De thi + Dap an hoc sinh gioi Ba ria 09.doc

SỞ GIÁO DỤC - ĐÀO TẠO KỲ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI LỚP 9 CẤP TỈNH TỈNH BÀ RỊA - VŨNG TÀU NĂM HỌC 2008 – 2009 ---------------------------------- ------------------------------ Ngày thi: 04 tháng 3 năm 2009 ĐỀ CHÍNH THỨC Môn thi: TOÁN Thời gian làm bài 150 phút Bài 1 (6 điểm) 1) Giải phương trình: 1 2 1 5x x− + − = 2) Tìm x, y để biểu thức F đạt giá trị nhỏ nhất: 2 2 5 2 2 4 2 3F x y xy x y= + − − + + Bài 2 (4 điểm) Tìm số tự nhiên có 3 chữ số abc thỏa: 2 2 1 ( 2) abc n cba n  = −   = −   ( ; 2)n N n∈ > Bài 3 (4 điểm) Cho tam giác ABC vuông tại A, đường cao AH (H thuộc BC). Đường tròn đường kính AH cắt AB, AC lần lượt tại E, F. Chứng minh rằng: 3 . .EF EB BC CF= . Bài 4 (3 điểm) Cho nửa đường tròn tâm O, đường kính AB = 2R và M là một điểm thay đổi trên nửa đường tròn (khác A và B). Tiếp tuyến của (O) tại M cắt các tiếp tuyến tại A và B của đường tròn (O) tại các điểm C và D. Tìm giá trị nhỏ nhất của tổng diện tích hai tam giác ACM và BDM. Bài 5 ( 3 điểm) Cho 100 số tự nhiên 1 2 100 , , .,a a a thỏa mãn điều kiện: 1 2 100 1 1 1 . 19 a a a + + + = Chứng minh rằng trong 100 số tự nhiên đó, tồn tại hai số bằng nhau. ----------------------------------------------------- HẾT ------------------------------------------------------ Họ và tên thí sinh: Số báo danh: Chữ ký giám thị 1: Chữ ký giám thị 2: SỞ GIÁO DỤC-ĐÀO TẠO KỲ THI HỌC SINH GIỎI LỚP 9 CẤP TỈNH TỈNH BÀ RỊA VŨNG – TÀU NĂM HỌC 2008 – 2009 ---------------------------------- ---------------------------- HƯỚNG DẪN CHẤM MÔN TOÁN ĐỀ CHÍNH THỨC (Hướng dẫn này gồm có 02 trang) Bài 1 (6 điểm) Câu 1 (3 điểm): Cách 1: Pt 2 1 1 3 2 2 ( 1)(2 1) 25 2 2 3 1 27 3 x x x x x x x x ≥ ≥     ⇔ ⇔   − + − − = − + = −     2 2 2 1 9 1 9 5 4(2 3 1) (27 3 ) 150 725 0 x x x x x x x x ≤ ≤ ≤ ≤   ⇔ ⇔ ⇔ =   − + = − − + =   . Cách 2: +/ Nếu x>5: VT = 1 2 1 5 1 2.5 1 5x x VP− + − > − + − = = +/ Nếu 1 5x ≤ < : Tương tự VT < VP. +/ Khi x = 5 thì VT = VP, nên x = 5 là nghiệm của pt. Câu 2 (3 điểm) F = 2 2 2 2 2 ( 2 ) (4 1 4 4 2 ) 2x y xy x y xy x y+ + + + + − − + + = 2 2 ( ) (2 1) 2x y x y+ + − − + . Ta thấy với mọi x, y thì 2F ≥ . Nên min 1 0 3 2 2 1 0 1 3 x x y F x y y  =  + =   = ⇔ ⇔   − − =   = −   . Bài 2 (4 điểm) Ta có: 2 100 10 1 (1)abc a b c n= + + = − 2 100 10 4 4 (2)cba c b a n n= + + = − + Từ (1) và (2) ta có 99(a-c)=4n – 5 4 5 99 (3)n⇒ − M Mặt khác: 2 2 100 1 999 101 1000 11 31n n n≤ − ≤ ⇔ ≤ ≤ ⇔ ≤ ≤ 39 4 5 119 (4)n⇔ ≤ − ≤ . Từ (3) và (4) suy ra n = 26. Vậy 675abc = . Bài 3 (4 điểm) Trong tam giác vuông ABC ta có: AB.AC = AH.BC và 2 .AH BH HC= (1) Trong tam giác vuông ABH ta có: 2 . (2)BH BE BA= Trong tam giác vuông ACH ta có: 2 . (3)CH CF CA= Từ (2) và (3) ta có: ( ) 2 . . . . (4)BH CH BE BACF CA= Kết hợp (1) và (4) ta được: 4 . . .AH EB BC CF AH= Tứ giác AEHF là hình chữ nhật nên AH = EF nên suy ra 3 . .EF EB BC CF= . Bài 4 (3 điểm) Ta có: 2 2 ( ). . 2 2 2 2 ABDC AC BD AB CD AB AB S R + = = ≥ = (1) Kẻ MH vuông góc với AB thì: 2 1 1 . . 2 2 AMB S AB MH MO AB R= ≤ = (2) Từ (1) và (2) suy ra: 2 2 2 2 ACM BDM ABDC AMB S S S S R R R+ = − ≥ − = Vậy giá trị nhỏ nhất của tổng diện tích hai tam giác ACM và BDM là 2 R , đạt được khi M là điểm chính giữa của cung AB. Bài 5 (3 điểm) Ta có kết qủa quen thuộc sau đây: 1 1 1 . 2 2 2 3 A n n = + + + < − Thật vậy: Từ ( ) 1 2 1 2 1 2 1 k k k k k k = < = − − + − , suy ra: 2 ( 2 1) ( 3 2) . ( 1) 2( 1) 2 2A n n n n   < − + − + + − − = − = −   (*) Gỉa sử trong 100 số tự nhiện đã cho không có hai số nào bằng nhau. Không mất tính tổng quát, giả sử: 1 2 100 1 2 . 1, 2, . 100 n a a a a a a< < < ⇒ ≥ ≥ ≥ Thế thì: 1 2 100 1 1 1 1 1 1 . . 1 2 100a a a + + + ≤ + + + 2 100 1 19< − = (áp dụng (*)) Kết qủa này trái với giả thiết. Vậy tồn tại bằng nhau trong 100 số đã cho. LƯU Ý: - Trên đây là hướng dẫn tóm tắt cách giải. Tổ chấm cần thống nhất thang điểm chi tiết đến 0,25 hoặc 0,5. - Các cách giải khác đúng (trong phạm vi chương trình THCS) vẫn cho điểm. . x y xy x y+ + + + + − − + + = 2 2 ( ) (2 1) 2x y x y+ + − − + . Ta thấy với mọi x, y thì 2F ≥ . Nên min 1 0 3 2 2 1 0 1 3 x x y F x y y  =  + =   =. n = + + + < − Thật vậy: Từ ( ) 1 2 1 2 1 2 1 k k k k k k = < = − − + − , suy ra: 2 ( 2 1) ( 3 2) . ( 1) 2( 1) 2 2A n n n n   < − + − + + −