 x1 −≤≤− hoặc 1x 22 1 ≤≤ Bài 2: (4 điểm) 1. Nhận xét: x = y = z = 0 là 1 nghiệm của hệ Nếu x ≠ 0 thì y và z ≠ 0, khi đó chia các vế của từng phương trình cho xy; yz; zx, ta được:      += += += )xz(8zx7 )zy(6yz5 )yx(4xy3 ⇔          += += += x 1 z 1 8 7 z 1 y 1 6 5 y 1 x 1 4 3 ⇔              ++= += += += z 1 y 1 x 1 48 59 x 1 z 1 8 7 z 1 y 1 6 5 y 1 x 1 4 3 ⇔          = = = z 1 48 23 y 1 48 17 x 1 48 19 ⇔          = = = 23 48 z 17 48 y 19 48 x 2. Vì x = 0 không phải là nghiệm của nên chia 2 vế của phương trình cho x 2 , ta được: x 4 + 9 = 5x(3 – x 2 ) ⇔ 06 x 3 x5 x 3 x 2 =+       −+       − ⇔       −=− −=− 3 x 3 x 2 x 3 x ⇔     =−+ =−+ 03x3x 03x2x 2 2 ⇔        ±− = −= = 2 213 x 3x 1x (có thể dùng PP nhẩm nghiệm để đưa về phương trình tích) Bài 3: (4 điểm) 1. a, b > 0, ta có: ( ) 0ab2baba 2 ≥−+=− ⇔ ab 2 ba ≥ + 2. Gọi a và b là các tích số trong từng nhóm thì: ab = 2.3.4.5.7.8.9.10.12.14 = 2 10 .3 4 .5 2 .7 2 M = a + b ≥ 2 ab = 2.2 5 .3 2 .5.7 = 20160 Min M = 20160 ⇔ a = b = 10080 Và có ít nhất 4 cách chia như sau: Nhóm 1 Nhóm 2 2; 7; 8; 9; 10 3; 4; 5; 12; 14 8; 9; 10; 14 2; 3; 4; 5; 7; 12 2; 4; 9; 10; 14 3; 5; 7; 8; 12 2; 3; 10; 12; 14 4; 5; 7; 8; 9 Bài 4: (5 điểm) 1. ∆OCD vuông tại O (OC và OD là phân giác 2 góc kề bù) I là trung điểm của CD thì IO = IC = ID và IO ⊥ AB tại O Nên AB là tiếp tuyến của đường tròn ngoại tiếp ∆OCD 2. Đặt AC = x (cm) và BD = y (cm) C ABDC = AB + 2(AC + BD) ⇒ x + y = 10 Mặt khác : OM 2 = MC.MD ⇒ xy = 16 Giải hệ:    = =+ 16xy 10yx ta được    = = ∨    = = 2y 8x 8y 2x Vậy C cách A 1 đoạn AC = 2cm và BD = 8cm hoặc AC = 8cm và BD = 2cm Cả 2 trường hợp trên hình thang vuông ABDC có cùng diện tích: S 1 = 40 (cm 2 ) Diện tích nửa hình tròn (O): S 2 = 8π (cm 2 ) Vậy phần diện tích tứ giác ABDC nằm ngoài đường tròn: S = S 1 – S 2 = 40 – 8π (cm 2 ) Bài 5: (3 điểm) Gọi a, b, c lần lượt là cạnh huyền và 2 cạnh góc vuông của ∆ vuông. Khi đó: a, b, c ∈ N và a ≥ 5; b, c ≥ 3 Ta có hệ phương trình:      ++= += )2()cba(3bc )1(cba 222 (1): a 2 = b 2 + c 2 = (b + c) 2 – 2bc = (b + c) 2 – 6(a + b + c) ⇔ a 2 + 6a + 9 = (b + c) 2 – 6(b + c) + 9 ⇔ (a + 3) 2 = (b + c – 3) 2 ⇔ a + 3 = b + c – 3 ⇔ a = b + c – 6 (2): bc = 3(b + c – 6 + b + c) = 3(2b + 2c – 6) ⇔ (b – 6)(c – 6) = 18 Nên ta có các trường hợp sau: 1. b – 6 = 1 và c – 6 = 18 thì b = 7; c = 24 và a = 25 2. b – 6 = 2 và c – 6 = 9 thì b = 8; c = 15 và a = 17 3. b – 6 = 3 và c – 6 = 6 thì b = 9; c = 12 và a = 15 ---------------------------------------------- . Giáo dục & Đào tạo Kỳ thi chọn HSG truyền thống 19/4 Bình Thuận Năm học 2008-2009 Môn: Toán lớp 9 Thời gian làm bài: 150 phút Bài 1: (4 điểm) Cho A