a Cho ba số thực a,b,c thỏa abc=1 .Chứng minh : b Cho tam giác ABC nhọn thỏa điều kiện Chứng minh rằng ABC là tam giác cân... HƯỚNG DẪN CHẤM VÀBIỂU ĐIỂM MÔN TOÁN Bài 1: 5 điểm.
Trang 1SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO ĐỒNG THÁP
KỲ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI LỚP 12 THPT CẤP TỈNH
NĂM HỌC 2007-2008.
Môn thi : Toán.
Ngày thi : 14/10/2007.
Thời gian làm bài : 180 phút (không kể phát đề).
(Đề thi gồm có 01 trang).
Bài 1: (5 điểm).
a) Tìm tất cả các số nguyên m sao cho phương trình x2 +(m2-m)x - m3+1= 0 có một
nghiệm nguyên
b) Giải bất phương trình
Bài 2: (5 điểm).
a) Giải phương trình 4sin25x-4sin2x+2(sin6x+sin4x)+1=0
b) Cho các số thực x1,x2,… ,xn thỏa mãn sin2x1+2sin2x2+…+nsin2xn= a ,với n là số nguyên
dương , a là số thực cho trước , Xác định các giá trị của x1,x2,… ,xn
sao cho tổng S= sin2x1+2sin2x2+…+nsin2xn đạt giá trị lớn nhất và tìm giá trị lớn nhất này theo a và n
Bài 3: (4 điểm).
a) Cho ba số thực a,b,c thỏa abc=1 Chứng minh :
b) Cho tam giác ABC nhọn thỏa điều kiện
Chứng minh rằng ABC là tam giác cân.
Bài 4: (2 điểm).
Cho tam giác ABC ,trên các cạnh BC,CA,AB lần lượt lấy các điểm A’,B’,C’ sao cho AA’,BB’ và CC’ đồng qui tại điểm M.Gọi S1,S2 và S3 lần lượt là diện tích của các tam giác
MBC,MCA ,MAB và đặt .
Chứng minh rằng: (y+z-1) S1+(x+z-1)S2 +(x+y-1)S3 =0
Bài 5: (2 điểm).
Cho dãy {un} , n là số nguyên dương , xác định như sau : .
Tính un và chứng minh rằng u1+u2+…+ un
Bài 6: (2 điểm).
Cho đa thức f(x)=x3+ax2+bx+b có ba nghiệm x1,x2,x3 và đa thức g(x)=x3+bx2+bx+a Tính tổng S=g(x1)+g(x2)+g(x3) theo a,b Hết.
Đề chính thức
2 ) 1 2 ( log 1 3 ) 1 2 ( log2 − x+ + − 2 + x ≤
2
) 1 (
0≤ ≤n n+
a
cot ) 2 ( cot 2 cot
) 2 ( cot 2
) cot 2 (cot cot
gB B
A g gB
B A g
gB gA
gA
−
+
= +
+ +
z MC
MC y MB
MB x MA
MA'= , '= , ' =
>
− +
=
=
+ 0
1 1
1
2 1
1
n
n
n n
u
u
u u
u
] ) 2
1 ( 1 [ 4
2
3 ) (
1 )
(
1 )
(
1
2 2 6 2 2 6 2 2
+
+ +
+
b a
Trang 2SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO ĐỒNG THÁP
KỲ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI LỚP 12 THPT CẤP TỈNH
NĂM HỌC 2007-2008.
HƯỚNG DẪN CHẤM VÀBIỂU ĐIỂM MÔN TOÁN Bài 1: (5 điểm).
a)(3 điểm) + Biến đổi:
x(x+m 2 )-m(x+m 2 )=-1.
+ (x+m 2 )(x-m)=-1.
+ (a)
hoặc (b)
+Giải (a) m=1 hoặc m=-2.
+Giải (b) vô nghiệm.
+Vậy m=1 hoặc m=-2.
