ĐỀ +ĐÁP ÁN HỌC SINH GIỎI TOÁN 9

phòng giáo dục - đào tạo huyện trực ninh đề chính thức Đề thi chọn học sinh giỏi huyện Năm học 2009 - 2010 Môn: Toán - lớp 9 Ngày thi: 08 tháng 12 năm 2009 Thời gian làm bài 120 phút không kể thời gian giao đề Đề thi có 01 trang Bài 1: (4,0 điểm) Cho biểu thức 1 1 2x x 1 2x x x x A : 1 x 1 x x 1 x x + + = + ữ ữ + Với > 1 x 0; x ; x 1 4 a) Rút gọn biểu thức A. b) Tính giá trị của A khi x 17 12 2= c) So sánh A với A . Bài 2: (3,5 điểm) Chứng minh rằng: a) ( ) ( ) 1 2 a b 2 b c b < < Biết a; b; c là 3 số thực thỏa mãn điều kiện: a = b + 1 = c + 2 ; c >0. b) Biểu thức 2 2 2 2008 2008 B 1 2008 2009 2009 = + + + có giá trị là một số tự nhiên. Bài 3: (3,0 điểm) Giải phơng trình a) 2 2 x 3x 2 x 3 x 2 x 2x 3 + + + = + + b) x 3 4x 1 3x 2 5 + + = . Bài 4.(8,0 điểm) Cho AB là đờng kính của đờng tròn (O;R). C là một điểm thay đổi trên đờng tròn (C khác A và B), kẻ CH vuông góc với AB tại H. Gọi I là trung điểm của AC, OI cắt tiếp tuyến tại A của đờng tròn (O;R) tại M, MB cắt CH tại K. a) Chứng minh 4 điểm C, H, O, I cùng thuộc một đờng tròn. b) Chứng minh MC là tiếp tuyến của (O;R). c) Chứng minh K là trung điểm của CH. d) Xác định vị trí của C để chu vi tam giác ACB đạt giá trị lớn nhất? Tìm giá trị lớn nhất đó theo R. Bài 5: (1,5 điểm) Cho ( ) ( ) 2008 2008 M 3 2 3 2 = + + a) Chứng minh rằng M có giá trị nguyên. b) Tìm chữ số tận cùng của M. Chú ý: Thí sinh không đợc sử dụng máy tính. ----- Hết ----- Họ tên thí sinh: . Số báo danh : Chữ ký giám thị 1: . Chữ ký giám thị 2: . hớng dẫn chấm thi học sinh giỏi cấp huyện năm học 2009-2010 môn toán lớp 9 Bài 1 (4 điểm) a) Rút gọn biểu thức (2 điểm) 1 1 2x x 1 2x x x x 1 A : x 0;x ;x 1 1 x 4 1 x x 1 x x + + = + > ữ ữ ữ ữ + ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) + + + = + + + + x 2x x 1 x 1 x 2x 2 x x 1 : x 1 x 1 x 1 x 1 x 1 x x ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) + + = + + + + x 1 2 x 1 x x 1 2 x 1 2 x 1 : x x 1 1 x 1 x 1 x 1 x x ( ) ( ) 2 x 1 1 x : 2 x 1 1 x 1 x x x x 1 = + ữ ữ + ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 1 x x x 1 x 2 x 1 : 2 x 1 : x x 1 1 x 1 x x + + = + ( ) ( ) ( ) 1 1 1 x x : x x x 1 1 x 1 x x + = = + 0.5 0.5 0.25 0.25 0.5 b) Tính giá trị của A khi x 17 12 2= (1 điểm). Tính ( ) ( ) 2 2 x 17 12 2 3 2 2 x 3 2 2 3 2 2 3 2 2= = = = = ( ) ( ) 1 3 2 2 17 12 2 5 3 2 2 15 10 2 A 5 3 2 2 3 2 2 3 2 2 + = = = = 0.5 0.5 c) So sánh A với A (1 điểm). Biến đổi 1 x x 1 A x 1 x x + = = + Chứng minh đợc 1 x 2 x + > với mọi 1 x 0;x ;x 1 4 > ( ) 1 A x 1 1 A 1 A 1 0 A A 1 0 x A A 0 A A = + > > > > > > 0.25 0.25 0.5 Bài 2 (3 điểm) a) Chứng minh rằng ( ) ( ) 1 2 a b 2 b c b < < biết a; b; c là ba số thực thoả mãn điều kiện a = b + 1 = c + 2 ; c > 0 (2 điểm). Ta có: ( ) a b 1 a b 1 a b 1= + = > . ( ) b 1 c 2 b c 1 b c 0 2+ = + = > > . (c > 0 theo (gt)) Từ (1) và (2) suy ra a > b > c > 0. Mặt khác ( ) ( ) 1 1 a b 1 a b a b 1 a b a b 2 b = + = = < + (Vì a >b>0) ( ) 1 2 a b b < . Chứng minh tơng tự cho trờng hợp: ( ) 1 2 b c b < . Vậy ( ) ( ) 1 2 a b 2 b c b < < (đpcm). 0.5 0.25 0.25 0.5 0.25 0.25 b) Biểu thức 2 2 2 2008 2008 B 1 2008 2009 2009 = + + + có giá trị là một số tự nhiên (1 điểm). Ta có : ( ) 2 2 2 2 2 2 2008 2008 2008 2008 B 1 2008 1 2008 2.1.2008 2009 2009 2009 2009 = + + + = + + + . ( ) 2 2 2 2 2008 2008 2008 2008 2008 2009 2.2009. 2009 2009 2009 2009 2009 2009 = + + = + ữ . 2008 2008 2008 2008 2009 2009 2009 2009 2009 2009 2009 = + = + = . Vậy B có giá trị là một số tự nhiên. 0.5 0.75 0.25 Bài 3 (3điểm) Giải phơng trình a) 2 2 x 3x 2 x 3 x 2 x 2x 3 + + + = + + (1.75 điểm) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) x 1 x 2 x 3 x 2 x 1 x 3 1 + + = + + Điều kiện ( ) ( ) ( ) ( ) x 1 x 2 0 x 3 0 x 2 x 2 0 x 1 x 3 0 + + ( ) ( ) ( ) 1 x 2 x 1 1 x 3 x 1 1 0 + = ( ) ( ) x 1 1 0 x 1 1 x 1 1 x 2 x 3 0 x 2 x 2 x 3 0 x 2 x 3 = = + = = + = = x = 2 thoả mãn điều kiện xác định. Vậy phơng trình có nghiệm duy nhất x = 2. 0.5 0.25 0.25 0.5 0.25 b) x 3 4x 1 3x 2 5 + + = (1). (1.25 điểm). Điều kiện 2 x 3 . ( ) ( ) ( ) 4x 1 3x 2 . 4x 1 3x 2 x 3 4x 1 3x 2 x 3 1 5 5 4x 1 3x 2 4x 1 3x 2 + + + + + + + = = + + + + 4x 1 3x 2 x 3 x 3 x 3 4x 1 3x 2 5 5 5 4x 1 3x 2 4x 1 3x 2 + + + + + = = + + = + + + + (2) (Vì 2 x 3 nên x + 3 > 0). Giải tiếp phơng trình (2) ta đợc nghiệm của phơng trình là x = 2. 0.25 0.25 0.25 0.5 Bài 4 (8 điểm) 1) Chứng minh 4 điểm C, H, O, I cùng thuộc một đờng tròn. (2 điểm) Chứng minh OI AC. Suy ra OIC vuông tại I suy ra I thuộc đờng tròn đờng kính OC. CH AB (gt) CHO vuông tại H H thuộc đờng tròn đờng kính OC. Suy ra I, H cùng thuộc đờng tròn đờng kính OC. hay C, I, O, H cùng thuộc một đờng tròn. 0.75 0.25 0.75 0.25 2) Chứng minh MC là tiếp tuyến của đờng tròn (O; R). (2 điểm) - Chứng minh ã ã =AOM COM . - Chứng minh AOM = COM - Chứng minh MC CO MC là tiếp tuyến của (O; R). 