Đề thi-Đáp án học sinh giỏi Thái Bình09

Sở Giáo dục - Đào tạo Thái Bình Đề thi chọn học sinh giỏi lớp 9 THCS năm học 2008-2009 Môn: Toán Thời gian làm bài: 150 phút (không kể thời gian giao đề) Bài 1. (3 điểm) Cho x, y là các số nguyên khác 1 thỏa mãn 2 2 x 1 y 1 y 1 x 1 + + + là số nguyên. Chứng minh rằng x 2 y 22 1 chia hết cho x + 1. Bài 2. (3 điểm) Tìm đa thức bậc 7 có các hệ số là số nguyên nhận x = 7 7 3 5 5 3 + là một nghiệm. Bài 3. (3 điểm) Giải phơng trình sau: ( ) ( ) ( ) x 3 . 4 x 12 x x 28+ + + = Bài 4. (3 điểm) Cho: x 0; y 0; z 0 9 xy yz zx 4 > > > + + = Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức sau: 2 2 2 A x 14y 10z 4 2y= + + Bài 5. (3 điểm) Cho tam giác ABC nhọn, ngoại tiếp đờng tròn tâm O. Chứng minh rằng: 2 2 2 OA OB OC 1 AB.AC BA.BC CA.CB + + = Bài 6. (3 điểm) Cho tam giác ABC đều, có độ dài cạnh là 1. Trên cạnh BC lấy điểm D không trùng với B và C. Gọi r 1 là bán kính đờng tròn nội tiếp tam giác ABD; r 2 là bán kính đờng tròn nội tiếp tam giác ACD. Xác định vị trí của điểm D để r 1 .r 2 đạt giá trị lớn nhất. Bài 7. (2 điểm) Cho 2009 điểm khác nhau nằm bên trong hình chữ nhật có chiều dài 251cm và chiều rộng 4cm. Vẽ 2009 hình tròn nhận các điểm trên làm tâm và có cùng bán kính là 2 cm. Chứng minh rằng tồn tại ít nhất 1 hình tròn trong số chúng chứa ít nhất 3 điểm trong 2009 điểm nói trên. --- Hết --- Họ và tên thí sinh: Số báo danh: đề chính thức Sở Giáo dục - Đào tạo Thái Bình Kì thi chọn học sinh giỏi Năm học 2008-2009 Hớng dẫn chấm và biểu điểm MÔN toán (Gồm 06 trang) Bài Nội dung Điểm Bài 1 (3 đ) Đặt 2 2 x 1 a y 1 b a;b;c;d Z; (a;b) 1; (c;d) 1; b 0; d 0 y 1 c x 1 d = + = = > > ữ = + 0,25 Xét 2 2 x 1 y 1 a c ad bc k y 1 x 1 b d bd + + = + = = + + (k Z) ad + bc = bdk ad + bc : b ad M b d M b (vì (a; b) = 1) (1) 0,25 Tơng tự có b M d (2) 0,25 Từ (1) (2) b = d (3) 0,25 Xét ( ) ( ) 2 2 a c x 1 y 1 x 1 y 1 m b d y 1 x 1 ì = ì = = + + (m Z vì x; yZ) 0,25 ac = mbd ac : b c M b (vì (a;b) = 1) (4) 0,25 Từ (3) (4) c M d (5) 0,25 Và (c ; d) = 1 (6) (5) (6) d = 1 (y 2 - 1) M (x + 1) (7) 0,25 Xét x 2 y 