Tìm giá trị lớn nhất của tung độ trung điểm I của đoạn thẳng AB.. a Tính theo a thể tích của hình lăng trụ đã cho... LỜI GIẢI CHI TIẾTCâu 1... Tìm giá trị lớn nhất của tung độ trung điểm
Trang 1GIẢI CHI TIẾT ĐỀ HỌC SINH GIỎI LỚP 12
TPHCM KHÓA THI 05/03/ 2019
MÔN TOÁN TIME: 120 PHÚT
ĐỀ BÀI
Câu 1. Giải phương trình: log5( x + + 2 log ) 3x = log2018( x + 2015 log ) + 2019( x + 2016 ) .
Câu 2. Cho hàm số f x x ( ) = −3 3 x và hai số thựca,bthỏa mãn các điều kiện: a > 2018log 2019b ≥ 1;
2018 2019
(log ) 2 (log )
f a + = f b Tính log (2019 a b + )
Câu 3. Cho hàm số ( )2 2
1
y = x − có đồ thị ( ) C Xét M di chuyển trên ( ) C và có hoành độ
( ) 1;1
m ∈ − Tiếp tuyến của ( ) C ở M cắt ( ) C tại hai điểm A, B phân biệt và khác M Tìm giá trị lớn nhất của tung độ trung điểm I của đoạn thẳng AB
Câu 4. Cho hình lăng trụ tam giác ABC A B C ′ ′ ′ có đáy ABC là tam giác vuông cân ở A với BC = 2 a
và hình chiếu của A ′ lên mặt phẳng ( ABC ) trùng với trung điểm BC Biết rằng diện tích của
tứ giác BCC B ′ ′ bằng 6a2
a) Tính theo a thể tích của hình lăng trụ đã cho
b) Tính theo a thể tích của hình trụ nhỏ nhất có hai đáy lần lượt nằm trên hai mặt phẳng ( ABC ) , ( A B C ′ ′ ′ ) và chứa toàn bộ lăng trụ đã cho bên trong
Câu 5 Cho các số thực a b c , , ∈ +∞ ( 1; ) thỏa mãn a10 ≤ b và logab + 2logbc + 5logca = 12
Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức P = 2logac + 5logcb + 10logba
HẾT.
Trang 2LỜI GIẢI CHI TIẾT
Câu 1. Giải phương trình: log5( x + + 2 log ) 3x = log2018( x + 2015 log ) + 2019( x + 2016 ) (1)
Lời giải
Tác giả: Tú Tam Tạng Fb:Tú Tam Tạng
Điều kiện: x > 0
Với điều kiện trên phương trình (1) trở thành:
log x + + 2 log x − log x + 2015 log − x + 2016 0 = .
Đặt f x ( ) = log5( x + + 2 log ) 3x − log2018( x + 2015 log ) − 2019( x + 2016 ) với x > 0
f x
( x 1 2 ln5 ) ( x 2015 ln 2018 1 ) x ln3 1 ( x 2016 ln 2019 1 )
ln 2019 ln 3 2016.ln 2019 (ln 2018 ln5) 2015.ln 2018 2ln5
2 2015 ln5.ln 2018 2016 ln 3.ln 2019
x x
( ) 0 ( 0; )
⇒ > ∀ ∈ +∞ Suy ra f x ( ) đồng biến trên ( 0; +∞ ).
Ta có: f ( ) 3 0 = ⇒ = x 3 là nghiệm duy nhất
Vậy tập nghiệm của phương trình là S = { } 3 .
Câu 2. Cho hàm số f x x ( ) = −3 3 x và hai số thựca,bthỏa mãn các điều kiện: a > 2018log 2019b ≥ 1;
2018 2019
(log ) 2 (log )
f a + = f b Tính log (2019 a b + )
Lời giải
Tác giả: Tạ Thị Huyền Trang ; Fb:Tạ Thị Huyền Trang
Đặt
log log
a a
b b
=
Ta có a > 2018log 2019b≥ ⇒ 1 2018log 2018a > 2018log 2019b≥ 20180
⇒ log2018a > log2019b ≥ ⇒ > ≥ 0 a b1 1 0 Xét hàm: f x x ( ) = − ⇒3 3 x f x ′ ( ) 3 = x2− 3
f x ′ = ⇔ = ± ( ) 0 x 1
BBT:
Trang 3Đặt a b m m1 = +1 ,( > 0) Ta có f (log2018a ) 2 + = f (log2019b ) ⇒ f a ( ) 21 + = f b ( )1
1 3 1 2 1 3 1 ( 1 ) 3( 1 ) 2 1 3 1 0
⇒ 3 b m b m m12 + 3 1 2+ − + =13 3 m 2 0
Ta có
3
1
1 1 1
3 2 0,
m
2019 2018
Vậy log (2019 a b + = ) log 2019 12019 =
HƯỚNG GIẢI 2
Đặt u = log2018= a v , = log2019b
Ta có : a > 2018log2019b⇒ log2018a > log2019b ≥ ⇒ > ≥ 0 u v 0
Lại có : f ( log2018a ) + = 2 f ( log2019b )
( ) 2 ( ) ( ) ( )
⇒ + = ⇒ > với mọi u v > ≥ 0
Do đó : u v , ∈ [ ] 0;1 Khi đó từ ( ) ( ) 2 1
0
u
v
=
Suy ra a = 2018 và b = 1 Vậy log2019( a b + = ) 1
Câu 3. Cho hàm số ( )2 2
1
y = x − có đồ thị ( ) C Xét M di chuyển trên ( ) C và có hoành độ
( ) 1;1
m ∈ − Tiếp tuyến của ( ) C ở M cắt ( ) C tại hai điểm A, B phân biệt và khác M Tìm giá trị lớn nhất của tung độ trung điểm I của đoạn thẳng AB
Lời giải
Tác giả: Lương Thị Hương Liễu ; Fb: Hương Liễu Lương
Ta có: y ′ = 4 x3− 4 x
Trang 4Phương trình tiếp tuyến tại tiếp điểm ( ( 2 )2)
m m − :
( ) ( 3 ) ( ) ( 2 )2
: y 4 m 4 m x m m 1
∆ = − − + − ⇔ = y ( 4 m3− 4 m x m ) − 3 4 + 2 m2+ 1.
Phương trình hoành độ giao điểm của ( ) C và ( ) ∆ :
x − = m − m x − m + m + ⇔ − x4 2 x2 − ( 4 m3− 4 m x m ) + 3 4 − 2 m2 = 0
x m
=
Điều kiện: (*) phải có hai nghiệm phân biệt khác m ( )
2 2
m
′
∆ = − + >
( 1;1)
1 3
m m
∈ −
⇔ ≠ ±
Giả sử ( ) C và ( ) ∆ cắt nhau tại hai điểm A x y ( 1; 1) và B x y ( 2; 2) với x1, x2 là hai nghiệm của phương trình (*)
Gọi I là trung điểm của đoạn AB Ta có
2
I
x x
I
y = m − m − − + m m m − = − m + m + = f m .
Xét
0
7
m
m
=
Bảng biến thiên:
Từ BBT, ta có max( 1;1) ( ) 16
7
f m
khi
21 7
Vậy
16 7
I
y = là giá trị cần tìm.
Trang 5Câu 4. Cho hình lăng trụ tam giác ABC A B C ′ ′ ′ có đáy ABC là tam giác vuông cân ở A với BC = 2 a
và hình chiếu của A ′ lên mặt phẳng ( ABC ) trùng với trung điểm BC Biết rằng diện tích của
tứ giác BCC B ′ ′ bằng 6a2
a) Tính theo a thể tích của hình lăng trụ đã cho
b)Tính theo a thể tích của hình trụ nhỏ nhất có hai đáy lần lượt nằm trên hai mặt phẳng ( ABC ) , ( A B C ′ ′ ′ ) và chứa toàn bộ lăng trụ đã cho bên trong
Lời giải
Tác giả: Phạm Hoàng Hải; Fb: Phamhoang Hai
a)
Ta có ∆ ABC vuông tại A, BC = 2 a
2 2
BC
AB AC a
⇒
Dễ chứng minh BCC B ′ ′ là hình chữ nhật
Mà SBCC B′ ′ = 6 a2⇒ BB ′ = ⇒ 3 a AA ′ = 3 a
Xét ∆ AOA ′ vuông tại O có AO a = , AA ′ = 3 a ⇒ A O ′ = 2 2 a
Vậy
3
ABC A B C ABC
(đvtt)
b) Dựng hình chiếu vuông góc A B C ′ ′ ′ lên ( ABC ) ta được tam giác OB C1 1 tương ứng
Trang 6Hình trụ chứa ABCA B C ′ ′ ′ có đáy là hình tròn chứa ABB C CA1 1 ( ) H .
Gọi ( ) C là hình tròn cần tìm; ( ) C chứa ( ) H ⇔ ( ) C chứa mọi tam giác trong ( ) H .
⇒ Nếu ( ) C ngoại tiếp ít nhất một tam giác trong ( ) H và chứa ( ) H thì ( ) C có diện tích nhỏ
nhất
Xét đường tròn ngoại tiếp ∆ AB C1 1 có tâm G
Có AB AC a1 = 1= 5, SAB C1 1 = 2 a2.
1 1
2
G
AB C
2
a
Vậy B, C thuộc đường tròn
5
; 4
G a
⇒ Đường tròn
5
; 4
G a
ngoại tiếp ∆ AB C1 1 và chứa ( ) H là đường tròn cần tìm.
2
3
.2 2
Câu 5 Cho các số thực a b c , , ∈ +∞ ( 1; ) thỏa mãn a10 ≤ b và logab + 2logbc + 5logca = 12
Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức P = 2logac + 5logcb + 10logba
Lời giải
Tác giả: Phan Tran Bao Bao ; Fb: Phan Tran Bao Bao
Đặt x = log ;ab y = log c;b z = logca Ta có
10
x y z
x y z x
>
≥
+ + =
Khi đó :
Trang 7P
Suy ra Pmin = 21 đạt được khi
2 10
log
a
b
c
b
=