De thiDap an hoc sinh gioi Thai Binh09

Trªn ®©y chØ lµ c¸c bíc gi¶i vµ khung ®iÓm b¾t buéc cho tõng bíc theo giíi hạn chơng trình đến tuần 25 của lớp 9; yêu cầu thí sinh phải trình bày, lập luận và biến đổi hợp lí mới đợc côn[r]

Së Gi¸o dôc - §µo t¹o Th¸i B×nh §Ò thi chän häc sinh giái líp THCS n¨m häc 2008-2009 đề chính thức M«n: To¸n Thời gian làm bài: 150 phút (không kể thời gian giao đề) Bµi (3 ®iÓm) x  y2   Cho x, y lµ c¸c sè nguyªn kh¸c tháa m·n y  x  lµ sè nguyªn Chøng minh r»ng x2y22  chia hÕt cho x + Bµi (3 ®iÓm) T×m ®a thøc bËc cã c¸c hÖ sè lµ sè nguyªn nhËn x = 75  lµ mét nghiÖm Bµi (3 ®iÓm) Gi¶i ph¬ng tr×nh sau:  x  3   x   12  x   x 28 Bµi (3 ®iÓm)  x  0; y  0; z     xy  yz  zx  Cho: T×m gi¸ trÞ nhá nhÊt cña biÓu thøc sau: A x  14y2  10z  2y Bµi (3 ®iÓm) Cho tam giác ABC nhọn, ngoại tiếp đờng tròn tâm O Chứng minh rằng: OA OB2 OC   1 AB.AC BA.BC CA.CB Bµi (3 ®iÓm) Cho tam giác ABC đều, có độ dài cạnh là Trên cạnh BC lấy điểm D không trùng với B và C Gọi r1 là bán kính đờng tròn nội tiếp tam giác ABD; r là bán kính đờng tròn nội tiếp tam giác ACD Xác định vị trí điểm D để r1.r2 đạt giá trị lớn Bµi (2 ®iÓm) Cho 2009 ®iÓm kh¸c n»m bªn h×nh ch÷ nhËt cã chiÒu dµi 251cm vµ chiÒu réng 4cm VÏ 2009 h×nh trßn nhËn c¸c ®iÓm trªn lµm t©m vµ cã cïng b¸n kÝnh lµ cm Chøng minh r»ng tån t¹i Ýt nhÊt h×nh trßn sè chóng chøa Ýt nhÊt ®iÓm 2009 ®iÓm nãi trªn - HÕt - Hä vµ tªn thÝ sinh: Sè b¸o danh: Së Gi¸o dôc - §µo t¹o Th¸i B×nh K× thi chän häc sinh giái N¨m häc 2008-2009 Híng dÉn chÊm vµ biÓu ®iÓm M¤N to¸n (Gåm 06 trang) Bµi Bµi (3 ®) Néi dung x2  a  y 1 b §iÓm  a; b;c;d  Z; (a; b) 1; (c;d) 1; b  0; d       y2  c  §Æt x  d x  y  a c ad  bc     k y  x  b d bd XÐt (k  Z)   ad + bc = bdk  ad + bc : b  ad b  d  b (v× (a; b) = 1) T¬ng tù cã b  d Tõ (1) (2)  b = d a c x  y2      x  1  y  1 m b d y  x  XÐt (m Z v× x; yZ) 0,25 (1) (2) (3) 0,25 0,25 0,25  ac = mbd  ac : b  c  b (v× (a;b) = 1) Tõ (3) (4)  c  d Vµ (c ; d) = (5) (6)  d =  (y2 - 1)  (x + 1) XÐt x2y22 - = x2 (y22 - 1) + x2 - Cã y22 -  y2 - Tõ (7) (8)  y22 -  x +  x2(y2 - 1)  x + (4) 0,25 (5) (6) (7) 0,25 (8) (9) 0,25 Cã x2 -  x + (10) 0,25 §Æt a = , b = a  b x   ab 1 7 0,25 0,25 0,25 Tõ (9) (10)  x2y22 -  x + Bµi (3 ®) 0,25 a3 + b3 = (a + b) (a2 - ab + b2) = (a + b) [(a + b)2 - 3ab] = x (x2 - 3) = x3 - 3x 4 2 2 a + b = (a + b ) - 2(ab) = [(a + b2) - 2ab]2 - 2(ab)2 = (x2 - 2)2 - = x4 - 4x2 + 34  x  x 15 (a3 + b3)(a4 + b4) = a7 + b7 + (ab)3(a + b) = (a3 + b3)(a4 + b4) = (x3 - 3x) (x4 - 4x2 + 2) = x7 - 3x5 - 4x5 + 12x3 + 2x3 - 6x = x7 - 7x5 + 14x3 - 6x 34 x (1) (2)  x7 - 7x5 + 14x3 - 6x = 15  15x7 - 105x5 + 210x3 - 90x = 34 + 15x  15x7 - 105x5 + 210x3 - 105x - 34 = 0,25 0,25 0,25 0,25 0,25 0,25 0,25 (1) (2) 0,25 0,25 Bµi Néi dung §iÓm Ta thÊy 15x7 - 105x5 + 210x3 - 105x - 34 nhËn x = + lµ nghiÖm 15x7 - 105x5 + 210x3 - 105x - 34 cã tÊt c¶ c¸c hÖ sè lµ sè nguyªn  15kx7 - 105 kx5 + 210kx3 - 105kx - 34k (k lµ sè nguyªn kh¸c kh«ng) Là đẳng thức cần tìm Bµi (3 ®)  x  3   x   12  x   x 28 0,25 (1) (2) 0,25 0,25  x   31 (tháa m·n §KX§) XÐt u - v = -1  v = u + (4  x)(12  x) Thay trë l¹i ta cã =x+4  x   48  8x  x x  8x  16  0,25 0,25  x    x   32 hoÆc  x   (tháa m·n §KX§) 0,25 0,25 x   KÕt luËn: Ph¬ng tr×nh cã tËp nghiÖm: S = 0,25 0,25 0,25 XÐt u - v =  v = u - (4  x)(12  x) Thay trë l¹i ta cã =x+2  x  0  48  8x  x x  4x    x   x  6x  22 0   x    x  3 31    x   x   31 hoÆc x   31    x   x     0,25 0,25 (*) §KX§: -12  x  §Æt x + = u (4  x)(12  x) =v  u2 + v2 = x2 + 6x + + 48 - 8x - x2 = 57 - 2x  u2 + v2 - = 56 - 2x = 2(28-x) Cã u.v = 28 - x Tõ (1) (2) cã u2 + v2 - = 2uv  (u + v)2 =  u  v 1    u  v   x    x  8x  16 0   0,25 0,25   3 31;    0,25 Bµi Bµi (3 ®) Néi dung §iÓm x2 Cã x >  > ; y >  8y2 > x2 áp dụng bất đẳng thức Co-si cho số dơng và 8y2 ta có: x2  8y 2  xy 0,25 (1) x  8z 4xz 2(y2 + z2)  4yz T¬ng tù 0,25 (2) (3) 2y XÐt A = x2 + 14y2 + 10z2 -  x2  x2 2 2 2   8y     8z    y  z   4y  2y    = XÐt 4y2 - 2y +9 = =  2y  1 0 ;   4y  (4) 0,25 0,25 (5)   4y  1  2y  2y 1   2y  1  2   0,25 2y   2y  0  4y  2y  6 Cã Tõ (5) vµ (6)  A   x  0; y  0; z    xy  yz  xz    x2  8y 2  x 2  8z 2  y z   2y  0  2y  0   A =    y 2   z    x 2    0,25 2y Tõ (1) (2) (3) vµ (4) cã: A  4(xy + xz + yz) + 4y2 - 2y Cã xy + xz + yz =  A  + 4y2 - 0,25 (6) (7) 0,25 0,25 0,25 0,25 (8) Bµi Tõ (7) (8) cã Amin =  Bµi (3 ®) Néi dung §iÓm 1 ;  2 0,25  x; y; z   2;  Gäi E; F; P lÇn lît lµ tiÕp ®iÓm cña (O) víi c¹nh AB; AC; BC A  AEO = AFO = 90o (t/c tiÕp tuyÕn)  A ; E ; F ; O thuộc đờng tròn đờng kính AO Gäi A1 lµ trung ®iÓm AO  A1 là tâm đờng tròn đờng kính AO Cã BAC nhän  BAC = EA1F (hq gãc nt) sin EA1I = EA1F (I lµ giao ®iÓm cña AO vµ EF)  sin BAC = EA1I  sin EF = AO sinBAC T¬ng tù EP = BO sinABC FP = CO sinACB H A1 E F 0,25 I O B P C C 0,25 0,25 0,25  EF.AO + EP.BO + FP.CO = AO2sinBAC + BO2sinABC+CO2sinACB Cã AO  EF (suy tõ tÝnh chÊt tiÕp tuyÕn c¾t nhau)  2SAEOF = AE.AO T¬ng tù 2SBEOP = EP.BO 2SCFOP = EP.CO  2SABC = AE.AO + EP.BO + FP.CO (O n»m ABC) (3) (4) 0,25 0,25 Tõ (3) (4)  AO2sinBAC + BO2sinABC+CO2sinACB = 2SABC 2SABC BH.AC 2S  sin BAC  ABC  BH ABsin BAC AB.AC KÎ BH  AC   2S 2S sin ABC  ABC sin ACB  ABC BA.BC CA.CB T¬ng tù cã (5) 0,25 AO 0,25 0,25 0,25 (6) 2SABC 2S 2S  BO ABC  CO ABC 2SABC AB.AC BA.BC CA.CB 0,25 Tõ (5) vµ (6)  AO BO2 CO   1 AB.AC BA.BC CA.CB 0,25 Bµi (3 ®) A §Æt BD = x  CD = - x (0 < x < 1) KÎ DE  AB XÐt BED vu«ng t¹i E cã EBD = 60o; BD = x x x  BE = , DE = DEA vu«ng t¹i E  AD2 = AE2 + DE2 E B 0,25 D C 0,25 Bµi Néi dung  x x 3            AD =  AD = §iÓm 0,25 x  x 1  AB  BD  DA  x  x  x 1 r1 SABD r1  2  DE.AB x  SABD   Cã SABD = x   r =  x  x  x 1 0,25 0,25 0,25  1  x  T¬ng tù cã: r2 = XÐt r1.r2 = 1 x 1 x      x  1 1 x  2  x  x  x 1 0,25 x 1 x    x    x     x   x  x  x 1  x  x 1 x 1 x   2 =  x  x  x  x 1  x  x 1 x 1 x   x  x 1 =    2  x  x   x  x 1  1 x2  x  =     x    2     1   = 0,5 1 1 3    x   0 x    2 2 4 Cã     1 3  x    2  1  2 XÐt r1.r2 = 1 3   x    1  2   r1.r2  1 0 x 2    D lµ trung ®iÓm cña BC (tháa m·n) 2 0,25 (1) x 2 Tõ (1) (2) ta cã: §Ó (r1.r2) max = cña BC (2) 0,25 th× vÞ trÝ cña D cÇn t×m lµ: D lµ trung ®iÓm 0,25 Bµi Bµi (3 ®) Néi dung Chia h×nh ch÷ nhËt cã chiÒu dµi 251cm, chiÒu réng 4cm thµnh 1004 hình vuông có độ dài cạnh là 1cm §iÓm 2  2009 điểm phân biệt nằm bên hình chữ nhật chứa 1004 hình vuông có độ dµi c¹nh lµ 1cm  Tồn ít hình vuông có độ dài cạnh là 1cm chứa ít điểm 2009 điểm đã cho (Di-rich-le) (1) Hình vuông có độ dài cạnh là 1cm  Khoảng cách lớn điểm thuộc miền h×nh vu«ng lµ cm Không tính tổng quát, giả sử điểm đó là A, B, C  AB  cm AC  cm  A; B; C thuéc h×nh trßn t©m A b¸n kÝnh cm (2) Tõ (1) (2) chøng tá r»ng tån t¹i Ýt nhÊt h×nh trßn cã t©m lµ mét 2009 ®iÓm đã cho, có bán kính cm chứa ít điểm 2009 điểm đã cho Chó ý: Trªn ®©y chØ lµ c¸c bíc gi¶i vµ khung ®iÓm b¾t buéc cho tõng bíc theo giíi hạn chơng trình đến tuần 25 lớp 9; yêu cầu thí sinh phải trình bày, lập luận và biến đổi hợp lí đợc công nhận cho điểm Những cách giải khác đúng cho điểm tối đa theo biểu điểm ChÊm tõng phÇn §iÓm toµn bµi lµ tæng c¸c ®iÓm thµnh phÇn kh«ng lµm trßn 0,25 0,25 0,25 0,25 0,25 0,25 0,25 0,25