22 - 1 = x 2 (y 22 - 1) + x 2 - 1 0,25 Có y 22 - 1 M y 2 - 1 (8) Từ (7) (8) y 22 - 1 M x + 1 x 2 (y 2 - 1) M x + 1 (9) 0,25 Có x 2 - 1 M x + 1 (10) 0,25 Từ (9) (10) x 2 y 22 - 1 M x + 1 0,25 Bài 2 (3 đ) Đặt a = 7 3 5 , b = 7 5 3 a b x ab 1 + = = 0,25 0,25 a 3 + b 3 = (a + b) (a 2 - ab + b 2 ) = (a + b) [(a + b) 2 - 3ab] = x (x 2 - 3) = x 3 - 3x 0,25 0,25 a 4 + b 4 = (a 2 + b 2 ) 2 - 2(ab) 2 = [(a + b 2 ) - 2ab] 2 - 2(ab) 2 = (x 2 - 2) 2 - 2 = x 4 - 4x 2 + 2 0,25 0,25 (a 3 + b 3 )(a 4 + b 4 ) = a 7 + b 7 + (ab) 3 (a + b) = 3 5 34 x x 5 3 15 + + = + (1) 0,25 (a 3 + b 3 )(a 4 + b 4 ) = (x 3 - 3x) (x 4 - 4x 2 + 2) = x 7 - 3x 5 - 4x 5 + 12x 3 + 2x 3 - 6x = x 7 - 7x 5 + 14x 3 - 6x (2) 0,25 (1) (2) x 7 - 7x 5 + 14x 3 - 6x = 34 x 15 + 15x 7 - 105x 5 + 210x 3 - 90x = 34 + 15x 15x 7 - 105x 5 + 210x 3 - 105x - 34 = 0 0,25 Bài Nội dung Điểm Ta thấy 15x 7 - 105x 5 + 210x 3 - 105x - 34 nhận x = 7 3 5 + 7 5 3 là nghiệm 15x 7 - 105x 5 + 210x 3 - 105x - 34 có tất cả các hệ số là số nguyên 0,25 0,25 15kx 7 - 105 kx 5 + 210kx 3 - 105kx - 34k (k là số nguyên khác không) Là đẳng thức cần tìm 0,25 Bài 3 (3 đ) ( ) ( ) ( ) x 3 . 4 x 12 x x 28+ + + = (*) ĐKXĐ: -12 x 4 0,25 Đặt x + 3 = u (4 x)(12 x) + = v u 2 + v 2 = x 2 + 6x + 9 + 48 - 8x - x 2 = 57 - 2x u 2 + v 2 - 1 = 56 - 2x = 2(28-x) (1) 0,25 Có u.v = 28 - x (2) 0,25 Từ (1) (2) có u 2 + v 2 - 1 = 2uv (u + v) 2 = 1 u v 1 u v 1 = = 0,25 0,25 Xét u - v = 1 v = u - 1 Thay trở lại ta có (4 x)(12 x) + = x + 2 0,25 2 2 x 2 0 48 8x x x 4x 4 + = + + 2 x 2 x 6x 22 0 + = ( ) 2 x 2 x 3 31 + = x 2 x 3 31 x 3 31 = + = 0,25 x 3 31= + (thỏa mãn ĐKXĐ) 0,25 Xét u - v = -1 v = u + 1 Thay trở lại ta có (4 x)(12 x) + = x + 4 0,25 2 2 x 4 48 8x x x 8x 16 = + + ( ) 2 2 x 4 x 4 x 8x 16 0 x 4 32 + = + = x 4 x 4 4 2 x 4 4 2 = + = x 4 4 2= + (thỏa mãn ĐKXĐ) 0,25 0,25 Kết luận: Phơng trình có tập nghiệm: S = { } 3 31; 4 4 2 + + 0,25 hoặc hoặc Bài Nội dung Điểm Bài 4 (3 đ) Có x > 0 2 x 2 > 0 ; y > 0 8y 2 > 0 áp dụng bất đẳng thức Co-si cho 2 số dơng 2 x 2 và 8y 2 ta có: 2 2 x 8y 2 + 4 xy (1) 0,25 Tơng tự 2 2 x 8z 4xz 2 + (2) 