76 hsg 18 an giang bui tien doan

Website:tailieumontoan.com ĐỀ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI TỈNH AN GIANG NĂM HỌC 2017-2018 Câu 1: (4,0 điểm)   2x  x  2x x  x  x   P      : 1 x x    x 1 x x   với a) (2,0 điểm) Cho biểu thức x  0, x 1, x  x 10   3  3 P Tính giá trị của tại 2 b) (2,0 điểm) Cho a, b, c là các số thực thỏa mãn a  b  c 12 Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức S 4  a3  b3  c    a  b  c  Câu 2: (5,0 điểm) x2  x  x  5  x x  a) (3,0 điểm ) Giải phương trình : x    x  y  xy 1  x  y x  y b) (2,0 điểm) Giải hệ phương trình :  Câu 3: (5,0 điểm)  O; R  , M là điểm chính giữa của cung BC Cho tam giác ABC nội tiếp đường tròn  I  qua M và tiếp xúc với AB tại B , vẽ đường không chứa điểm A Vẽ đường tròn tròn  K  qua tròn  I  và  K  M và tiếp xúc với AC tại C Gọi N là giao điểm thứ hai của đường a) ( 3,0 điểm ) Chứng minh rằng ba điểm B, N , C thẳng hàng b) (2,0 điểm ) Lấy D là điểm bất kỳ thuộc cạnh AB ( D khác A và B ) điểm E thuộc tia đối của tia CA cho BD CE Chứng minh rằng đường tròn ngoại tiếp tam giác ADE qua một điểm cố định khác A  O; R  đường kính AB Gọi M là điểm nằm Câu 4: ( 3,0 điểm ) Cho nửa đường tròn nửa đường tròn khác A và B Xác định vị trí điểm M cho tam giác MAB có chu vi lớn nhất Câu 5: ( 3,0 điểm ) Tìm tất cả các số nguyên x, y thỏa phương trình x  y  xy 2  x  y  ……………….HẾT…………… Thí sinh khơng sử dụng tài liệu Giám thị khơng giải thích thêm Họ và tên thí sinh:…………………………………………….….Số báo danh:………………… Liên hệ tài 039.373.2038 liệu word mơn tốn: TÀI LIỆU TỐN HỌC Website:tailieumontoan.com LỜI GIẢI ĐỀ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI TỈNH AN GIANG NĂM HỌC 2017-2018 Câu 1: (4,0 điểm) a) (2,0 điểm ) Cho biểu thức   2x  x  2x x  x  x   P      : x    x 1 x x  1 x  với x  0, x 1, x  x Tính giá trị của P tại 10  3  3  2 (2,0 điểm ) Cho a, b, c là các số thực thỏa mãn a  b  c 12 Tìm b) S 4  a  b  c    a  b  c  giá trị lớn nhất của biểu thức Lời giải   2x  x  2x x  x  x   P      : 1 x x    x 1 x x   a) Ta có    x x 1 x   x   x   x 1 x   P  :   x 1 x   1 x 1 x  x x  x 1          x1   x   :  x      x  x    x x  x                x1   x 1 x               :   1     x1 x x 1 x Lại có : x 3  3 10   x   x 1    x  1    1  liệu word Vậy  4 10 4 P Liên hệ tài 039.373.2038 mơn tốn: TÀI LIỆU TỐN HỌC Website:tailieumontoan.com b) Ta có S 4  a  b3  c    a  b  c   4a  a    4b3  b    4c  c  Ta chứng minh :  4a a  4a  4a  a  4a thật vậy  a  4a  4a 0  a  a   0 Tương tự  4b  4c  b4  4b  c  4c Vậy ta có : S 4  a  b3  c3    a  b  c   4a3  a    4b3  b    4c3  c  4  a  b  c  48 Vậy giá trị lớn nhất bằng 48 xảy Câu 2: (5,0 điểm) a) b)  a, b, c   2, 2,  x2  4x  x  5  x x  (3,0 điểm ) Giải phương trình : x   (2,0 