THÔNG TIN TÀI LIỆU
Sản phẩm Group FB: TỔ - STRONG TEAM TỐN VD VDC Đề HỌC SINH GIỎI Ninh Bình - Năm 2019 GIẢI CHI TIẾT ĐỀ HỌC SINH GIỎI THPT CẤP TỈNH SỞ GDĐT NINH BÌNH NĂM HỌC 2018 – 2019 MƠN TỐN NGÀY THI 12/09/ 2018 TIME: 180 PHÚT ĐỀ BÀI Câu (4,0 điểm) Cho đa thức Câu P( x) có hệ số nguyên a, b, c số nguyên thỏa mãn P(a) = 1, P(b) = P(c) = Chứng minh rằng: a + c = 2b (5,0 điểm) Cho ba số thực dương a, b, c Chứng minh bất đẳng thức: 1 1 ab + bc + ca + + ÷+ 2 2 ≥ + a +b +c a b c ( a + b + c ) Câu (6,0 điểm) Cho tứ giác lồi AB , AD tiếp tuyến A T cắt đường tròn ( O) E tiếp xúc với tia F , đồng thời tiếp xúc với đường tròn ( O ) đường tròn ( O) thứ tự điểm a) Chứng minh ba điểm K, M , N b) Đường phân giác góc BAC cắt M,N (M,N điểm T Hai K Các đường thẳng TE , TF khác T ) thẳng hàng cắt đường thẳng MC P , đường thẳng KP cắt đường N tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác ADQ bán kính đường tròn nội tiếp tam giác ABC ACD thẳng Câu ABCD nội tiếp đường tròn ( O ) , đường tròn tâm I CN Q Chứng minh rằng: Nếu (5,0 điểm) Với số n nguyên dương, đặt f (n) ước nguyên dương Xét tập hợp G = { n ∈ ¥ * : f (m) < f (n), ∀ m ∈ ¥ ,0 < m < n} gọi pi số nguyên tố thứ i (i ∈ ¥ * ) Chứng minh rằng: Nếu n thuộc G pm ước nguyên tố n ( p1 p2 pm ) ước Với số nguyên tố pm , gọi k , M số nguyên dương thỏa mãn M = ( p1 p2 pm− )2 k Chứng minh rằng: Nếu n > M n k > pm thuộc G n chia hết cho pm HẾT Hãy tham gia STRONG TEAM TOÁN VD-VDC- Group dành riêng cho GV-SV toán! Trang n Sản phẩm Group FB: TỔ - STRONG TEAM TOÁN VD VDC Đề HỌC SINH GIỎI Ninh Bình - Năm 2019 LỜI GIẢI CHI TIẾT Câu (4,0 điểm) Cho đa thức P( x) có hệ số nguyên a, b, c số nguyên thỏa mãn P(a) = 1, P(b) = P(c) = Chứng minh rằng: a + c = 2b Lời giải Tác giả: Trần Dung ; Fb: Trần Dung Cách 1: Đa thức có nghiệm Vì P(b) = nên ta có P( x) = ( x − b).q( x) + với q( x) ∈ ¢[x] P(a) = P(c) = thay vào P( x) Ta có: Vì x = b viết dạng ( x − b).q( x) a − b , c − b, q ( a ) , q ( c ) Ta có 1 = P(a ) = (a − b).q (a) + (a − b).q (a ) = −1 ⇔ ta 3 = P (c) = (c − b).q (c) + (c − b).q(c) = số nguyên nên P(a) ≠ P(c) ⇒ a ≠ c Suy ra: a − b = c − b = − a − b c − b ước a − b = −1 c − b = ⇒ a + c = 2b Cách 2: Bổ đề: Cho P( x) đa thức với hệ số nguyên; a, b hai số nguyên khác Khi đó: P(a) − P(b) Ma − b Trở lại toán P( a) ≠ P(b) P ( c ) ≠ P (b ) Ta có: P ( a) ≠ P (c) nên P(a) − P(b) Ma − b 2 − Ma − b 1 Ma − b ⇒ ⇔ P(c) − P(b) Mc − b 3 − Mc − b 1 Mc − b Khi đó: Như vậy: Suy ra: a ≠ b c ≠ b a ≠ c a − b c − b ước a − b = −1 a − b = c − b = c − b = − ⇒ a + c = 2b Câu (4,0 điểm) Cho ba số thực dương a, b, c Chứng minh bất đẳng thức: Hãy tham gia STRONG TEAM TỐN VD-VDC- Group dành riêng cho GV-SV tốn! Trang Sản phẩm Group FB: TỔ - STRONG TEAM TỐN VD VDC Đề HỌC SINH GIỎI Ninh Bình - Năm 2019 1 1 ab + bc + ca + + ÷+ 2 2 ≥ + a +b +c a b c ( a + b + c ) Lời giải Ta có 1 1 ab + bc + ca + + ÷− ≥ − 2 2 a +b +c a b c ( a + b + c ) ( a − b) ⇔ ab ( b − c) + bc ( c − a) + ca Không giảm tổng quát giả sử ( a − b) + ( a − c) + ( b − c) 2 ≥2 2 a + b2 + c2 ( a − b) a≥ b≥ c⇒ b ( a − c) ≤ ( *) c Áp dụng bất đẳng thức Chebyshev ta có: ( a − b) ( a − c) 2 + ( b + c ) ≥ ( a − b ) + ( a − c ) c b 2 ( a − b) + ( a − c ) ( a − b) ( a − c ) ⇒ + ( b + c) ≥ c a ( b + c) b Đẳng thức xảy b= c ( 1) Mặt khác theo bất đẳng thức AM-GM: ( a + b + c ) ≥ 2a + ( b + c ) ≥ 2a ( b + c ) ⇒ 2 2 ≥ 2 a ( b + c) a + b + c 2 2 ( a − b) + ( a − c ) ≥ 2 ( a − b) + ( a − c) a ( b + c) a + b2 + c2 Suy Đẳng thức xảy a + b + c ≥ 3bc > 2bc Từ ( 1) , ( 2) , ( 3) ( a= b= c a≥ b≥ c ) ( 2) a = b+ c ( b − c) ⇒ bc ≥2 ( b − c) ( 3) a2 + b2 + c suy điều phải chứng minh Dấu xảy a = b = c a = 2b = 2c hoán vị Câu (4,0 điểm) Cho tứ giác lồi AB , AD ABCD nội tiếp đường tròn ( O ) , đường tròn tâm I E tiếp xúc với tia F , đồng thời tiếp xúc với đường tròn ( O ) Hãy tham gia STRONG TEAM TỐN VD-VDC- Group dành riêng cho GV-SV tốn! điểm T Hai Trang Sản phẩm Group FB: TỔ - STRONG TEAM TOÁN VD VDC A T tiếp tuyến cắt đường tròn ( O) ( O) đường tròn thứ tự điểm a) Chứng minh ba điểm K, M , N b) Đường phân giác góc BAC Đề HỌC SINH GIỎI Ninh Bình - Năm 2019 cắt M,N (M,N K Các đường thẳng TE , TF khác T ) thẳng hàng cắt đường thẳng MC P , đường thẳng KP cắt đường N tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác ADQ bán kính đường tròn nội tiếp tam giác ABC ACD thẳng Q Chứng minh rằng: Nếu CN Lời giải Tác giả: Võ Thanh Phong; Fb: Võ Phong Phép vị tự tâm T , E, M Khi Do Gọi T, F, N L T , tỉ số k biến đường tròn thẳng hàng và ( I) TL E, F ( I) Phép vị tự tâm T, tỉ số k Từ K, M , N IE //OM Tương tự: Phân giác góc suy đồng qui biến tứ giác OM ⊥ AB ⇒ M TELF · BAC CM ABC cắt AD Do K , P, Q thành P , mà CM Ngoài ra, Q thuộc CN phân giác góc nội tiếp tam giác ACD r1 , r2 A ⇒ TELF TMAN điểm cung điểm cung tròn nội tiếp