Tìm m để phơng trình có hai nghiệm dơng?. b Gọi hai nghiệm của phơng trình 1 là x1 , x2.. Lấy điểm N trên đoạn BM sao cho BN=AM a Chứng minh ãAMK =BNKã.. b Chứng minh tam giác MKN là tam
Trang 1câu1(2,5đ) cho phong trình ẩn x : x2 -2(m+1)x+m-4 = 0 (1)
a) Chứng minh rằng phơng trình (1) có hai nghiệm phân biệt Tìm m để phơng trình có hai nghiệm dơng?
b) Gọi hai nghiệm của phơng trình (1) là x1 , x2 Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức
M =
2 2
1 2
1 (1 2 ) 2 (1 1 )
x x
+
Câu 2 (2điểm) :
Tìm các số nguyên x, y thoả mãn đẳng thức
2y x x y+ + + = 1 x + 2y +xy
Câu3 (4điểm)
cho đờng tròn tâm O đờng kính AB Gọi K là trung điểm của cung ằAB ,
M là điểm di động trên cung nhỏ ằAK (M khác điểm A và K ) Lấy điểm N trên đoạn BM sao cho BN=AM
a) Chứng minh ãAMK =BNKã .
b) Chứng minh tam giác MKN là tam giác vuông cân
c) Hai đờng thẳng AM và OK cắt nhau tại D Chứng mỉnh MK là đ-ờng phân giác của góc ãDMN
d) Chứng minh rằng đờng thẳng vuông góc với BM tại N luôn đi qua một điểm cố định
câu4(1,5điểm) Giả sử x,y,z là các số dơng thay đổi và thoả mãn điều kiện
xy z2 2 +x z y2 + = 3z2 Hãy tìm giá trị lớn nhất của biểu thức
P = 4 44 4
z
z x y
Mã kí hiệu
T- ĐTS10CH2-08
đề thi tuyển sinh vào lớp 10 chuyên
Năm học: 2007- 2008 Môn thi: Toán
Thời gian làm bài 150 phút)
(Đề này gồm 4 câu 1trang)
Trang 2Mã kí hiệu
T- HDTS10CH2-08
Hớng dẫn chấm tuyển sinh vào lớp 10 chuyên
Năm học: 2007- 2008 Môn thi: Toán
Thời gian làm bài 150 phút)
(Đề này gồm 4 câu 3 trang)
Câu1(2,5đ) a)(1,25đ)
+ ta có ∆ / =(m+1)2-(m-4) = m2+m+5 > 0 với mọi m +vậy PT(1) luôn có nghiệm với mọi m +PT(1) có hai nghiệm dơng khi 1 0
4 0
m m
+ >
− >
4
m
⇔ >
b)(1,25đ) +áp dụng định lý viét ta có 1 2
1 2
2( 1) 4
x x m
+Thay vào biểu thức và rút gọn ta có M=
2 2
1 2
1 (1 2 ) 2 (1 1 )
x x
+
M = 2 2 3 6
5
m + m+
Suy ra Mmin = 39
40
đạt đợc khi m = 3
4
−
0,25đ
0,25đ
0,25đ
0,25đ
0,25đ
0,25đ
0,5đ
0,25đ
0,25đ
Câu2(2đ) +Ta có : 2y x x y2 + + + = 1 x2 + 2y2 +xy
⇔ 2 (y x2 − − 1) x x( − − 1) y x( − + = 1) 1 0 (1) + Nhận xét x = 1 không phải là nghiệm của PT(1)
+ chia cả hai vế của PT (1) cho x-1 ta đợc :
1
x
− (2)
+PT có nghiệm x,y nguyên , suy ra 1
1
x−
nguyên Suy ra x-1 ∈ −{ 1;1 } 2
0
x x
=
⇒ = +Thay x=2 vào PT (2) và với y nguyên ta
đợc y=1 +Thay x=0 vào PT(2) và với y nguyên ta
đợc y=1 +vậy PT đã cho có hai nghiệm nguyên là (2;1) và (0;1)
0,25đ
0,25đ
0,25đ
0,25đ
0,25đ
0,25đ
0,25đ
0,25đ
Trang 3a)(1đ)
+xét tam giác AMK và BNK có MAKã = ãNBK
(hai góc nội tiếp cùng chắn cungẳMK, AM= BN(gt) , AK=BK vì haicungằAK = ằBK
Suy ra ∆AMK = ∆BNK(cgc) +từ đó suy raãAMK =BNKã
b)(1đ) +Từ kết quả của câu a ∆AMK = ∆BNK ta có KM=KN và ãAKM =BKNã Mà
BKN AKN+ = ⇒AKM +AKN = Do đó tam giác MKN vuông cân tại K
c) (1đ) +Từ kết quả câu b) tam giác MKN vuông cân tại K nên.ãNMK = 45o
Do góc DMNã = 90osuy ra góc ã.DMK = 45o
Từ đó dẫn đến MK là đờng phân giác của góc
ã.DMN
d)(1đ) +Giả sử đờng thẳng vuông gócvới BM tại N cắt
đờng thẩng AK tại E.Ta có tứ giác BEKN nội tiếp
+suy ra ã ã 45o
AEB MNK= =
+Mặt khác ã 45o
BAE= nên tam giác ABE vuông cân tại B
+Suy ra điểm E cố định hay đờng thẳng vuông gócvới BM tại N đi qua 1 điểm cố định là điểm E
0,25đ 0,25đ 0,25đ 0,25đ 0,25đ
0,5đ 0,25đ
0,25đ 0,5đ 0,25đ
0,25đ 0,25đ 0,25đ 0,25đ
K M
N
.
O D
E
Trang 4Câu4(1,5đ) +Điêù kiện có thể viêt lại là
2 2
2
+Biểu thức P có dạng 4 4
4
1 1
P
z
= + +
Đặt 1
z=t tađa về bài toán : “Với x,y,t là các số dơng thoả mãn 2 2 2
3
xy +yt +tx = Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức 4 4 4
1
P
= + + ”
+Theo BĐT Cauchy cho 4số dơng tacó
1 4
1 4
1 4
+ + + ≥
+ + + ≥
+ + + ≥
3(x y t ) 3 4(xy yt tx )
4 4 4 (x y t ) 3
⇒ + + ≥ ⇒ P 4 14 4
= + +
1 3
≤
Vậy Pmin =1
3 đạt đợc khi x= y = z=1
0,25đ
0,25đ
0,25đ 0,25đ 0,25đ 0,25đ