điểm) Giải hệ phương trình : 2  x  y  xy 1  3  x  y  x  y Lời giải a) Điều kiện xác định x 1 x  x  4 x x y x x    y  x  suy x x Đặt Phương trình trở thành : y  y   5  y 1  y      21  x1  y 1     21  x2   Với Liên hệ tài 039.373.2038 liệu word mơn tốn: TÀI LIỆU TỐN HỌC Website:tailieumontoan.com    21  x1  y       21  x2    Với b) Ta có x  y  x  y   x  y  x  y   x  y  xy   y  xy  x y 0  y  y  xy  x  0  y 0  2  y  xy  x  x 0    1;  Với y 0  x 1 suy hệ có nghiệm Với  x  y  x 0  x 0   y 0 thay vào không thỏa phương trình (1)   1;0  ;  1;0  Vậy hệ có hai nghiệm Câu 3: (5,0 điểm)  O; R  , M là điểm chính giữa của cung BC Cho tam giác ABC nội tiếp đường tròn  I  qua M và tiếp xúc với AB tại B , vẽ đường không chứa điểm A Vẽ đường tròn tròn  K  qua tròn  I  và  K  M và tiếp xúc với AC tại C Gọi N là giao điểm thứ hai của đường a) ( 3,0 điểm ) Chứng minh rằng ba điểm B , N , C thẳng hàng b) (2,0 điểm ) Lấy D là điểm bất kỳ thuộc cạnh AB ( D khác A và B ) điểm E thuộc tia đối của tia CA cho BD CE Chứng minh rằng đường tròn ngoại tiếp tam giác ADE qua một điểm cố định khác A Lời giải Liên hệ tài 039.373.2038 liệu word môn tốn: TÀI LIỆU TỐN HỌC Website:tailieumontoan.com A D O B N C I K E M x   a) Xét (I) : BNM MBx cùng chắn cung BM   Xét (K) : MNC MCE cùng chắn cung MC Do tứ giác ABMC nội tiếp (gt)   Suy ra: ABM  ACM 180   Mà : MBx  MCE 180   Nên : BNM  CNM 180 suy B, N , C thẳng hàng b) Xét BDM và CEM có  BD CE ( gt )    DBM ECM ( ABMC nt)  BM MC gt    BDM CEM  c.g.c      BDM CEM  tứ giác ADME nội tiếp Do M cố định nên đường tròn ngoại tiếp tam giác ADE qua điểm cố định là M Câu 4: (3,0 điểm)  O; R  đường kính AB Gọi M là điểm nằm nửa đường tròn khác Cho nửa đường tròn A và B Xác định vị trí điểm M cho tam giác MAB có chu vi lớn nhất Lời giải Liên hệ tài 039.373.2038 liệu word mơn tốn: TÀI LIỆU TỐN HỌC Website:tailieumontoan.com M A H B O  Ta có : AMB 90 Suy tam giác AMB vuông tại M MA2  MB  AB 4 R (1) Chu vi tam giác MAB : MA  MB  AB MA  MB  R Chu vi lớn nhất : MA  MB lớn nhất Lại có  MA  MB  MA2  2MA.MB  MB 4 R  2.MA.MB MA  MB lớn nhất   MA  MB  lớn nhất  MA.MB lớn nhất Gọi H là chân đường cao hạ từ M đến AB đó MA.MB MH AB MH R đó MA.MB lớn nhất MH lớn nhất MH R  H O  M là điểm chính giữa của cung AB Câu 5: (3,0 điểm) x  y  xy 2  x  y  Tìm tất cả các số nguyên x, y thỏa phương trình Lời giải Phương trình đã cho tương đương với : x   y   x  y  y 0 (1) Xem là phương trình bậc hai theo ẩn x   y     y  y   y  12 y   y     y   2  y 2 y  Z  y   0,1, 2 Để (1) có nghiệm thì  x 0 y 0  x 2 x    x 1 Với  0   1  x  (loai)  y 1  x  x  0    x 1 Với Với y 2  x 0  x 0   Vậy tập nghiệm của phương trình là Liên hệ tài 039.373.2038 liệu word môn  0;  ;  1;1 ;  1;  ;  0;0  toán: TÀI LIỆU TOÁN HỌC