. 2222 d dcba c dcba b dcba a dcba +++ = +++ = +++ = +++ 2005.1980 1 )25.( 1 27.2 1 26.1 1 2005.25 1 )1980.( 1 1982.2 1 1981.1 1 ++ + +++= ++ + +++= mm B nn A Phòng giáo dục và đào tạo Huyện vĩnh lộc đề thi học sinh giỏi - năm học 2012-2013 Môn toán - lớp 7 Thời gian làm bài : 150 phút( không kể thời gian giao đề) Bài 1( 4.0 điểm): a) Cho biểu thức : babaM += 2 . Tính giá trị của M với 5,1=a ; b = - 0,75. b) Xác định dấu của c, biết rằng bca 3 2 trái dấu với 235 3 cba . Bài 2( 4.0 điểm): a) Tìm các số x, y, z biết rằng: 53 ; 43 zyyx == và 2x 3y + z = 6. b) Cho dãy tỉ số bằng nhau : Tính giá trị của biểu thức M, với . cb ad ba dc ad cb dc ba M + + + + + + + + + + + = Bài 3( 3.0 điểm): Cho hàm số y = f(x) = 2 x 2 . a) Hãy tính : f(0) ; f( 2 1 ) b) Chứng minh : f(x 1) = f(1 x) Bài 4( 4.0 điểm): Cho tam giác ABC vuông tại A, đờng trung tuyến AM. Qua A kẻ đờng thẳng d vuông góc với AM. Qua M kẻ các đờng thẳng vuông góc với AB và AC, chúng cắt d theo thứ tự ở D và E. Chứng minh rằng: a) BD // CE. b) DE = BD + CE. Bài 5( 3.0 điểm): Tìm tỉ số của A và B, biết rằng: Trong đó A có 25 số hạng và B có 1980 số hạng. Bài 6( 2.0 điểm): Cho tam giác ABC cân. Trên cạnh đáy BC lấy điểm D sao cho: CD = 2 BD. Chứng minh rằng: DACDAB 2 1 < . Hết Híng dÉn chÊm To¸n l¬p 7 Câu HD chấm Điểm Câu 1 (4,0đ) a.(2.5đ) Ta có: 5,15,1 =⇒= aa hoặc 5,1−=a Với a = 1,5 và b = -0,75 thì babaM −+= 2 = 1,5 + 2.1,5.(- 0,75) = 0 Với a = - 1,5 và b = - 0,75 thì babaM −+= 2 = 2 3 b. (1.5đ) Do bca 3 2 và 235 3 cba− trái dấu nên : 0; 0; 0a b c≠ ≠ ≠ bca 3 2 .( 235 3 cba− ) < 0. 8 4 3 8 4 3 6 0 0a b c a b c⇔ − < ⇔ > 3 0 0c c⇔ > ⇔ > ( vì a 8 b 4 > 0 với mọi 0; 0a b≠ ≠ ) Vậy c > 0 tức là mang dấu dương. 0.5đ 1.0đ 1.0đ 0.5đ 0.5đ 0.25đ 0.25đ Câu 2 (4,0 đ) a( 2.0đ). vì ; 3 4 9 12 3 5 12 20 x y x y y z y z = ⇒ = = ⇒ = 2 3 9 12 20 18 36 20 x y z x y z ⇒ = = ⇒ = = Theo tính chất dãy tỉ số bằng nhau ta có: 3 2 6 203618 32 2036 3 18 2 == +− +− === zyxzyx Suy ra x = 27; y = 36; z = 60. b.(2đ) Từ giả thiết suy ra d dcba c dcba b dcba a dcba d dcba c dcba b dcba a dcba +++ = +++ = +++ = +++ ⇒ − +++ =− +++ =− +++ =− +++ 1 2 1 2 1 2 1 2 * Nếu a + b + c + d = 0 thì a + b = - (c + d); b + c = - (d + a); c + d = - ( a + b); d + a = - ( b + c) Khi đó M = (- 1) + (- 1) +(- 1) +(- 1) = - 4 * Nếu a + b + c + d ≠ 0 thì dcba 1111 === nên a = b = c = d Khi đó M = 1 + 1 + 1 +1 = 4 0.5đ 0.5đ 0.5đ 0.5đ 0.25đ 0.25đ 0.25đ 0.5đ 0.25đ 0.5đ d H D B M C E A Câu 3. (3,0 đ) a.(2.0đ) f(0) = 2 – 0 2 = 2; f( 2 1 − ) = 2 – 2 ) 2 1 (− = 4 7 b.