a chứng minh NMO NPO b chứng minh đờng tròn ngoại tiếp tam giác MNP đi qua hai điểm cố định khi M di động trên đờng thẳng d.. c xác định vị trí điểm M trên đờng thẳng d sao cho tứ gi
Trang 1Mã kí hiệu
T- ĐTS10CH1-08
đề thi tuyển sinh vào lớp 10 chuyên
Năm học: 2007- 2008 Môn thi: Toán
Thời gian làm bài 150 phút
(Đề này gồm 4 câu1trang)
câu1: (3điểm)
Cho biểu thức
2
P
1) Rút gọn P
2) Tìm giá trị nhỏ nhất của P
3) Tìm x để biểu thức Q =2 x
P nhận giá trị là số nguyên
Câu 2 (2điểm)
a) Tìm tất cả các số nguyên dơng n sao cho đa thức x3n+1+x2n+1 chia hết cho
đa thức x2 +x +1
b) tìm số d trong phép chia A = 38 +36 +32004 cho 91
Câu 3(4điểm)
Cho đờng tròn ( O ;R) và đờng thẳng (d) cắt đờng tròn (O) tại hai điểm A,B
Từ một điểm M trên đờng thẳng (d) và ở ngoài đờng tròn (O) , (d) không đi qua
O, ta vẽ hai tiếp tuyến MN , MP với đờng tròn (O) (N,P là hai tiếp điểm)
a) chứng minh NMO NPO
b) chứng minh đờng tròn ngoại tiếp tam giác MNP đi qua hai điểm cố định khi M di động trên đờng thẳng (d)
c) xác định vị trí điểm M trên đờng thẳng (d) sao cho tứ giác MNOP là một hình vuông
d) Chứng minh rằng tâm I của đờng tròn ngoại tiếp tam giác MNP di động trên một đờng cố định khi M di động trên (d)
Câu 4(1điểm) Giả sử x,y,z là các số thực thoả mãn điều kiện :
x+y+z +xy+yz+zx = 6 Chứng minh rằng x2+y2+z2 3
Mã kí hiệu
T- HDTS10CH1-08
Hớng dẫn chấm tuyển sinh vàolớp10chuyên
Năm học: 2007- 2008 Môn thi: Toán
Thời gian làm bài 150 phút)
(Đề này gồm 4 câu 3 trang)
Câu1(3đ) a)(1đ)
+ĐK x > 0 và x 1
0,5đ
Trang 2P = ( 1)( 1)
1
= x- x +1 b)(1đ)
+biến đổi P = 1 2 3
+suy ra minP =3
4
đạt đợc khi x=1
4
c) (1đ) + Q =
1 1
x
x
Để ý rằng với x > 0 và x1 ta có
1
x x
>1(theo BĐT Cauchy) Suy ra 0<Q<2.Vì Qnguyên nên Q=1 Suy ra x=7 3 5
2
Thử lại đúng
0,25đ 0,5đ 0,25đ 0,25đ 0,25đ
0,25đ 0,25đ 0,25đ
Câu 2(2đ) a)(1đ)
x x x x x x
Do đó với mN* thì 3 3 3
x x x
Từ đó x3m 1 x2 x 1
+Đặt n=3a+r (aN* ; r = 0,1,2) tacó
3n 1 2n 1 9a 3 1r 6a 2r 1
=x 3 3 2 3 2 2
Chia hết cho x2+x+1 khi và chỉ khi
x2r +x+1 x2+x+1 -Nếu r = 0 thì x2r +x+1=x+2 không chia hết cho x2+x+1
-Nếu r = 1 thì x2r +x+1= x2+x+1 chia hết cho
x2+x+1 -Nếu r = 2 thì x2r +x+1= x4+x+1=
x(x3-1)+2x+1 không chia hết cho x2+x+1 +Tóm lại với nN* , n chia cho 3 d 1 thì
x3n+1+x2n+1 chia hết cho x2 +x +1 b)(1đ)
+ ta có 36-1 =729-1=728 91
Do đó A= 38 +36 +32004
(3 3 ) (3 1) (3 1) 3 1 1
= 2 6 6 6 334
3 (3 1) (3 1) 3 1 11 chia cho 91 d 11
0,25đ
0,25đ
0,25đ 0,25đ 0,25đ 0,25đ 0,25đ 0,25đ
Câu 3(4đ) a) 1(đ)
Trang 3
+ Ta có tứ giác MNOP nội tiếp +góc NMO và góc NPO là hai góc nội tiếp cùng chắn cung NO của đờng tròn ngoại tiếp tứ giác MNOP + suy ra NMO NPO b)(1đ) + gọi C là trung điểm của dây AB +suy ra CO vuông góc với CM hay C thuộc đuờng tròn ngoại tiếp tam giác MNP +Đờng tròn ngoại tiếp tam giác MNP đi qua hai điểm cố định là O và C c)(1đ) + Tứ giác MNOP là hình vuông khi và chỉ khi tam giác OMN vuông cân tại N Khi và chỉ khi OM = ON 2 Khi đó M là giao của đờng tròn tâm O bán kính R 2và đờng thẳng (d) d)(1đ) +Tâm I của đờng tròn nội tiếp Tam giác MNP là giao của ba đờng phân giác trong của Tam giác MNP +Suy ra I là trung điểm của cung NP và thuộc OM +vậy I di động trên cung lớn AB của đờng tròn tâm O bán kính R
0,25đ 0.5đ 0,25đ 0,25đ 0,25đ 0,5đ 0,25đ 0,5đ 0,25đ 0,25đ 0,25đ 0,5đ Câu 4 (1điểm) + Ta có 2 1 2 x x ; 2
1 2
y y ; 2
1 2
(theo bất đẳng thức cô si ) +mặt khác ta lại có 2( 2 2 2
x y z xy yz zx
+cộng 4 bất đẳng thức trên theo từng vế ta đợc:
3( 2 2 2
x y z x y z xy yz zx = 6 +Suy ra 2 2 2
3
x y z
đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi x= y = z = 1
0,25đ 0,25đ 0,25đ 0,25đ
A O
M
N
P
d A
B C