Đang tải... (xem toàn văn)
Đề thi có đáp án tuyển chọn học sinh giỏi Toán 9 .............................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................
Môn thi: Toán Thời gian: 150 phút (không kể thời gian giao đề) Cõu (4,5 im) a) Cho A = k4 + 2k3 16k2 2k + 15 vi k Z Tỡm iu kin ca k A chia ht cho 16 b) Tỡm giỏ tr ln nht ca phõn s m t s l mt s cú ba ch s, cũn mu s l tng cỏc ch s ca t s Cõu (5,5 im) a) Gii phng trỡnh: x x + 16x = x + y + xy = b) Giải hệ phơng trình: x + y + xy = Cõu (3,0 im) Cho x, y, z > x + y + z = Tìm giá trị nhỏ biểu thức: 1 1 + + + x + y + z xy yz xz Cõu (5,5 im) Cho ng trũn (O; R), hai ng kớnh AB v CD vuụng gúc vi E l mt im trờn cung nh AD (E khụng trựng vi A v D) Ni EC ct OA ti M; ni EB ct OD ti N a) Chng minh rng: AM.ED = OM.EA P= b) Xỏc nh v trớ im E tng OM ON + t giỏ tr nh nht AM DN Cõu (1,5 im) Cho tam giỏc ABC, ly im C thuc cnh AB, A1 thuc cnh BC, B1 thuc cnh CA Bit rng di cỏc on thng AA1, BB1, CC1 khụng ln hn 1 Chng minh rng: SABC (SABC l din tớch tam giỏc ABC) - - - - - Hết - - - - - hớng dẫn biểu điểm Chấm đề thức (Hớng dẫn biểu điểm chấm gồm 04 trang) Môn: toán - bảng B Câu Nội dung a/ Cho A = k4 + 2k3 - 16k2 - 2k +15 với k Z Vì k Z ta xét trờng hợp: TH1: k chẵn A = k4 + 2k3 - 16k2 - 2k +15 số lẻ A không chia hết cho A không chia hết cho 16 (loại) (1) 2,5 TH2: k lẻ, ta có: A = k4 + 2k3 - 16k2 - 2k +15 = (k2 - 1)(k2 + 2k - 15) = (k - 1)(k + 1)(k - 3)(k + 5) Do k lẻ k - 1; k + 1; k - 3; k + chẵn A = (k - 1)(k + 1)(k - 3)(k + 5) M 2.2.2.2 = 16 (thoả mãn) (2) Từ (1) (2) với k Z mà k lẻ A chia hết cho 16 b/ Gọi tử số phân số abc (0 < a 9, b 9, c 9, a, b, c N) abc 90a 9c 90a nên phân số có dạng P = = 10 + 10 + = 100 a+b+c a+b+c a suy Pmax = 100 b = c = 0, < a 9, a N a/ Giải phơng trình x2 - x - + 16x = ĐKXĐ: x 16 Điểm 4,5 1,0 1,0 0,5 2,0 5,5 0,25 Khi phơng trình x2 - x = 2( + 16x + 1) ) + 16x = 4y2 -4y + 4y2 - 4y = 16x y2 - y = 4x (*) Đặt: + 16x + = 2y ( y 3,0 y y = 4x (x y)(x + y + 3) = Ta có: x x = 4y x = y x + y + = (loại x - y ) 16 Với x = y thay vào (*) x2 - x = 4x x2 - 5x = x(x - 5) = x = (thoả mãn) x = (loại) 2,25 0,5 Vậy phơng trình có nghiệm là: x = b/ x + y + xy = ( x + y ) xy = Ta có : x + y + xy = ( x + y ) + xy = 1,0 x + y = (x + y)2 + (x + y) 12 = x + y = 1,0 Nếu x + y = 2,5 x = x + y = x + y = y = Hệ cho x = x + y + xy = xy = y = Nếu x + y = -4 0,5 x + y = Hệ cho xy = (hệ vô nghiệm) Vậy hệ phơng trình cho có nghiệm (x; y) = (0; 3), (3; 0) 3,0 1 áp dụng bất đẳng thức: + + (với A, B, C > 0) A B C A+B+C 1 với x, y, z > ta có: xy + yz + zx xy + yz + zx 1,0 P x + y + z + xy + yz + zx 1 1,0 P ( x + y + z + + xy + yz + zx + xy + yz + zx ) + xy + yz + zx + x + y + z + 2xy + 2yz + 2zx xy + yz + zx 2 9 21 = (x + y + z)2 + xy + yz + zx (x + y + z)2 + (x + y + z)2 30 1,0 (Do 3(xy + yz + zx) (x + y + z)2 x + y + z = 1) Du "=" xy v ch x = y = z = Vy Pmin = 30 x = y = z = 3 C 1M A 5,5 O B N E D a/ Xét COM CED có: = E = 90 O C chung COM CED (g-g) CO OM = (1) CE ED 3,0 Do AB, CD đờng kính vuông = 450 góc với E = A 1,0 S 1,0 = 450 E1 = A Xét AMC EAC có: C chung S AMC EAC (g-g) AC AM = CE AE mà AC = CO (do ACO vuông cân O) AM CO OM (do (1)) = = AE CE ED AM.ED = OM.AE (ĐPCM) b/ Tơng tự câu a ta có: BO ON = BON BEA BE EA 1,0 S S DN BD 2BO = = DE BE BE DN ON ON = DN ON = EA = EA DN DE DE DE EA 2,5 OM ED = Từ câu a ta có: AM.ED = OM.AE AM EA BND 1,0 BDE 0,5 OM ON = AM DN OM ON OM ON + =2 = AM DN AM DN Dấu "=" xẩy khi: OM ON ED EA = = ED = EA AM DN 2EA 2ED mà E điểm cung nhỏ AD OM ON + = Vậy giá trị nhỏ AM DN 1,0 Bi giii m E điểm cung nhỏ AD A Không tính tổng quát, giả sử 0,5 < 90 60 A kẻ B 0,5 0,5 S ABC = CH.AB mà CH CC1 ta có: BB1 BK 1 = SinA SinA SinA Sin60 S ABC = 3 (1) TH2: 90 A AB BB1 1, CH CC1 1 1 S ABC 1.1 = < 2 (2) Từ (1) (2) K CHNH THC B1 A1 CH AB; BK AC AB = H C1 B C A 60 A TH1: 1,5 C M ụ n : T O N T h i gi a n l m b i : p h ỳt B i (4 ,0 i m ) ) Tỡ m cỏ c c S ABC p s n g u yờ n d n g (x ; y) th a m ón x + y + = x y b) C h o bi u th c A= v i a l s t a3 + 24 n hi ờn ch n H óy ch n g t A cú gi ỏ tr n g u yờ n B i : (4 ,0 i m ) ) P hõ n tớ ch a th c sa u th n h n hõ n t : x3 x2 + x b) Tớ n h gi ỏ tr c a bi u th c M = x3 x v i x = B i : (5 20 + 14 ,0 i m ) a) G i i p h n g trỡ n h: x-2 + b) G i i h p h n g trỡ n h: x + y + x xy + xy B i ( 5, i m ) C h o ta m gi ỏc cõ n A B C ( A B = A C; < 00 ), m t n g tr ũ n ( O ) ti p x ỳc v i A B, C ) G i ( O 1) v ( O ) l n l t l n g tr ũ n n g o i ti p M P K v M Q H C h n g m in h r n g P Q l ti p tu y n ch u n g c i n g tr ũ n ( O 1) v ( O ) ) G i D l tr u n g i m c a B C; N l gi ao i m th i c a ( O 1), ( O ) C h n g m in h r n g M ,N ,D th n g h n g B i ( 2, i m ) C h o ta m gi ỏc A B C n h n v O l m t i m n m tr o n g ta m gi ỏc C ỏc ti a A O, B O, C O l n l t c t B C, A C, A B t i M , N, P C h n g m in h : AM BN + OM ON H T -H N G D N C H M C H N H T H C M ụ n : T O N Cõu a 2im Ta cú: x + y + 18 = xy 2xy - 6x - 5y = 18 2xy - 6x + 15 - 5y = 33 2x(y 3) 5(y 3) = 33 (y 3)(2x 5) = 33 = 1.33 = 3.11 Ta xột cỏc trng hp sau : y =1 x = 19 x = 33 y = y = 33 x = * x = y = 36 y = 11 x = * x = y = 14 * B i 0,75 0,5 0,5 y = x = x = 11 y = * 4im b 2im Cỏc cp s nguyờn dng u tha ng thc trờn Vy cỏc cp s cn tỡm l : (3; 36); (4; 14); (8; 6); (19; 4) 0,25 Vỡ a chn nờn a = 2k ( k N ) 0,25 8k 4k 2k k k k + + = + + 24 12 2k + 3k + k k ( k + 1) ( 2k + 1) = = 6 Ta cú : k ( k+1) M2 k ( k+1) ( 2k+1) M2 Do ú A = 0,5 0,25 Ta chng minh : k ( k + 1) ( 2k + 1) M3 Tht vy : - Nu k = 3n (vi n N ) thỡ k ( k + 1) ( 2k + 1) M3 - Nu k = 3n + (vi n N ) thỡ 2k + 1M3 0,75 - Nu k = 3n + (vi n N ) thỡ k + 1M3 Vi mi k N k ( k + 1) ( 2k + 1) luụn chia ht cho v cho M (2, 3) = k ( k + 1) ( 2k + 1) M6 Vy A cú giỏ tr nguyờn 4im a 2im b 2im a) 2x3 9x2 + 13x = 2x3 2x2 7x2 + 7x + 6x = 2x2(x -1) 7x(x 1) +6(x 1) = (x 1)(2x2 7x + 6) = (x 1)(x 2)(2x 3) t u = 20 + 14 ; v = 20 14 Ta cú x = u + v v u + v3 = 40 u.v = (20 + 14 2)(20 14 2) = 0,5 1,0 0,5 0,25 x = u + v x = u + v + 3uv(u + v) = 40 + 6x hay x3 x = 40 Vy M = 40 0,5 0,25 0,25 0,5 a 2,5im 0,25 3 PT: x + x = x x + 24 (1) KX: x Chng minh c: x + x 2 Du = xy x = x x = x x + 24 = ( x 4) + = 2 Du = xy (x 4)2 = x - = x = Phng trỡnh (1) xy x = Giỏ tr x = : tha KX Vy: S = { } 0,5 0,5 0,5 0,5 0,5 0,25 b 2,5im iu kin: xy0 0,25 1 x + y + x + y = 2[xy(x+y)+(x+y)]=9xy (1) (2) 2(xy) -5xy+2=0 xy + = xy 0,25 xy=2 (3) xy= (4) Gii (2) ta c: 0,25 Thay xy = vo (1) ta c x + y = (5) x = x + y = y = T (5) v (3) ta c: x = ( tho K) xy = y = 1 Thay xy = vo (1) ta c x + y = 2 (6) x = y = x + y = 2 T (6)v(4) ta c: (tho K) xy = x = 2 y = 0,5 0,5 0,5 Vy h ó cho cú nghim l: 1 ( x; y ) = (1; 2), (2; 1), 1; ữ, ;1ữ 0,25 A 5im O2 N K H O1 M P B Q E E' I D O C a 0,75im ã a) Chng minh tia i ca tia MI l phõn giỏc ca HMK Vỡ ABC cõn ti A nờn ãABC = ãACB Gi tia i ca tia MI l tia Mx Ta cú t giỏc BIMK v t giỏc CIMH ni tip ã ã IMH = 1800 ãACB = 1800 ãABC = IMK ã ã ã ã KMx = 1800 IMK = 1800 IMH = HMx b 1,25im ã Vy Mx l tia phõn giỏc