ĐỀ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI TỈNH NAM ĐỊNH

ĐỀ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI TỈNH NAM ĐỊNH Môn Toán Năm học : 2010 – 2011 Thời gian : 180 phút Ngày 24/12/2010 ( Vòng 1 ) Bài 1 : Cho , ,a b c là độ dài ba cạnh của một tam giác. Chứng minh bất đẳng thức 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 a b b c c a a b b c c a a c b a c b a c b a c b + + + + + + + + ≥ + + + + + + + + . Bài 2 : Gọi D là trung điểm cạnh BC của tam giác ABC và E,Z lần lượt là hình chiếu của D trên AB,AC. Giả sử T là giao điểm của các tiếp tuyến tại E,Z với đường tròn đường kính AD. Chứng minh rằng TB = TC. Bài 3 : Tìm tất cả hàm :f →¡ ¡ thỏa mãn với mọi số thực ,x y th 2 ( ( )) ( f ( ))f xf x y f y x x+ = + . Bài 4 : Chứng minh rằng tồn tại vô hạn bộ số nguyên dương ( , , , )x y z t thỏa mãn hai số bất kì trong chúng đều nguyên tố cùng nhau và 3 3 2 4 y z tx + + = . Bài 5 : Cho 2010 điểm 1 2 2010 , , .,A A A trong mặt phẳng và một đường tròn bán kính 1 tùy ý, chứng minh rằng tồn tại một điểm S trên đường tròn đó sao cho 1 2 2010 . 2010SA SA SA + + + ≥ . ĐỀ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI TỈNH NAM ĐỊNH Môn Toán Năm học : 2010 – 2011 Thời gian : 180 phút Ngày 24/12/2010 ( Vòng 2 ) Bài 6 : Một hàm f được gọi là rất lồi nếu nó thỏa mãn : ( ) ( ) ( ) | | 2 2 f x f y x y f x y + + ≥ + − với mọi số thực ,x y . Tìm tất cả các hàm rất lồi. Bài 7 : Gọi M là giao điểm của hai đường chéo AC và BD trong tứ giác lồi ABCD. Phân giác của góc ACD cắt cạnh BA tại K. Nếu MA.MC + MA.CD = MB.MD, chứng minh rằng góc BKC bằng góc CDB. Bài 8 : Tìm tất cả hàm : (0, ) (0, )f +∞ → +∞ thỏa mãn với mọi số dương w, , ,x y z thỏa mãn wx yz = thì 2 2 2 2 2 2 2 2 ( ) ( ) ( ) ( ) f w f x w x f y f z y z + + = + + . Bài 9 : Tìm giá trị nhỏ nhất của n sao cho tồn tại n số nguyên dương thỏa mãn tổng các lũy thừa bậc 4 của chúng có giá trị là 1998. Bài 10 : Tìm tất cả các cặp số nguyên dương ( , )x y thỏa mãn y x y x > . . ĐỀ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI TỈNH NAM ĐỊNH Môn Toán Năm học : 2010 – 2011 Thời gian : 180 phút Ngày 24/12/2010. tròn đó sao cho 1 2 2010 . 2010SA SA SA + + + ≥ . ĐỀ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI TỈNH NAM ĐỊNH Môn Toán Năm học : 2010 – 2011 Thời gian : 180 phút Ngày 24/12/2010