Đề thi( và đáp án) học sinh giỏi Toán 9

Phòng giáo dục đào tạo huyện Đề thi học sinh giỏi huyện Trực ninh Năm học 2007-2008 * * * * * * * Môn Toán lớp 9 Thời gian làm bài 120 phút ( không kể thời gian giao đề ) Bài 1 (5 điểm) Cho biểu thức : 3 3 3 1 2 2 2 1 x x x x A x x x x + + = + + + , (với 0; 1x x ) a) Rút gọn biểu thức A. b) Tìm các giá trị của x để 0A A+ = Bài 2 (3 điểm) Giải phơng trình : 4 1 5 2x x x x x x + = + Bài 3 (4 điểm) Cho phơng trình : ( ) ( ) ( ) 2 2 x m 2 x m 3m 4 0 m là tham số 1 + = a) Chứng minh phơng trình (1) có hai nghiệm phân biệt với mọi giá trị của m. b) Tìm m để tí số giữa hai nghiệm của phơng trình có giá trị tuyệt đối bằng 2 . Bài 4 (8 điểm) Cho tam giác ABC nội tiếp đờng tròn (O), AB < AC . Gọi M là một điểm di động trên cạnh BC .Vẽ đờng tròn (P) đi qua B và M , và tiếp xúc với AB . Vẽ đ- ờng tròn (Q) đi qua C và M , và tiếp xúc với AC . Hai đờng tròn (P) và (Q) cắt nhau tại một điiểm thứ hai là N . a) Chứng minh rằng điểm N thuộc Đờng tròn (O) b) Chứng minh rằng hai đờng thẳng BP và CQ cắt nhau tại một điểm D cố định. c) Xác định vị trí của điểm M để tam giác NBC có diện tích lớn nhất . === Hết === Đáp án chấm học sinh giỏi môn Toán 9 Năm học 2007 - 2008 ================== Bài 1 ( 5 điểm) Cho biểu thức : 3 3 3 1 2 2 2 1 x x x x A x x x x + + = + + + , (với 0; 1x x ) c) Rút gọn biểu thức A. d) Tìm các giá trị của x để 0A A+ = Đáp án : Xét với 0; 1x x a) (3 điểm) Xét với 0; 1x x , ta có ( ) ( ) ( ) ( ) 2 2 2 2 2 2 1x x x x x x x x x x + = + = + + = + nên 3 3 3 1 2 2 2 1 x x x x A x x x x + + = + + + 3 3 3 1 2 ( 2)( 1) 2 1 x x x x x x x x + + = + + ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 3 3 3 ( 1) 1 2 2 ( 2)( 1) 3 3 3 1 4 ( 2)( 1) 3 3 3 1 4 ( 2)( 1) 3 2 ( 2)( 1) x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x + + + = + + = + + + + = + + + = + mà x+3 x +2 = x+2 x + x +2= x ( x +2)+( x +2) = ( x +2)( x +1) nên ( ) ( ) ( ) ( ) 2 1 2 1 1 1 x x A x x x A x + + = + + = b)(2 điểm) Với 0; 1x x , ta có 1 0 0 0 1 + + = = x A A A A A x mà x 0 x 1 0 x 1 nên 0 x 1 0 x 1 x 1 x 1 + > + < < < Kết hợp x<1 với điều kiện x 0, x 1, ta có 0 x 1 < Vậy 0 x 1 < Bài 2 (3 điểm) Giải phơng trình : 4 1 5 2x x x x x x + = + Đáp án: Điều kiện (*) 0 1 0 5 2 0 x x x x x Ta có 4 1 5 4 5 1 2 2x x x x x x x x x x x x + = + = (1) Chứng minh: 2 x - 5 x và x - 1 x không đồng thời bằng không (cho 2 x - 5 x = 0, x - 1 x = 0 , suy ra điều vô lí ) Do đó 5 1 5 1 2 2 4 5 1 2 x x x x x x x x x x x x x x + ữ ữ = + 5 1 2 4 5 1 2 x x x x x x x x x x ữ ữ = + 4 4 5 1 2 x x x x x x x x = + 4 1 1 0 5 1 2 x x x x x x ữ ữ + = ữ ữ + ữ (2 ) (1) mà 2 x - 5 x và x - 1 x không đồng thời bằng không nên: 1 1 0 5 1 2x x x x + > + Do đó (2) 2 2 2 4 0 4 0 4 2 x x x x x x = = = = = Ta thấy: x=2 thoả mãn điều kiện (*) vì 2 0 1 2 0 2 5 2.2 0 2 x = -2 không thoả mãn điều kiện (*) , vì 5 ( 2).2 0 2 < (mâu thuẫn điều kiện thứ ba của (*) ) Vậy phơng trình đã cho có một nghiệm là x=2 Bài 3 (4 điểm) Cho phơng trình : ( ) ( ) ( ) 2 2 x m 2 x m 3m 4 0 m là tham số 1 + = a) Chứng minh phơng trình (1) có hai nghiệm phân biệt với mọi giá trị của m. b) Tìm m để tí số giữa hai nghiệm của phơng trình có giá trị tuyệt đối bằng 2 . Đáp án : a) (2 điểm) Phơng trình (1) là phơng trình bậc hai có tích các hệ số a.c là : 1.( 2 m 3m 4 + ) = - ( 2 3 9 9 m 2m. 4 2 4 4 + + ) = - (m - 3 2 ) 2 - 7 4 Với mọi giá trị của m , ta có (m - 3 2 ) 2 0 - (m - 3 2 ) 2 0 - (m - 3 2 ) 2 - 7 4 < 0 hay a.c < 0 do đó phơng trình (1) có 2 b 4ac = > 0 với mọi m Vậy phơng trình (1) có hai nghiệm phân biệt với mọi giá trị của m . b) (2 điểm) Ta có phơng trình (1) có hai nghiệm phân biệt trái dấu với mọi giá trị của m ( vì có tích các hệ số ac < 0 ) nên tỉ số giữa hai nghiệm của phơng trình có giá trị tuyệt đối bằng 2 thì x 1 = - 2x 2 hoặc x 2 = -2x 1 hay (x 1 + 2x 2 ) ( x 2 + 2x 1 ) = 0 1 2 x .x + 2(x 1 + x 2 ) 2 = 0 (*) Theo hệ thức Vi-ét ta có ( ) ( ) 1 2 2 1 2 x x m 2 2 x .x m 3m 4 3 + = = + Thay (2) và (3) vào (*) ta đợc : m 2 -5m + 4 = 0 Giải phơng trình trên ta tìm đợc m = 1 ; m = - 4 Vậy m = 1 ; m = - 4 Bài 4 (8 điểm) Cho tam giác ABC nội tiếp đờng tròn (O), AB < AC . Gọi M là một điểm di động trên cạnh BC .Vẽ đờng tròn (P) đi qua B và M , và tiếp xúc với AB . Vẽ đ- ờng tròn (Q) đi qua C và M , và tiếp xúc với AC . Hai đờng tròn (P) và (Q)cắt nhau tại một điiểm thứ hai là N . a) Chứng minh rằng điểm N thuộc đờng tròn (O) b) Chứng minh rằng hai đờng thẳng BP và CQ cắt nhau tại một điểm D cố định. c) Xác định vị trí của điểm M để tam giác NBC có diện tích lớn nhất . Đáp án : N M Q P E O D C B A a) (3điểm ) Vì AB và AC lần lợt là hai tiếp tuyến của đờng tròn (P) và (Q) nên ã ã ã ã ABM BNM và ACM CNM= = ( góc nội tiếp và góc tạo bởi tia tiếp tuyến và một dây) Xét tứ giác ABNC có ã ã ã ã ã ã ã ã 0 BAC BNC BAC BNM MNC BAC ABC ACB 180 (tổng ba góc trong ABC) + = + + = + + = nên tứ giác ABNC nội tiếp đờng tròn ( tứ giác có tổng hai góc đối diện bằng 180 0 ) suy ra điểm N thuộc đờng tròn ngoại tiếp ABC hay N thuộc đờng tròn (O) b) ( 2 điểm ) Vì AB và AC lần lợt là hai tiếp tuyến của đờng tròn (P) và (Q) ã ã 0 0 0 nên PB AB ; QC AC (tính chất của tiếp tuyến ) Xét tứ giác ABDC có ABD ACD 90 90 180 + = + = nên tứ giác ABDC nội tiếp đờng tròn đờng kính AD, đờng tròn đờng kính AD đi qua ba điểm A,B,C nên nó chính là đờng tròn (O) suy ra AD là đờng kính của đờng tròn (O) mà điểm A và đờng tròn (O) cố định nên điểm D cố định c) (3 điểm ) Gọi E là giao điểm thứ hai của đờng thẳng MN và đờng tròn (O) ã ã ã ã ã ã Ta có EAC ENC (hai góc nội tiếp cùng chắn cung EC của (O)) hay EAC MNC lại có MNC ACB (góc nội tiếp và góc tạo bởi tia tiếp tuyến và dây cung cùng chắn cun = = = g MC của đường tròn (Q)) ã ã do đó EAC ACB suy ra AE // BC= mà A, B, C cố định và E thuộc đờng tròn (O) nên điểm E cố định Vì NBC có cạnh BC cố định, điểm N di động trên ằ BC không chứa điểm A nên: Diện tích NBC lớn nhất Khoảng cách từ N đến BC lớn nhất ằ ằ NB NC = N là điểm chính giữa của cung BC M là giao điểm của BC và NE (với N là điểm chính giữa của cung BC và E là giao điểm của đờng thẳng đi qua A , song song với BC và đờng tròn tâm O ) Vậy M là giao điểm của BC và NE (với N là điểm chính giữa của cung BC và E là giao điểm của đờng thẳng đi qua A , song song với BC và đờng tròn tâm O ) thì tam giác NBC có diện tích lớn nhất === Hết === . tạo huyện Đề thi học sinh giỏi huyện Trực ninh Năm học 2007-2008 * * * * * * * Môn Toán lớp 9 Thời gian làm bài 120 phút ( không kể thời gian giao đề ) Bài. .Vẽ đờng tròn (P) đi qua B và M , và tiếp xúc với AB . Vẽ đ- ờng tròn (Q) đi qua C và M , và tiếp xúc với AC . Hai đờng tròn (P) và (Q) cắt nhau tại một điiểm