Tài liệu ĐỀ THI + DAP AN HỌC SINH GIỎI TOAN 9

1 a b c d+ + + PHÒNG GD-ĐT HUYỆN LONG ĐIỀN KỲ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI CẤP HUYỆN ------------------------------------------------ NĂM HỌC 2009-2010 ------------------------- MÔN THI : TOÁN Thời gian : 150 phút ( Không kể thời gian giao đề) Ngày thi: 16/01/2010 Bài 1(4đ) a) Tính tổng: b) Cho a, b, c, d là các số dương và a c b d = . Hãy trục căn thức ở mẫu của biểu thức sau: Bài 2: (4đ) a) (2đ) Biết rằng a,b là các số thoả mãn a > b > 0 và a.b = 1 Chứng minh : 2 2 2 2 a b a b + ≥ − b) (2đ) Tìm tất cả các số tự nhiên abc có 3 chữ số sao cho : ( ) 2 2 1 2 abc n cba n  = −   = −   với n là số nguyên lớn hơn 2 Bài 3: (4đ) a) (2đ) Phân tích thành nhân tử: M = 1xxx1x7 23 −+−−− với 1x ≥ b) (2đ) Giải phương trình 83xx326x 3 2 =++++ Bài 4: (2.đ) Cho đường thẳng (d) có phương trình: ( 2) ( 3) 8x m m y m+ + − = − a) (0,5đ) Xác định m để đường thẳng (d) đi qua điểm P(-1;1). b) (1,5đ) Chứng minh rằng khi m thay đổi thì đường thẳng (d) luôn luôn đi qua một điểm cố định. Bài 5: (2 đ) Cho ∆ ABC đều điểm M nằm trong ∆ ABC sao cho AM 2 = BM 2 + CM 2 . Tính số đo góc BMC ? Bài 6 : (4,0 đ ) Cho nửa đường tròn đường kính BC=2R, tâm O cố định. Điểm A di động trện nửa đường tròn. Gọi H là hình chiếu của điểm A lên BC. Gọi Dvà E lần lượt là hình chiếu của H lên AC và AB. a) Chứng minh: AB . EB + AC . EH = AB 2 b) Xác định vị trí điểm A sao cho tứ giác AEHD có diện tích lớn nhất? Tính diện tích lớn nhất đó theo R. ----HẾT---- 1 2 2 2 2 . 15 35 63 399 P = + + + + ĐỀ CHÍNH THỨC a d b c a d b c + − − = + − − ĐÁP ÁN Bài 1(4đ, mỗi bài 2 điểm) a) 2 2 2 2 . 15 35 63 399 P = + + + + 2 2 2 2 . 3.5 5.7 7.9 19.21 = + + + + 1 1 1 1 1 1 1 1 . 3 5 5 7 7 9 19 21 = − + − + − + + − 1 1 3 21 = − 2 7 = b) (0,5 điểm). (0,5 điểm). (0,5 điểm) . 2 2 a c do ad bc ad bc b d   = ⇒ = ⇒ =  ÷   (0.5 điểm) Bài 2: ( 2 điểm ) * Vì a.b = 1 nên ( ) ( ) ( ) 2 2 2 2 2 2 2 a b ab a b a b a b a b a b a b a b − + − + + = = = − + − − − − ( 1 đ ) * Do a > b > 0 nên áp dụng BĐT Cô Si cho 2 số dương Ta có : ( ) ( ) 2 2 2a b a b a b a b − + ≥ − × − − Vậy 2 2 2 2 a b a b + ≥ − ( 1đ ) 1) ( 2 đđiểm ) Viết được 2 2 100 10 1 100 10 4 4 abc a b c n cba c b a n n  = + + = −   = + + = − +   Từ (1) và (2) ta có 99 ( a –c ) = 4n – 5 => 4n – 5 M 99 (3) ( 0,75 đ ) Mặt khác : 100 2 2 1 999 101 1000 11 31n n n≤ − ≤ ⇔ ≤ ≤ ⇔ ≤ ≤ 39 4 5 119n⇔ ≤ − ≤ (4) ( 0,75đđ ) 2 (0,5 điểm) (0,75 điểm) (0,5 điểm) (0,25 điểm) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) a d b c a d b c a d b c + − + =     + + + + − +     1 ( ) ( )a d b c = + + + 2 ( 2 ) a d b c a d ad b c bc + − − = + + − + + 2 2 a d b c a d ad b c bc + − − = + + − − − 1 a b c d + + + Từ (3) và (4) => 4n – 5 = 99 => n = 26 Vậy số cần tìm 675abc = ( 0,5 đ ) Bài 3( 4đ) a) (2 điểm) M = 1xxx1x7 23 −+−−− với 1x ≥ )1xx7(1x −+−−= (0,25đ) ) 4 25 4 1 1x1x(1x −+−−−−−= (0,5đ)         −       −−−−= 4 25 2 1 1x1x 2 (0,5đ) ( )( ) 21x31x1x +−−−−−= (0,5đ) ( )( ) 21x1x31x +−−−−= (0,25đ) b) (2đ) Giải phương trình 83xx326x 3 2 =++++ (1) Ta nhận thấy x = 1 là nghiệm của PT (1) (0,75đ) Với 1x0 <≤ thì: 831132613xx326x 3 23 2 =++++<++++ Nên PT vô nghiệm với 1x0 <≤ (0,5đ) Với x >1 Thì: 831132613xx326x 3 23 2 =++++>++++ Nên PT vô nghiệm với x >1 (0,5đ) Vậy PT (1) có nghiệm duy nhất x = 1 (0,25đ) Bài 4: (2 điểm) a) Vì đường thẳng (d) đi qua P(-1;1) nên ( 2).( 1) ( 3).1 8 5 8 3.m m m m m+ − + − = − ⇔ − = − ⇒ = (0,5 điểm) b) Gọi ( ) 0 0 ;x y là tọa độ điểm cố định mà (d) đi qua Ta có: 0 0 ( 2) ( 3) 8m x m y m m+ + − = − ∀ . (0,5đ) ( ) 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 ( 1) 2 3 8 0 . 1 0 1 2 3 8 0 2 x y m x y m x y x x y y ⇔ + − + − + = ∀ + − = = −   ⇒ ⇔   − + = =   Vậy điểm cố định mà (d) đi qua là (-1;2) (1đ) Bài 5: Vẽ tam giác đều CMN (1 điểm) mà 2 2 2 AM BM CM= + 2 2 2 BN BM MN⇔ = + BMN⇔ ∆ vuông tại M. · · · 0 0 0 90 60 150BMC BMN NMC⇒ = + = + = . (1 điểm) Bài 6: (4,0 đ) a) Chứng minh: AB . EB + AC . EH = AB 2 Chứng minh tứ giác ADHE là hình chữ nhật (1,0 đ) 3 BCN ACM BN AM ⇒ ∆ = ∆ ⇒ = AB . EB = HB 2 AC . EH = AC . AD = AH 2 => ĐPCM (1 điểm) b) S (ADHE )= AD.AE ≤ 2 2 2 2 2 2 2 AD AE DE AH+ = = (0,75 đ) ⇒ S (ADHE) ≤ 2 2 2 2 2 2 AH AO R ≤ = (0,75 đ) Vậy Max S (ADHE )= 2 2 R Khi AD = AE Hay A là điểm chính giữa của cung AB (0,5 đ) 4 O B C A H D E . b c + − + =     + + + + − +     1 ( ) ( )a d b c = + + + 2 ( 2 ) a d b c a d ad b c bc + − − = + + − + + 2 2 a d b c a d ad b c bc + − − = + + −. 831132613xx326x 3 23 2 =++ ++ & lt ;++ ++ Nên PT vô nghiệm với 1x0 <≤ (0,5đ) Với x >1 Thi : 831132613xx326x 3 23 2 =++ ++ & gt ;++ ++ Nên PT vô nghiệm với