(1.0đ) f(x – 1) = 2 – ( x – 1 ) 2 ; f(1 – x ) = 2 – ( 1 – x ) 2 do (x – 1) và (1 – x) là hai số đối nhau nên bình phương bằng nhau. Vậy 2 – ( x – 1 ) 2 = 2 – ( 1 – x ) 2 hay f(x – 1) = f(1 – x). 1.0đ 1.0đ 0.25 đ 0.25 đ 0.5đ Câu 4 (4,0 đ) a. (2,5đ) Theo tính chất đường trung tuyến ứng với cạnh huyền của tam giác vuông: MA = MB. Gọi H là giao điểm của MD và AB. Tam giác cân AMB có MH đường cao ứng với đáy nên là đường trung trực, suy ra : DA = DB. Chứng minh được ) ( cccMADMBD ∆=∆ suy ra góc MBD = góc MAD = 90 0 ; do đó BCDB ⊥ Tương tự ta có : BCEC ⊥ Vậy BD // CE (vì cùng vuông góc với BC), đpcm. b. (1,5đ) Theo câu a, DB = DA. Tương tự, EC = EA. Suy ra DE = DA + AE = BD + CE. 0.5đ 0.5đ 0.25đ 0.25đ 0.5đ 0.5đ 0.5đ 0.5đ 0.5đ Câu 5 (3,0 đ) Ta có : ) 25 11 ( 25 1 )25( 1 ) 1980 11 ( 1980 1 )1980( 1 mmmm nnnn + −= + + −= + Áp dụng tính A và B ta được: 1 1 1 1 1 1 1 ( ) 1980 1 1981 2 1982 25 2005 1 1 1 1 1 1 1 [( ) ( )] 1980 1 2 25 1981 1982 2005 1 1 1 1 1 1 1 ( ) 25 1 26 2 27 1980 2005 1 1 1 1 1 1 1 [( ) ( )] 25 1 2 1980 26 27 2005 1 1 1 1 1 1 [( ) ( 25 1 2 25 1981 1982 A B = − + − + + − = + + + − + + + = − + − + + − = + + + − + + + = + + + − + + 1 )] 2005 + Vậy 396 5 25 1 : 1980 1 == B A 0.25đ 0.25đ 0.25đ 0.5đ 0.25đ 0.5đ 0.5đ 0.5đ 3 2 1 1 M E D B C A Câu 6 (2,0 đ) Gọi M là trung điểm của DC. Trên tia đối của tia MA lấy điểm E sao cho ME = MA. Ta có hai tam giác AMC và EMD bằng nhau Vì MD = MC, MA = ME, · · AMC EMD= . Nên DE = AC, và góc µ · 3 A DEM= . Mặt khác , ¶ µ 1 D B> ( theo tính chất góc ngoài tam giác) mà µ µ B C= ( vì tam giác ABC cân, đáy BC) nên ¶ µ 1 D C> suy ra AC > AD. Từ đó DE > DA, suy ra ¶ · 2 A DEM> ,hay ¶ µ 2 3 A A> . Vì µ µ 3 1 A A= ( do ABD ACM∆ = ∆ ) nên góc ¶ µ µ µ 2 3 1 3 A A A A+ > + hay µ ¶ µ 1 2 3 2A A A< + Suy ra · · 1 . 2 BAD CAD< 0.25đ 0.25đ 0.25đ 0.25đ 0.25đ 0.25đ 0.25đ 0.25đ Chú ý : 1. Học sinh làm cách khác, đúng vẫn cho điểm tối đa. 2. Bài hình không vẽ hình, hoặc vẽ sai thì không chấm điểm. . . 2222 d dcba c dcba b dcba a dcba ++ + = ++ + = ++ + = ++ + 2005.1980 1 )25.( 1 27. 2 1 26.1 1 2005.25 1 )1980.( 1 1982.2 1 1981.1 1 ++ + ++ + = ++ + ++ + = mm B nn A Phòng giáo dục và đào tạo Huyện vĩnh lộc đề thi học sinh giỏi. 3 2 6 203618 32 2036 3 18 2 == + + === zyxzyx Suy ra x = 27; y = 36; z = 60. b.(2đ) Từ giả thiết suy ra d dcba c dcba b dcba a dcba d dcba c dcba b dcba a dcba ++ + = ++ + = ++ + = ++ + ⇒ − ++ + =− ++ + =− ++ + =− ++ + 1 2 1 2 1 2 1 2 *. 2 27 1980 2005 1 1 1 1 1 1 1 [( ) ( )] 25 1 2 1980 26 27 2005 1 1 1 1 1 1 [( ) ( 25 1 2 25 1981 1982 A B = − + − + + − = + + + − + + + = − + − + + − = + + + − + + + = + + + − + + 1 )] 2005 + Vậy