Sản phẩm Group FB: TỔ - STRONG TEAM TOÁN VD VDC Đề HỌC SINH GIỎI TPHCM - Năm 2019 GIẢI CHI TIẾT ĐỀ HỌC SINH GIỎI LỚP 12 TPHCM KHĨA THI 05/03/ 2019 MƠN TỐN TIME: 120 PHÚT ĐỀ BÀI Câu Giải phương trình: Câu Cho hàm số log5 ( x + ) + log3 x = log2018 ( x + 2015) + log2019 ( x + 2016) f ( x ) = x − 3x hai số thực a , b thỏa mãn điều kiện: a > 2018log2019 b ≥ ; f (log 2018 a ) + = f (log 2019 b) Tính log 2019 (a + b) Câu Cho hàm số m ∈ ( − 1;1) y = ( x − 1) có đồ thị M Xét di chuyển M cắt ( C ) hai điểm A , B giá trị lớn tung độ trung điểm I đoạn thẳng AB Câu Tiếp tuyến Cho hình lăng trụ tam giác A′ hình chiếu tứ giác BCC ′B′ a) Tính theo b) Tính theo ABC A′ B′C ′ lên mặt phẳng có đáy ( ABC ) ABC ( C) có hồnh độ phân biệt khác tam giác vng cân trùng với trung điểm M Tìm A với BC = 2a BC Biết diện tích 6a a thể tích hình lăng trụ cho a thể tích hình trụ nhỏ có hai đáy nằm hai mặt phẳng ( ABC ) , ( A′ B′C ′ ) Câu ( C) ( C) Cho số thực chứa toàn lăng trụ cho bên a, b, c ∈ ( 1; +∞ ) thỏa mãn Tìm giá trị nhỏ biểu thức a10 ≤ b loga b + 2logb c + 5log c a = 12 P = 2loga c + 5logc b + 10logb a HẾT Hãy tham gia STRONG TEAM TỐN VD-VDC- Group dành riêng cho GV-SV tốn! Trang Sản phẩm Group FB: TỔ - STRONG TEAM TOÁN VD VDC Đề HỌC SINH GIỎI TPHCM - Năm 2019 LỜI GIẢI CHI TIẾT Câu Giải phương trình: log5 ( x + ) + log3 x = log2018 ( x + 2015) + log2019 ( x + 2016) (1) Lời giải Tác giả: Tú Tam Tạng Fb:Tú Tam Tạng Điều kiện: x > Với điều kiện phương trình (1) trở thành: log5 ( x + ) + log3 x − log 2018 ( x + 2015) − log 2019 ( x + 2016 ) = Đặt f ( x ) = log5 ( x + ) + log3 x − log 2018 ( x + 2015) − log 2019 ( x + 2016 ) f ′( x) = với x > 1 1 + − − ( x + ) ln x ln ( x + 2015) ln 2018 ( x + 2016) ln 2019 1 = − − ÷+ ÷ ( x + ) ln ( x + 2015) ln 2018 x ln ( x + 2016 ) ln 2019 (ln 2018 − ln 5) x + 2015.ln 2018 − 2ln ( ln 2019 − ln 3) x + 2016.ln 2019 = ÷+ ÷ x + x + 2015 ln 5.ln 2018 x x + 2016 ln 3.ln 2019 ( ) ( ) ( ) ⇒ f ′ ( x ) > ∀ x ∈ ( 0; +∞ ) Suy f ( x ) Ta có: ( 0;+∞ ) f ( 3) = ⇒ x = nghiệm Vậy tập nghiệm phương trình Câu đồng biến Cho hàm số f ( x ) = x − 3x S = { 3} hai số thực a , b thỏa mãn điều kiện: a > 2018log2019 b ≥ ; f (log 2018 a ) + = f (log 2019 b) Tính log 2019 (a + b) Lời giải Tác giả: Tạ Thị Huyền Trang ; Fb:Tạ Thị Huyền Trang log2018 