ca ca HMK b) T giỏc BIMK v CIMH ni tip ã ã ã ã KIM = KBM ; HIM = HCM ã ã ã ã ã PIQ = KIM + HIM = KBM + HCM 0,25 0,5 0,25 ẳ ã ã M KBM ( cựng bng sd BM ) = ICM ẳ ã ã ( cựng bng sdCM ) HCM = IBM 0,25 ã ã ã PIQ = ICM + IBM ã ã ã Ta li cú PMQ + ICM + IBM = 1800 ( tng ba gúc tam 0,25 giỏc) 0,25 ã ã PMQ + PIQ = 1800 Do ú t giỏc MPIQ ni tip c 1,0im ẳ ã ã ( cựng bng sd PM ) MQP = MIK ã ã ã M MIK ( vỡ cựng bng KBM ) = MCI ã ã PQ// BC MQP = MCI ằ ã ã c) Ta cú MHI ( cựng bng sd IM ) = MCI ã ã m MQP ( c/minh b) = MCI ẳ ã ã MQP = MHI = sd MQ Hai tia QP;QH nm khỏc phớa i vi QM PQ l tip tuyn ca ng trũn (O2) ti tiờp im Q (1) 0,5 0,25 Chng minh tng t ta cú PQ l tip tuyn ca ng trũn 0,25 (O1) ti tiờp im P (2) (1) v (2) PQ l tip tuyn chung ca ng trũn (O 1) v (O2) d) Gi E; Eln lt l giao im ca NM vi PQ v BC 0,5 Ta cú PE = EM EN ( vỡ PEM NEP ) QE2 = EM EN ( vỡ QEM NEQ ) PE2 = QE2 ( vỡ PE;QE >0) PE = QE S S d 1,0im 0,25 Xột MBC cú PQ // BC ( c/m b) nờn: EP EQ = ( nh lớ Ta Lột) E ' B E 'C M EP = EQ EB = EC ú E D 0,5 Suy N, M, D thng hng A P N O B H K M C T A v O k AH BC OK BC (H, K BC) AH // OK 2im OM OK = Nờn (1) AM AH S BOC OK BC OK = = S ABC AH BC AH (2) S BOC OM = (1) , (2) S ABC AM S AOC ON = Tng t : S ABC BN S AOB OP = S ABC CP Nờn OM ON OP S BOC S AOC S AOB + + = + + = (3) AM BN CP S ABC S ABC S ABC 0,25 0,25 0,75 Vi ba s dng a,b,c ta chng minh c: 1 + + ) a b c OM ON OP AM BN CP + + )( + + ) (4) Nờn ( AM BN CP OM ON OP (a+ b + c) ( T (3) ,(4) suy : AM BN CP + + (pcm) OM ON OP 0,75 Ghi chỳ: - Hng dn ch trỡnh by mt cỏc cỏch gii Mi cỏch gii khỏc nu ỳng cho im ti a theo tng cõu, tng bi - ỏp ỏn cú ch cũn trỡnh by túm tt, biu im cú ch cũn cha chi tit cho tng bc lp lun, bin i T giỏm kho cn tho lun thng nht trc chm - im ton bi khụng lm trũn s Đề thi chọn đội tuyển học sinh giỏi lớp Năm học 2008 - 2009 Thời gian: 120 phút Bài 1: Tính giá trị biểu thức sau P = 2009 + 2008 2009 2008 ( 2008 Q= )( ) 2014 20082 + 4016 2009 2005.2007.2010.2011 10a 3b + ab = 2a b 5b a + = Bài 2: Biết Chứng minh rằng: 3a b 3a + b b > a > Bài 3: Chứng minh với < 450, ta có sin2 = 2sin cos ã Bài 4: Cho tam giác ABC có ABC = 60 ; BC = a ; AB = c (a, c hai độ dài cho trớc) Hình chữ nhật MNPQ có đỉnh M cạnh AB, N cạnh AC, P Q cạnh BC đ ợc gọi hình chữ nhật nội tiếp tam giác ABC a/ Tìm vị trí M cạnh AB để hình chữ nhật