2(y 2 + z 2 ) 4yz (3) 0,25 0,25 Xét A = x 2 + 14y 2 + 10z 2 - 4 2y = ( ) 2 2 2 2 2 2 2 x x 8y 8z 2 y z 4y 4 2y 2 2 + + + + + + ữ ữ (4) 0,25 Từ (1) (2) (3) và (4) có: A 4(xy + xz + yz) + 4y 2 - 4 2y 0,25 Có xy + xz + yz = 9 4 A 9 + 4y 2 - 4 2y (5) 0,25 Xét 4y 2 - 4 2y + 9 = ( ) ( ) 2 4y 4y 1 2 2y 2 2y 1 6 + + + + = ( ) ( ) 2 2 2y 1 2 2y 1 6 + + 0,25 Có ( ) ( ) 2 2 2 2y 1 0 ; 2 2y 1 0 4y 4 2y 9 6 + (6) 0,25 Từ (5) và (6) A 6 (7) 0,25 A = 6 2 2 2 2 2 2 x 0; y 0; z 0 9 xy yz xz 4 x 8y 2 x 8z 2 y z 2y 1 0 2y 1 0 > > > + + = = = = = = 1 y 2 1 z 2 x 2 = = = (8) 0,25 0,25 Từ (7) (8) có A min = 6 ( ) 1 1 x; y;z 2; ; 2 2 = ữ 0,25 Bài 5 Gọi E; F; P lần lợt là tiếp điểm của (O) với cạnh AB; AC; BC 0,25 Bµi Néi dung §iÓm (3 ®) ⇒ AEO = AFO = 90 o (t/c tiÕp tuyÕn) ⇒ A ; E ; F ; O thuéc ®êng trßn ®êng kÝnh AO Gäi A 1 lµ trung ®iÓm AO ⇒ A 1 lµ t©m ®êng trßn ®êng kÝnh AO Cã BAC nhän ⇒ BAC = 1 2 EA 1 F (hq gãc nt) sin EA 1 I = 1 2 EA 1 F (I lµ giao ®iÓm cña AO vµ EF) ⇒ sin BAC = EA 1 I ⇒ sin EF = AO sinBAC T¬ng tù EP = BO sinABC FP = CO sinACB 0,25 0,25 ⇒ EF.AO + EP.BO + FP.CO = AO 2 sinBAC + BO 2 sinABC+CO 2 sinACB (3) 0,25 Cã AO ⊥ EF (suy ra tõ tÝnh chÊt 2 tiÕp tuyÕn c¾t nhau) ⇒ 2S AEOF = AE.AO 0,25 T¬ng tù 2S BEOP = EP.BO 2S CFOP = EP.CO 0,25 ⇒ 2S ABC = AE.AO + EP.BO + FP.CO (O n»m trong ∆ABC) (4) 0,25 Tõ (3) (4) ⇒ AO 2 sinBAC + BO 2 sinABC+CO 2 sinACB = 2S ABC (5) 0,25 KÎ BH ⊥ AC ⇒ ABC ABC 2S BH.AC 2S sin BAC BH ABsin BAC AB.AC =  ⇒ =  =  0,25 T¬ng tù cã ABC 2S sin ABC BA.BC = ABC 2S sin ACB CA.CB = (6) 0,25 Tõ (5) vµ (6) ⇒ 2 2 2 ABC ABC ABC ABC 2S 2S 2S AO . BO . CO . 2S AB.AC BA.BC CA.CB + + = 0,25 2 2 2 AO BO CO 1 AB.AC BA.BC CA.CB + + = 0,25 Bµi 6 (3 ®) §Æt BD = x ⇒ CD = 1 - x (0 < x < 1) 0,25 KÎ DE ⊥ AB XÐt ∆BED vu«ng t¹i E cã EBD = 60 o ; BD = x ⇒ BE = x 2 , DE = x 3 2 0,25 ∆DEA vu«ng t¹i E ⇒ AD 2 = AE 2 + DE 2 A E F H C C PB O I A 1 B D C E A Bài Nội dung Điểm AD 2 = 2 2 x x 3 1 2 2 + ữ ữ ữ AD = 2 x x 1 + 0,25 Có S ABD = 2 ABD 1 1 ABD AB BD DA 1 x x x 1 S r . r . 