0.5 0.5 0.5
0.5 0.5 0.5
b)(2 điểm) + Biến đổi:
(1) +Vì
nên +
+Vậy
0.5 0.5
0.5 0.5
−=
−
=
+
1
1
2
m x
m x
=
−
−=
+
1
1
2
m x
m x
2 1 ) 1 2 ( log 3 ) 1 2 ( log2 − x + + 2 + x− ≤
B A B A
x
x+ + + − = + ≥ +
2 (
⇔
≥
− + +
− 1 ) 3 )(log ( 2 1 ) 1 ) 0 2
(
⇔
≥
− + +
+
− log ( 2 1 ) 3 )(log ( 2 1 ) 1 ) 0
3 ) 1 2 ( (log
2 log 3 2
log 2+1 ≤x≤ 2+1
Trang 3Bài 2: (5 điểm).
a)(2 điểm) + Biến đổi 4sin 2 5x+1-sin 2 x+4sin5xcosx=3sin 2 x
4sin 2 5x+4sin5xcosx+cos 2 x=3sin 2 x (2sin5x+cosx) 2 =3sin 2 x
+
+
+Vậy nghiệm hoặc hoặc Hoặc
0.5
0.5 0.5
0.5
b)(3 điểm) + Biến đổi
+Bất đẳng thức Bunhiacopxki ,ta có:
+ +
+Dấu = xãy ra khi hay
hay
0.5
0.5 0.5 0.5
0.5
>
+ + +
=
=
=
0 2 sin
sin
sin 2 sin
2 2
2 1
2
2 1
i
n n
x
x n x
x
tgx tgx
tgx
3
4
=
x
) cos sin
cos 2 sin 2 cos
(sin
2 x1 x1 x2 x2 n x n n x n
) cos
cos 2 )(cos sin
sin 2 (sin
2 2 1
2 2
2 2 1
2
n
x n x
x
) sin
sin 2 2 sin 1 (
2 2 1
2
n
x n n x
x a
)]
sin
sin 2 (sin
)
2 1 [(
2 2 1
2
n
x n x
x n
a
] 2
) 1 ( [
n
n
x n
x n x
x x
x
cos
sin
cos 2
sin 2 cos
sin
2
2 1
≤
≤
= +
=
=
=
= π α α
i
n
x
a n
n
x x
x
2 0
sin 2
)1 (
2
2 1
⇔
⇔
⇔
⇔
±
=
5 sin 2
⇔
−
±
2
1 sin 2
3 5
sin
) 6
5 sin(
5 sin
) 6 sin(
5 sin
π
π
−
=
−
=
x x
x x
2 24
π
π k
x= − +
3 36
7π kπ
x= +
2 24
5π kπ
x= − +
3 36
11π kπ
x= +
Trang 4
+ Vậy Max S=
khi
0.5
Bài 3: (4 điểm).
a)(2 điểm)
+
+
+
+ Aùp dụng bất đẳng thức Bunhiacopxki ,ta có
Suy ra đpcm
0.5
0.5 0.5 0.5
≤
≤
+
=
=
=
=
=
2 0
) 1 (
2 sin
2 1
π α α
α
n n a
x x
] 2
) 1 ( [
2 a n n+ −a
≤
≤
+
=
=
=
=
=
2 0
) 1 (
2 sin
2 1
π α α
α
n n a
x x
2
3 2
3 2
) (
) (
) (
) (
) ) (
1 )
(
1 )
(
1 (
) (
) (
) 1 1 1 (
)
1
1
1 (
)) (
) (
) (
)(
) (
1 )
(
1 )
(
1 (
3 4 4 4 2
2 2 2 2 2
2 2 2 2 2 2 2 2 2
2 2 2 2 2 2 2 2
2 6 2 2 6 2 2 6
2 2 2 2 2 2 2
2 2
2 2
2 2 2 2 2 2
2 2 2 2
2 2 2 2 2 3 2 2 2 2 3 2 2 2 2 3
2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 6 2 2 6 2 2 6
=
≥ + +
=
= + +
+ +
+
+ +
≥ +
+ +
+ +
⇒ +
+
=
+ +
=
+ +
=
= + +
+ + +
+ + +
≥
≥ + +
+ +
+ +
+ +
+ +
c b a b
a a c c b
b a c a c b c b a
b a a c c b b
a c a c b c b a
b a a c c b
c b a
b a a c c b
c b a
b a c b a c a c b a c b c b a c b a
b a c a c b c b a b a c a c b c b a
Trang 5Câu Đáp án Điểm b)(2 điểm) +Biến đổi ,ta có
+Biến đổi vế trái
+
+ Dấu = xãy ra khi cos(A-B)=1 hay A=B vậy tam giác ABC cân tại C.