MNPQ có diện tích lớn Tính diện tích lớn b/ Dựng hình vuông EFGH nội tiếp tam giác ABC thớc kẻ com-pa Tính diện tích hình vuông Bài 5: Cho iờm M thuục miờn tam giac ABC Cac tia AM, BM, CM ct cac canh cua tam giac ABC theo th t P, Q, R Chng minh rng: MP MQ MR + + =1 AP BQ CR MA MB MC + + =2 b) AP BQ CR a) Hết - Đề thi chọn đội tuyển học sinh giỏi lớp Thời gian: 120 phút Bài 1: Tính giá trị biểu thức sau P = 2009 + 2008 2009 2008 ( 2008 Q= )( ) 2014 20082 + 4016 2009 2005.2007.2010.2011 10a 3b + ab = 2a b 5b a + = Bài 2: Biết Chứng minh rằng: 3a b 3a + b b > a > Bài 3: Chứng minh với < 450, ta có sin2 = 2sin cos ã Bài 4: Cho tam giác ABC có ABC = 60 ; BC = a ; AB = c (a, c hai độ dài cho trớc) Hình chữ nhật MNPQ có đỉnh M cạnh AB, N cạnh AC, P Q cạnh BC đ ợc gọi hình chữ nhật nội tiếp tam giác ABC a/ Tìm vị trí M cạnh AB để hình chữ nhật MNPQ có diện tích lớn Tính diện tích lớn b/ Dựng hình vuông EFGH nội tiếp tam giác ABC thớc kẻ com-pa Tính diện tích hình vuông 19b - a 19c3 - b 19a - c3 Bài 5: Cho a, b, c > Chứng minh rằng: + + 3(a + b + c) ab + 5b cb + 5c2 ac + 5a Hết Hớng dẫn chấm Bài 1: Tính giá trị biểu thức sau P= 2009 + 2008 2009 2008 = Q= ( 2008 Q= ( )( ) 2014 20082 + 4016 2009 2005.2007.2010.2011 x x x + 2x ( x + 1) )( ) ( x ) ( x 1) ( x + ) ( x + ) = ( 2008 + ) ( 2008 ) =2 Đặt x = 2008, ( x + ) ( x ) ( x + ) ( x 1) ( x + ) ( x ) ( x 1) ( x + ) ( x + ) = x + = 2009 Bài 2: Ta có 10a2 - 3b2 + ab = 3(4a2 - b2) - a(2a - b) = 2a - b = b = 2a (2a - b)(5a + 3b) = 5a + 3b = 5a = -3b (loai) 2a b 5b a 2a 2a 10a a 9a + = + = = Với b = 2a 3a b 3a + b 3a 2a 3a + 2a 5a = Kẻ trung tuyến AM, đờng cao AH AMH ã = 900; C Bài 3: Xét ABC có A = a Đặt BC = a; AC = b; AB = c; AH = h; MA = MB = MC = m = A c b h Ta có sin = ; cos = ; sin2 = a a m c b 2bc 2ah 2h h = = sin2 Do 2sin cos = = = = a a a a a m C B Bài 4: M H a/ Đặt AM = x (0 < x < c) A MN AM ax x = MN = Ta có: BC AB c M N c x ( ) MQ = BM.sin60 = Suy diện tích MNPQ là: ax ( c - x ) a S= = x ( c - x) B 60 C 2c 2c P Q + Ta có bất đẳng thức: a+b a+b ab ab ữ (a > 0, b > 0) c c2 x+c-x áp dụng, ta có: x(c - x) ữ = Dấu đẳng thức xảy khi: x = c - x x = c a c ac ac Suy ra: S Vậy: S max = x = hay M trung điểm cạnh AB = 2c 8 b/ Giả sử dựng đợc hình vuông EFGH nội tiếp tam giác ABC Nối BF, đoạn BF lấy điểm F Dựng hình chữ nhật