a = a1 Đặt log2019 b = b1 Ta có a > 2018log2019 b ≥ ⇒ 2018log2018 a > 2018log2019 b ≥ 20180 ⇒ log2018 a > log2019 b ≥ ⇒ a1 > b1 ≥ Xét hàm: f ( x ) = x − 3x ⇒ f ′( x ) = 3x − f ′( x ) = ⇔ x = ± BBT: Hãy tham gia STRONG TEAM TOÁN VD-VDC- Group dành riêng cho GV-SV toán! Trang Sản phẩm Group FB: TỔ - STRONG TEAM TOÁN VD VDC Đặt Đề HỌC SINH GIỎI TPHCM - Năm 2019 a1 = b1 + m,(m > 0) Ta có f (log 2018 a ) + = f (log 2019 b) ⇒ f (a1 ) + = f (b1 ) ⇒ a13 − 3a1 + = b13 − 3b1 ⇒ (b1 + m)3 − 3(b1 + m) + − b13 + 3b1 = ⇒ 3b12m + 3b1m + m13 − 3m + = 3b12m + 3b1m ≥ 0, ∀ b1 ≥ 0; m > ⇒ Ta có m1 − 3m + ≥ 0, ∀ m b1 = ⇒ m = b1 = a1 = b1 + = log 2019 b = ⇒ ⇔ log 2018 a = Vậy b = a = 2018 log 2019 (a + b) = log 2019 2019 = HƯỚNG GIẢI Đặt u = log 2018 = a, v = log2019 b a > 2018log2019 b ⇒ log 2018 a > log 2019 b ≥ ⇒ u > v ≥ Ta có : Lại có : f ( log2018 a ) + = f ( log2019 b ) ⇒ f ( u) + = f ( v) ⇒ f ( v) > f ( u) với u> v≥ u = f ( v) − f ( u) = ⇒ Do : u, v ∈ [ 0;1] Khi từ v = Suy Câu a = 2018 b = Vậy log2019 ( a + b ) = Cho hàm số m ∈ ( − 1;1) y = ( x − 1) có đồ thị Xét M di chuyển M cắt ( C ) hai điểm A , B giá trị lớn tung độ trung điểm I đoạn thẳng AB Tiếp tuyến ( C) ( C) ( C) có hoành độ phân biệt khác Lời giải Tác giả: Lương Thị Hương Liễu ; Fb: Hương Liễu Lương Ta có: y′ = x − x Hãy tham gia STRONG TEAM TOÁN VD-VDC- Group dành riêng cho GV-SV tốn! Trang M Tìm Sản phẩm Group FB: TỔ - STRONG TEAM TOÁN VD VDC ( m ; ( m − 1) ) 2 Phương trình tiếp tuyến tiếp điểm ( ∆ ) : y = ( 4m3 − 4m ) ( x − m ) + ( m2 − 1) Phương trình hồnh độ giao điểm Đề HỌC SINH GIỎI TPHCM - Năm 2019 : ⇔ y = ( 4m3 − 4m ) x − 3m + 2m + ( C) (∆) : ( ) ( x2 − 1) = ( 4m3 − 4m ) x − 3m4 + 2m2 + ⇔ x4 − x2 − 4m3 − 4m x + 3m4 − 2m2 = ⇔ ( x − m) ( x = m ⇔ x + 2mx + 3m − = g ( x ) = x + 2mx + 3m − = ( *) ) Điều kiện: (*) phải có hai nghiệm phân biệt khác ( ) ( ) Giả sử C ∆ cắt hai điểm phương trình (*) Gọi I trung điểm đoạn AB Ta có m A ( x1 ; y1 ) xI = m ∈ ( −1;1) ∆′ = −2m + > ⇔ ⇔ m ≠ ± g ( m ) = 6m − ≠ B ( x2 ; y ) với x1 , x2 hai nghiệm x1 + x2 = −m y I = ( 4m3 − 4m ) ( −m − m ) + ( m2 − 1) = −7m + 6m + = f ( m ) Suy ra, m = f ′ ( m ) = −28m − 12m = ⇔ m = ± 21 Xét Bảng biến thiên: max f ( m ) = Từ BBT, ta có ( − 1;1) Vậy yI = 16 21 m= ± 16 giá trị cần tìm Hãy tham gia STRONG TEAM