De thiDap an hoc sinh gioi Ba ria 09

- Các cách giải khác đúng (trong phạm vi chương trình THCS) vẫn cho điểm..[r]

SỞ GIÁO DỤC - ĐÀO TẠO KỲ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI LỚP CẤP TỈNH TỈNH BÀ RỊA - VŨNG TÀU NĂM HỌC 2008 – 2009

- - Ngày thi: 04 tháng năm 2009 ĐỀ CHÍNH THỨC

Mơn thi: TỐN Thời gian làm 150 phút Bài 1 (6 điểm)

1) Giải phương trình: x 1 2x1 5 2) Tìm x, y để biểu thức F đạt giá trị nhỏ nhất:

F 5x22y2 2xy 4x2y3 Bài 2 (4 điểm)

Tìm số tự nhiên có chữ số abc thỏa:

2

2

( 2)

abc n cba n    



  

 (n N n ; 2) Bài 3 (4 điểm)

Cho tam giác ABC vuông A, đường cao AH (H thuộc BC) Đường tròn đường kính AH cắt AB, AC E, F Chứng minh rằng: EF3EB BC CF .

Bài 4 (3 điểm)

Cho nửa đường tròn tâm O, đường kính AB = 2R M điểm thay đổi nửa đường tròn (khác A B) Tiếp tuyến (O) M cắt tiếp tuyến A B đường tròn (O) điểm C D Tìm giá trị nhỏ tổng diện tích hai tam giác ACM BDM

Bài 5 ( điểm)

Cho 100 số tự nhiên a a1, , ,2 a100 thỏa mãn điều kiện: 100

1 1

19

a  a   a 

Chứng minh 100 số tự nhiên đó, tồn hai số

- HẾT -Họ tên thí sinh: Số báo danh:

SỞ GIÁO DỤC-ĐÀO TẠO KỲ THI HỌC SINH GIỎI LỚP CẤP TỈNH

TỈNH BÀ RỊA VŨNG – TÀU NĂM HỌC 2008 – 2009 - -

HƯỚNG DẪN CHẤM MƠN TỐN ĐỀ CHÍNH THỨC

(Hướng dẫn gồm có 02 trang) Bài (6 điểm)

Câu (3 điểm):

Cách 1: Pt

1

3 2 ( 1)(2 1) 25 2 27

x x

x x x x x x

                      

2 2

1 9

5

4(2 1) (27 ) 150 725

x x

x

x x x x x

   

 

     

      

  .

Cách 2: +/ Nếu x>5: VT = x1 2x1 1  2.5 5  VP +/ Nếu 1 x 5: Tương tự VT < VP.

+/ Khi x = VT = VP, nên x = nghiệm pt Câu (3 điểm)

F = (x2y22 ) (4xy  x2y212 4xy 4x2 ) 2y  = (x y )2(2x y 1)22

Ta thấy với x, y F2 Nên

1

0 3

2

2 1

3 x x y F x y y                     .

Bài (4 điểm)

Ta có: abc100a10b c n  21 (1)

cba100c10b a n  2 4n4 (2) Từ (1) (2) ta có 99(a-c)=4n –  4n 5 99 (3)

Mặt khác: 100n2 1 999101n2100011 n 31 39 4 n 119 (4) Từ (3) (4) suy n = 26 Vậy abc675.

Bài (4 điểm)

Trong tam giác vuông ABC ta có: AB.AC = AH.BC AH2 BH HC (1) Trong tam giác vng ABH ta có: BH2 BE BA (2)

Trong tam giác vng ACH ta có: CH2 CF CA (3) Từ (2) (3) ta có:  

2

(4)

BH CH BE BA CF CA Kết hợp (1) (4) ta được: AH4 EB BC CF AH

Tứ giác AEHF hình chữ nhật nên AH = EF nên suy EF3 EB BC CF . Bài (3 điểm)

Ta có:

2

( )

2

2 2

ABDC

AC BD AB CD AB AB

S      R

Kẻ MH vng góc với AB thì:

2

1

2

AMB

S  AB MH  MO AB R

(2) Từ (1) (2) suy ra: SACM SBDM SABDC  SAMB2R2 R2 R2

Vậy giá trị nhỏ tổng diện tích hai tam giác ACM BDM R2, đạt khi M điểm cung AB

Bài (3 điểm)

Ta có kết qủa quen thuộc sau đây:

1 1

2

2

A n

n

     

Thật vậy: Từ  

1

2

2 k k

k  k  k  k    , suy ra:

2 ( 1) ( 2) ( 1) 2( 1) 2

A       n n   n  n

  (*)

Gỉa sử 100 số tự nhiện cho khơng có hai số Khơng tính tổng quát, giả sử: a1a2 a100 a11,a2 2, an 100

Thế thì: 100

1 1 1

1 100

a  a   a     2 100 19  (áp dụng (*))

Kết qủa trái với giả thiết Vậy tồn 100 số cho LƯU Ý:

- Trên hướng dẫn tóm tắt cách giải Tổ chấm cần thống thang điểm chi tiết đến 0,25 0,5

- Các cách giải khác (trong phạm vi chương trình THCS) cho điểm