tam giác Gọi VTk : L a A tứ giác điều hòa nên TMAN AB tứ giác điều hòa thẳng hàng nên N E ∈ ( I ), M ∈ (O) nên VTk : E a M AT Tiếp tuyến Suy ( O) thành đường tròn F ∈ ( I ), N ∈ (O) nên VTk : F a N thẳng hàng giao điểm ( I) ·ACD ( O) ( O) phân giác góc ·ACB NQ = NA = ND bán kính đường tròn nội tiếp tam giác ABC thẳng hàng nên theo định lý Menelaus cho tam giác nên nên Q P tâm đường tâm đường tròn ADC MCN với cát tuyến K , P, Q PC KM QN × × =1 có: PM KN QC Tam giác ∆ KAM ~ ∆ KNA Hãy tham gia STRONG TEAM TỐN VD-VDC- Group dành riêng cho GV-SV tốn! Trang ta Sản phẩm Group FB: TỔ - STRONG TEAM TOÁN VD VDC Đề HỌC SINH GIỎI Ninh Bình - Năm 2019 KM KM KA AM = ì = ữ Mt khỏc: KN KA KN AN QC AM sin ACM · · = = ⇒ QC ×sin NCA = PC ×sin MCA Suy PC AN sin ACN Suy r1 = r2 Ta có điều phải chứng minh Câu 4: (5,0 điểm) Với số n nguyên dương, đặt f (n) ước nguyên dương Xét tập hợp G = { n ∈ ¥ * : f (m) < f (n), ∀ m ∈ ¥ ,0 < m < n} gọi pi số nguyên tố thứ i (i ∈ ¥ * ) Chứng minh rằng: Nếu n thuộc G pm ước nguyên tố n ( p1 p2 pm ) ước Với số nguyên tố pm , gọi k , M số nguyên dương thỏa mãn M = ( p1 p2 pm− )2 k Chứng minh rằng: Nếu n > M n k > pm n thuộc G n chia hết cho pm Lời giải Tác giả: điểm Giả sử n = p1k1 p2k2 paka (k i ∈ N,i = 1, a) ⇒ f(n) = (k1 + 1)(k + 1) (k a + 1) Giả sử n chia hết cho pm , tồn i thỏa mãn ≤ i < m ≤ a mà n không chia hết cho pi Suy km ≥ 1, ki = Xét n0 = n0 < n Do n pi pm ta có: f (n0 ) = f(n) (k i + 2) k m 2k = f (n) m (k i + 1)(k m + 1) km + km ≥ ⇒ 2km ≥ km + nên f (n0 ) ≥ f (n) mâu thuẫn Vậy n chia hết cho pi với i = 1,2, , m điểm Xét n ∈ G n > M Giả sử không chia hết cho ( Thật vậy, giả sử thuẫn.) pm ước n thuộc tập { p1 , p2 , , pm−1} n có ước p j > pm theo ý (a) n chia hết cho p1 , p2 , , pm , , p j Mâu Hãy tham gia STRONG TEAM TOÁN VD-VDC- Group dành riêng cho GV-SV toán! Trang Sản phẩm Group FB: TỔ - STRONG TEAM TOÁN VD VDC Suy : Vì n = p1k1 p2k2 pmkm−−11 (k i ∈ N,i = 1, m − 1) n> M Đặt Đề HỌC SINH GIỎI Ninh Bình - Năm 2019 n1 = nên tồn tại: ≤ i ≤ m − cho ki > 2k n k k pik n0 = n1 pm Do pi ≥ > pm suy n0 < n f(n) = (k1 + 1)(k + 1) (k t + 1) f(n ) = (k1 + 1)(k + 1) (k i−1 + 1)(k i − k + 1)(k i+1 + 1) (k t + 1).2 Vì ki + > 2k ⇒ 2(k i − k + 1) > k i + ⇒ f (n ) > f(n) Mâu thuẫn Vậy có điều cần chứng minh HẾT Hãy tham gia STRONG TEAM TOÁN VD-VDC- Group dành riêng cho GV-SV toán! Trang
Ngày đăng: 30/03/2020, 17:56
Xem thêm: