a Chứng minh: OA vuông góc với MN.. GọI E là trung điểm của HK.. Chứng minh rằng: E là tâm của đường tròn ngoại tiếp tam giác BMN.. Xác định vị trí của điểm A để bán kính của đường tròn
Trang 1ĐỀ THI HỌC SINH GIỎI NĂM HỌC 2006-2007 ( ĐỀ DỰ KIẾN ).
MÔN : TOÁN 9
-Thời gian: 150 phút ( không kể thời gian giao đề )
Bài 1:( 5 điểm )
27
125 9 3 27
125 9
( không dùng máy tính )
2 ( 3 điểm ) Giải phương trình
(x 4 )(x 5 )(x 8 )(x 10 ) 72x2
Bài 2:( 3 điểm )
Tìm các số nguyên không âm x, y, z , t thõa mãn :
1 3 6 3
36 4
3 2
2 2 2
2 2 2 2
t y x
t z y x
để biểu thức M x2 y2 z2 t2 đạt giá trị nhỏ nhất
Bài 3: ( 3 điểm )
Tìm giá trị lớn nhất của k để phương trình sau có đúng hai nghiệm phân biệt:
3 ( 1 ) 1 0
k x
x (1)
Bài 4: ( 4 điểm )
Cho ∆ABC có góc ABC = 300 , góc ACB = 200.Đường trung trực của AC
cắt BC ở E và cắt tia BA ở D Chứng minh rằng :
a) Tam giác ADE cân
b) AC = BE
Bài 5: ( 5 điểm )
Cho đường tròn tâm O đường kính BC, A là một điểm trên đường tròn H là hình chiếu của A trên BC Vẽ đường tròn ( I ) có đường kính AH, cắt AB, AC lần lượt ở M và N
a) Chứng minh: OA vuông góc với MN
b) Vẽ đường kính AOK của đường tròn ( O ) GọI E là trung điểm của HK Chứng minh rằng: E là tâm của đường tròn ngoại tiếp tam giác BMN
c) Cho BC cố định Xác định vị trí của điểm A để bán kính của đường tròn ngoại tiếp tam giác BMN lớn nhất
============================= hết ========================
ĐÁP ÁN VÀ BIỂU ĐIỂM
Bài 1:( 5 điểm )
1 ( 2 điểm )
Trang 2Biến đổi a và rút gọn đi đến phương trình :
0 6 5
3
a
Hay ( 1 )( 2 6 ) 0
0 6
0 1
)
1
a a
a
2 ( 3 điểm )
Phương trình đã cho (x 4 )(x 10 )(x 5 )(x 8 ) 72x2
(x2 14x 40 )(x2 13x 40 ) 72x2 (1) 0.5 đ
Vì x = 0 không phải là nghiệm của pt , chia cả hai vế của (1) cho x2 ta được:
( 14 40)( 13 40) 72
x
x x
0.5 đ
Đặt
x x
2
27
khi đó phương trình (2) trở thành ) 72
2
1 )(
2
1
Thay y = 8,5 vào (3) và thu gọn ta được
x2 – 5x + 40 = 0 Vô nghiệm 0.5 đ
Thay y = - 8,5 vào (3) và thu gọn ta được
x2 – 22x + 40 = 0 Có 2 nghiệm x1 = 2, x2 = 20 0.5 đ
Bài 2:( 3 điểm ).
6 2 2
36 4 3 2 1
3 6 3
36 4 3 2
2 2 2
2 2 2 2 2
2 2
2 2 2 2
t y x
t z y x t
y x
t z y x
0.5 đ
42 42
) (
3
42 2 3 3 3
2 2
2 2 2
2 2 2 2
t t
z y x
t z y x
0.5 đ
Khi t = 0 ta có:
12 2 4
36 3 2 6
2
36 3 2
2 2 2 2 2 2
2 2 2 2
y x z y x y
x z y x
8 ) )(
( 24 3
3 2 2
Do x,z nguyên không âm nên : z + x > z – x và (z + x ) + ( z – x ) = 2z chẵn (2)
Từ (1) & (2) : (z + x ) và ( z – x ) cùng chẵn
1 3 2
4
x z x
z
x
z
0 2 14
t z y
0.5 đ
Bài 3: ( 3 điểm )
0 1 1 0
1 0 1 0 ) 1 )(
1
k x x x k x x x k
x
x
Phương trình (1) có đúng hai nghiệm phân biệt khi :
a) Phương trình (2) có nghiệm kép khác – 1
= (-1)2 – 4 ( 1 – k) = 0 giải pt được
4
3
2
1
b) Phương trình (2) có 2 nghiệm phân biệt, trong đó có một nghiệm bằng – 1
3 3 0 1 (
1 2
k k k
Trang 3
Bài 4: ( 4 điểm )
a) Chứng minh: ∆ADE cân tạI D
Vì DE là trung trực của AC và ACB = 200 nên:
lạI có :DAC = ABC + ACB = 500
Từ đó : DAE = DAC + CAE = DAC + ABC = 700 (2) 0.5 đ
b)Chứng minh: AC = BE
Trên nữa mp bờ BC không chứa điểm A, kẻ tia CF cắt tia DE kéo dài tạI F
( vì AF = CF và ACF = 200 + 400 = 600 )
Chứng minh được : ∆ABE = ∆EFC ( g-c-g ) BE = CF (4) 0.5 đ ( vì BAE =CEF = 1100 , AE = EC , AEB =ECF = 400 )
Bài 5: ( 5 điểm )
a) Chứng minh: OA MN
Chứng minh được : AMN = MAH =
lại có AMN + ANM = 900
nên NAO + ANM = 900
0.5 đ
Vậy OA MN ( đpcm)
0.5 đ b)Dễ dàng chứng minh được tứ giác BMNC nội tiếp 0.5 đ
EI là đường trung bình của ∆AHK nên EI // AK.
từ đó suy ra EI là trung trực của MN
mặt khác OE là trung trực của BC
nên E là tâm đường tròn ngoại tiếp Tứ giác BMNC 0.5 đ
Vậy E là tâm đường tròn ngoại ∆BMN ( đpcm ) 0.5 đ
b) Bán kính của đường tròn ngoại tiếp tam giác BMN lớn nhất
Khi đó OA vuông góc với BC và A là điểm chính giữa của cung BC 0.5 đ
Trang 4HƯỚNG DẪN CHẤM
Học sinh có thể giảI theo cách khác vớI đáp án nhưng nếu đúng, trình bày rõ ràng ,mạch lạc, lập luận chính xác phù hợp vớI nộI dung chương trình của cấp học thì vẫn được điểm tốI đa của phần đó!