E'F'G'H' (E' AB;G', H' BC) E'F' BE' BF' F'G' = = = Ta có: E'F'// EF F'G'// FG, nên: EF BE BF FG E'F' = F'G' Do E'F'G'H' hình vuông + Cách dựng chứng minh: Trên cạnh AB lấy điểm E' tuỳ ý, dựng hình vuông E'F'G'H' (G', H' thuộc cạnh BC) Dựng tia BF' cắt AC F Dựng hình chữ nhật EFGH nội tiếp tam giác ABC Chứng minh tơng tự trên, ta có EF = FG, suy EFGH hình vuông BH' = cotg60 = + Ta có: ; A E'H' BG' BH' + H'G' BH' ã cotgF'BC = = = +1 = +1 F'G' F'G' E'H' F E Suy ra: Tia BF' cố định E' di động AB, cắt AC điểm F E' Vậy toán có nghiệm hình F' EF AE ax = EF = + Đặt AE = x Ta có ; B C BC AB c H' H G' G (c - x) HE = ( c - x ) sinB = ax (c - x) c2 EFGH hình vuông, nên EF = EH = x= c 2a + c 2 3a c 2 Suy diện tích hình vuông EFGH là: S = EF = 2a + c ( ) Bài 5: Ta có a + b - ab ab (a + b)(a + b - ab) ab(a + b) a + b ab(a + b) 2 a + 20b 19b + ab(a + b) 20b - ab(a + b) 19b - a b(20b - ab - a ) 19b - a b(20b - 5ab + 4ab - a ) 19b - a b[5b(4b - a) + a(4b - a)] 19b - a b(4b - a)(a + 5b) 19b - a (4b - a)(ab + 5b ) 19b - a 19b - a 4b - a ab + 5b 19c3 - b 19a - c3 4c b; 4a - c cb + 5c2 ac + 5a Từ ta có BĐT cần chứng minh Dấu = xảy a = b = c Tơng tự với a, b, c > thì: - Hết [...]... khi chm - im ton bi khụng lm trũn s Đề thi chọn đội tuyển học sinh giỏi lớp 9 Năm học 2008 - 2 009 Thời gian: 120 phút Bài 1: Tính giá trị của các biểu thức sau P = 2 009 + 2 2008 2 009 2 2008 ( 2008 2 Q= )( ) 2014 20082 + 4016 3 2 009 2005.2007.2010.2011 10a 3b 2 + ab = 0 2a b 5b a 9 + = Bài 2: Biết Chứng minh rằng: 3a b 3a + b 5 b > a > 0... trong tam giac ABC Cac tia AM, BM, CM ct cac canh cua tam giac ABC theo th t P, Q, R Chng minh rng: 2 MP MQ MR + + =1 AP BQ CR MA MB MC + + =2 b) AP BQ CR a) Hết - Đề thi chọn đội tuyển học sinh giỏi lớp 9 Thời gian: 120 phút Bài 1: Tính giá trị của các biểu thức sau P = 2 009 + 2 2008 2 009 2 2008 ( 2008 Q= 2 )( ) 2014 20082 + 4016 3 2 009 2005.2007.2010.2011 10a 3b 2 + ab = 0... Tính giá trị của các biểu thức sau P= 2 009 + 2 2008 2 009 2 2008 = Q= ( 2008 Q= ( 2 )( ) 2014 20082 + 4016 3 2 009 2005.2007.2010.2011 2 x x 6 x 2 + 2x 3 ( x + 1) )( ) ( x 3 ) ( x 1) ( x + 2 ) ( x + 3 ) = ( 2008 + 1 ) 2 ( 2008 1 ) 2 =2 Đặt x = 2008, khi đó ( x + 2 ) ( x 3 ) ( x + 3 ) ( x 1) ( x + 1 ) ( x 3 ) ( x 1) ( x + 2 ) ( x + 3 ) = x + 1 = 2 009 Bài 2: Ta có 10a2 - 3b2 + ab = 0 3(4a2