TOÁN VD-VDC- Group dành riêng cho GV-SV toán! Trang Sản phẩm Group FB: TỔ - STRONG TEAM TỐN VD VDC Câu Cho hình lăng trụ tam giác hình chiếu tứ giác BCC ′B′ A′ ABC A′ B′C ′ lên mặt phẳng có đáy ( ABC ) Đề HỌC SINH GIỎI TPHCM - Năm 2019 ABC tam giác vuông cân trùng với trung điểm A với BC = 2a BC Biết diện tích 6a a thể tích hình lăng trụ cho b)Tính theo a thể tích hình trụ nhỏ có hai đáy nằm hai mặt phẳng a) Tính theo ( ABC ) , ( A′ B′C ′ ) chứa toàn lăng trụ cho bên Lời giải Tác giả: Phạm Hoàng Hải; Fb: Phamhoang Hai a) Ta có ∆ ABC vng Dễ chứng minh BCC ′B′ A , BC = 2a BC =a AO = BO = CO = ⇒ AB = AC = a hình chữ nhật Mà S BCC′B′ = 6a ⇒ BB′ = 3a ⇒ AA′ = 3a Xét ∆ AOA′ vng O có AO = a , AA′ = 3a ⇒ A′ O = 2a 1 VABC A′B′C ′ = S ABC A′ O = AB AC A′ O = a 2.a 2.2a = 2a Vậy (đvtt) 2 b) Dựng hình chiếu vng góc A′ B′C ′ lên ( ABC ) ta tam giác Hãy tham gia STRONG TEAM TỐN VD-VDC- Group dành riêng cho GV-SV tốn! OB1C1 tương ứng Trang Sản phẩm Group FB: TỔ - STRONG TEAM TỐN VD VDC Hình trụ chứa có đáy hình tròn chứa hình tròn cần tìm; ( C) ABB1C1CA ( H ) ( H ) ⇔ ( C ) chứa tam giác ( H ) ⇒ Nếu ( C ) ngoại tiếp tam giác ( H ) chứa ( H ) ( C ) có diện tích nhỏ Gọi ( C) ABCA′ B′C ′ Đề HỌC SINH GIỎI TPHCM - Năm 2019 chứa Xét đường tròn ngoại tiếp ∆AB1C1 có tâm G AB1 = AC1 = a , S AB1C1 = 2a Có ⇒ RG = AB1.B1C1 AC1 a 5.a 5.2a = = a S AB1C1 4.2a a 73 GB = GC = BO + OG = a + a − RG ÷ = a + a = < RG 64 2 G; a ÷ Vậy B , C thuộc đường tròn ⇒ G; a ÷ Đường tròn ngoại tiếp ∆AB1C1 chứa ( H ) đường tròn cần tìm 25 5 ⇒ V = a ÷ π 2a = πa (đvtt) 4 Câu Cho số thực a, b, c ∈ ( 1; +∞ ) thỏa mãn Tìm giá trị nhỏ biểu thức a10 ≤ b loga b + 2logb c + 5logc a = 12 P = 2loga c + 5logc b + 10logb a Lời giải Tác giả: Phan Tran Bao Bao ; Fb: Phan Tran Bao Bao Đặt x = loga b; y = logbc; z = logc a x, y , z > x y z = x ≥ 10 Ta có x + y + z = 12 Khi : Hãy tham gia STRONG TEAM TỐN VD-VDC- Group dành riêng cho GV-SV tốn! Trang Sản phẩm Group FB: TỔ - STRONG TEAM TOÁN VD VDC Đề HỌC SINH GIỎI TPHCM - Năm 2019 10 100 90 100 P= + + = + + − ≥ 33 − = 30 − = 21 z y x z y x x z y x Suy Pmin = 21 x y z = x = 10 log a b = 10 1 100 ⇒ y = ⇒ logb c = ⇒ b = c = a10 = = x 2 z y x + y + 5z = 12 z = log a = c đạt Hãy tham gia STRONG TEAM TỐN VD-VDC- Group dành riêng cho GV-SV tốn! Trang