2 2 DE.AB x 3 S 2 4 + + + + + = = = = r 1 = 2 3 x 2 1 x x x 1 ì + + + 0,25 0,25 0,25 Tơng tự có: r 2 = ( ) ( ) 2 2 3 1 x 3 1 x 2 2 2 x x x 1 1 1 x 1 x 1 x 1 ì = ì + + + + + 0,25 Xét r 1 .r 2 = ( ) ( ) ( ) ( ) 2 2 x 1 x 3 4 1 x 2 x 1 x 2 x x x 1 x x 1 ì + + + + + + + = ( ) 2 2 2 x 1 x 3 4 2 x x 3 x x 1 x x 1 ì + + + + + = ( ) ( ) 2 x 1 x 3 4 3 1 x x 1 ì + + = ( ) ( ) 2 2 2 x x 1 x x 1 1 4 1 x x 1 + ì + = 2 1 1 3 1 x 4 2 4 ữ ì + ữ ữ 0,5 Có 2 1 x 0 2 ữ 2 1 3 3 x 2 4 4 + ữ 2 1 3 3 x 2 4 2 + ữ 2 1 3 3 1 x 1 2 4 2 + ữ 1 2 2 3 r .r 8 (1) 0,25 Xét r 1 .r 2 = 2 3 8 1 x 0 2 = 1 x 2 = D là trung điểm của BC (thỏa mãn) (2) 0,25 Từ (1) (2) ta có: Để (r 1 .r 2 ) max = 2 3 8 thì vị trí của D cần tìm là: D là trung điểm của BC. 0,25 Bài 6 (3 đ) Chia hình chữ nhật có chiều dài 251cm, chiều rộng 4cm thành 1004 hình vuông có độ dài cạnh là 1cm. 0,25 1 2 2 Bài Nội dung Điểm 2009 điểm phân biệt nằm bên trong hình chữ nhật chứa 1004 hình vuông có độ dài cạnh là 1cm. 0,25 Tồn tại ít nhất 1 hình vuông có độ dài cạnh là 1cm chứa ít nhất 3 điểm trong 2009 điểm đã cho (Di-rich-le) (1) 0,25 Hình vuông có độ dài cạnh là 1cm Khoảng cách lớn giữa 2 điểm thuộc miền của hình vuông là 2 cm. 0,25 Không mất tính tổng quát, giả sử 3 điểm đó là A, B, C AB 2 cm AC 2 cm A; B; C thuộc hình tròn tâm A bán kính 2 cm (2) 0,25 0,25 0,25 Từ (1) (2) chứng tỏ rằng tồn tại ít nhất 1 hình tròn có tâm là một trong 2009 điểm đã cho, có bán kính 2 cm chứa ít nhất 3 điểm trong 2009 điểm đã cho. 0,25 Chú ý: 1. Trên đây chỉ là các bớc giải và khung điểm bắt buộc cho từng bớc theo giới hạn chơng trình đến tuần 25 của lớp 9; yêu cầu thí sinh phải trình bày, lập luận và biến đổi hợp lí mới đợc công nhận cho điểm. 2. Những cách giải khác đúng vẫn cho điểm tối đa theo biểu điểm. 3. Chấm từng phần. Điểm toàn bài là tổng các điểm thành phần không làm tròn. . dục - Đào tạo Thái Bình Đề thi chọn học sinh giỏi lớp 9 THCS năm học 2008-2009 Môn: Toán Thời gian làm bài: 150 phút (không kể thời gian giao đề) Bài 1. (3. danh: đề chính thức Sở Giáo dục - Đào tạo Thái Bình Kì thi chọn học sinh giỏi Năm học 2008-2009 Hớng dẫn chấm và biểu điểm MÔN toán (Gồm 06 trang)