0.5
0.5 0.5 0.5
Bài 4: (2 điểm).
2 điểm + Gọi S là diện tích tam giác ABC,ta có
Ta có +Suy ra
+Suy ra +Tương tự
vậy (y+z-1) s 1 +(x+z-1)s 2 +(x+y-1)s 3 =0
0.5 0.5
0.5
0.5
) 2 ( cot 2 cot
cot ) 2 ( cot 4 ) cot
g gB
gA B
A g gB
) cos(
1
) sin(
2 ) cos(
) cos(
) sin(
2 sin
sin
) sin(
cot cot
B A
B A B
A B
A
B A B
A
B A gB
gA
+
−
+
≥ +
−
−
+
=
+
= +
2
) ( cot 2 2
) ( sin 2
2
) ( cos 2
) ( sin 4 cot
cot
2
B A g B
A
B A B
A gB
+
+ +
≥ +
3 2
S
'
' '
' 1
1
MA
AA s
s AA
MA s
x MA
MA MA
MA AA s
s
' '
' ' 1
−
) ( 2 3 1
3 2
1 1
s s
s x s s
+
⇒
=
−
) (
),
) ( ) ( )
3 2
s
S= + + = + + + + +
Trang 6Bài 5: (2 điểm).
2 điểm +Đặt
ta có
+Vì
mà +
+ Suy ra đpcm
0.5
0.5
0.5 0.5
Bài 6: (2 điểm).
2 điểm +Theo định lý Vi ét,ta có
p 1 =x 1 +x 2 +x 3 =-a ; p 2 =x 1 x 2 +x 2 x 3 +x 3 x 1 =b, p 3 =x 1 x 2 x 3 =-b.
+Ta có
+ +
0.5
0.5 0.5 0.5
Chú ý : học sinh có thể đưa ra phương án giải quyết vấn đề khác nếu kết quả
đúng ,hợp lô gíc khoa học vẫn cho điểm tối đa của phần đó.
Hết
2 0
,
α > < <
=tg
u n
2 cos
sin
1 cos
1 1
1 2
α α
α α
tg
tg
α α π
α < ⇒ <tg
<
2 0
n
s = 1+ 2+ +
n
u tg
u tg
tg u
2 2
, , 2 2 2
2 4
1
π π
π
=
=
) ) 2
1 ( 1 ( 4 1 ) 2
1
2
1 ( 2
1 2 2
2 2 1
2 2
2 2 2 2
1 2
2
2
−
− +
= + + +
= +
+ +
≥
≥ +
+ +
=
n n
n
n
s
π π
π π
π π
π
b ab a p p p p x x x
b a p p x x x
3 3 3
3
2 2
3 3 2 1
3 1
3 3
3 2
3 1
2 2
2 1
2 3
2 2
2 1
− +
−
= +
−
= + +
−
=
−
= + +
a x x x b x x x b x x x
S ( ) ( 2 ) ( 1 2 3) 3
3
2 2
2 1
3 3
3 2
3
=
) 3 2 )(
(
3 ) ( ) 2 ( ) 3 3 (
2
2 3
+ +
−
−
=
+
− +
− +
− +
−
=
b a b a S
a a b b a b b ab a
S