0.75 0.75 0.25 0.25 3) Chứng minh K là trung điểm của CH. ( 2 điểm) MAB có KH//MA (cùng AB) KH HB AM.HB AM.HB KH AM AB AB 2R = = = (1) Chứng minh cho CB // MO ã ã AOM CBH= (đồng vị). C/m MAO đồng dạng với CHB MA AO AM.HB AM.HB CH CH HB AO R = = = (2) Từ (1) và (2) suy ra CH = 2 KH CK = KH K là trung điểm của CH. 1 0.75 0.25 4) Xác định vị trí của C để chu vi ACB đạt giá trị lớn nhất? Tìm giá trị lớn nhất đó. K M I C O H B A Chu vi tam giác ACB là ACB P AB AC CB 2R AC CB= + + = + + Ta lại có ( ) 2 2 2 2 2 2 2 AC CB 0 AC CB 2AC.CB 2AC 2CB AC CB 2AC.CB + + + + ( ) ( ) ( ) 2 2 2 2 2 2 2 AC CB AC CB AC CB 2 AC CB AC CB 2AB+ + + + + (Pitago) 2 AC CB 2.4R AC CB 2R 2+ + . Đẳng thức xảy ra khi AC = CB M là điểm chính giữa cung AB. Suy ra ( ) ACB P 2R 2R 2 2R 1 2 + = + , dấu "=" xảy ra khi M là điểm chính giữa cung AB Vậy max ( ) ACB P 2R 1 2= + đạt đợc khi M là điểm chính giữa cung AB. 0.5 0.75 0.25 0.25 0.25 Bài 5 (1,5 điểm) a) Chứng minh giá trị của M là một số nguyên. (1 điểm) Biến đổi ( ) ( ) 1004 1004 M 5 2 6 5 2 6= + + . Đặt a 5 2 6= + ; b 5 2 6= a b 10 + = và a.b 1= . Đặt n n n U a b= + với n N . Khi đó M = U 1004 Ta có ( ) ( ) n 2 n 2 n 1 n 1 n 1 n 1 n 2 U a b a.a b.b 10 b a 10 a b + + + + + + + = + = + = + ( ) ( ) n 1 n 1 n n n 1 n 10 a b ab a b 10U U + + + = + + = (vì ab = 1). n 2 n 1 n U 10U U + + = (*). Ta thấy U 0 = 2 Z ; U 1 = a + b = 10 Z. ( ) 2 2 2 2 2 U a b a b 2ab 10 2.1 98 Z= + = + = = . Theo công thức (*) thì 3 2 1 U 10U U= mà U 1 , U 2 Z suy ra 3 U Z . Lại theo (*) 4 3 2 U 10U U= cũng có giá trị nguyên. Quá trình trên lặp đi lặp lại vô hạn suy ra U n có giá trị nguyên với mọi n * N . Suy ra M = U 1004 có giá trị là một số nguyên. 0.25 0.25 0.25 0.25 a)Tìm chữ số tận cùng của M. (0.5 điểm) Từ (*) suy ra n 2 n n 1 U U 10U 10 + + + = M ( ) ( ) ( ) n 4 n n 4 n 2 n 2 n n 4 n 4 k r U U U U U U 10 U U 10 U + + + + + + = + + M M và U r có chữ số tận cùng giống nhau. 1004 = 4.251 suy ra U 1004 và U 0 có chữ số tận cùng giống nhau. Mà U 0 có chữ số tận cùng là 2 (theo c/m câu a) nên M có chữ số tận cùng bằng 2. 0.25 0.25 Chú ý: 1. Nếu thí sinh làm bài bằng cách khác đúng thì vẫn cho điểm tơng đơng. 2. Điểm toàn bài không đợc làm tròn. . 2008 2008 2008 20 09 2.20 09. 20 09 20 09 20 09 20 09 20 09 20 09 = + + = + ữ . 2008 2008 2008 2008 20 09 20 09 20 09 20 09 20 09 20 09 20 09 = + = + = . Vậy. tạo huyện trực ninh đề chính thức Đề thi chọn học sinh giỏi huyện Năm học 20 09 - 2010 Môn: Toán - lớp 9 Ngày thi: 08 tháng 12 năm 20 09 Thời gian làm bài