Website:tailieumontoan.com ĐỀ THI CHỌN HSG TỈNH LẠNG SƠN NĂM HỌC 2017-2018 Câu 1: (4,0 điểm) A Cho biểu thức: x x x x 4 x x x x 2 x x x x x x với x 0, x 1, x 4 a) Rút gọn biểu thức A x b) Tính giá trị biểu thức A (2 3) 21 Câu 2: (4,0 điểm) Cho phương trình: x 2mx 2m 0 a) Chứng minh phương trình cho ln có nghiệm b) Gọi x1 , x2 nghiệm phương trình Tìm giá trị nhỏ x1 x2 B x1 x22 2(1 x1 x2 ) biểu thức: Câu 3: (4,0 điểm) a) Giải phương trình: x x x 0 b) Cho f ( x) đa thức với hệ số nguyên Biết f (2017) f (2018) 2019 Chứng minh phương trình f ( x) 0 khơng có nghiệm ngun Câu 4: (6,0 điểm) O Kẻ phân Cho tam giác nhọn ABC có AC AB nội tiếp đường tròn giác AI tam giác ABC ( I BC ) cắt (O) E Tại E C kẻ hai tiếp tuyến với (O) cắt F, AE cắt CF N, AB cắt CE M a) Chứng minh tứ giác AMNC nội tiếp đường tròn 1 b) Chứng minh CN CI CF c) Gọi AD trung tuyến tam giác ABC , kẻ DK //AI ( K AC ) Chứng minh 2AK AC AB Câu 5: (2,0 điểm) Trường trung học phổ thơng A tổ chức giải bóng đá cho học sinh nhân ngày thành lập đoàn 26 – Biết có n đội tham gia thi đấu vịng tròn lượt (hai đội đấu với trận) Đội thắng điểm, đội hòa điểm đội thua không điểm Kết thúc giải, ban tổ chức nhận thấy số trận thắng thua gấp bốn lần số trận hòa tổng số điểm đội 336 Hỏi có tất đội bóng tham gia? ……………….HẾT…………… Liên hệ tài 039.373.2038 liệu word mơn tốn: TÀI LIỆU TỐN HỌC Website:tailieumontoan.com Thí sinh khơng sử dụng tài liệu Giám thị khơng giải thích thêm Họ tên thí sinh:…………………………………………….….Số báo danh: ………………… Liên hệ tài 039.373.2038 liệu word mơn tốn: TÀI LIỆU TỐN HỌC Website:tailieumontoan.com LỜI GIẢI ĐỀ THI CHỌN HSG TỈNH LẠNG SƠN NĂM HỌC 20172018 Câu 1: (4,0 điểm) A Cho biểu thức: x x x x 4 x x x x 2 x x x x x x với x 0, x 1, x 4 a) Rút gọn biểu thức A x b) Tính giá trị biểu thức A (2 3) 21 Lời giải a) ĐKXĐ: x 0; x 1; x 4 Đặt t x , t 0, t 1, t 2 đó: t t 4t t t 4t 3t t 3t t (t 1)(t 2)(t 2) (t 1)(t 2)(t 2) A (t 1)(t 1)(t 2) (t 1)(t 1)(2 t ) t t 2t A 2 t t 1 t t 1 A 2 x A Vậy với x 0; x 1; x 4 A 2 x (2 3) (2 3) (2 3) (2 3)(2 x 21 21 21 b) x 1 21 x (Thỏa mãn ĐKXĐ) 2 A 2 2 2 2 x Với 3) Câu 2: (4,0 điểm) Cho phương trình: x 2mx 2m 0 a) Chứng minh phương trình cho ln có nghiệm b) Gọi x1 , x2 nghiệm phương trình Tìm giá trị nhỏ x1 x2 B x1 x22 2(1 x1 x2 ) biểu thức: Lời giải Phương trình: x 2mx 2m 0 Liên hệ tài 039.373.2038 liệu word mơn tốn: TÀI LIỆU TỐN HỌC Website:tailieumontoan.com a) có a b c 0 nên có hai nghiệm: x1 1, x2 2m Chứng tỏ phương trình ln có nghiệm m b) Do phương trình ln có nghiệm nên theo hệ thức Vi-et ta có: x1 x2 2m; x1.x2 2m B Suy ra: 2(2m 1) 4m 2 ( x1 x2 ) 4m 2 4m 1 4m 2m m 2m 1 m 1 B 0 4m 2 4m2 m 2 m2 Xét m B 1 m 1 Dấu “=” xảy MinB Vậy với 0 m 1 m Câu 3: (4,0 điểm) a) Giải phương trình: x x x 0 b) Cho f ( x) đa thức với hệ số nguyên Biết f (2017) f (2018) 2019 Chứng minh phương trình f ( x) 0 khơng có nghiệm ngun Lời giải x a) ĐKXĐ: x x 3x 0 x (3 x 1) x x 0 2 Đặt t x 0 ta được: x t x t 0 ( x t )( x t ) ( x t ) 0 ( x t )( x t 1) 0 2 TH1: x t 0 hay x x x 3x x 3x 0 3 4.1.1 5 x 3 3 x 2 (Thỏa mãn); (Thỏa mãn) TH2: x t 0 hay t 1 x 3x 1 x , ĐK: x 1 x 1 x x x x 0 Liên hệ tài 039.373.2038 liệu word mơn tốn: TÀI LIỆU TỐN HỌC Website:tailieumontoan.com 4.1.2 17 x 17 17 x 2 (Thỏa mãn); (Loại); Vậy phương trình cho có nghiệm: x 3 5 17 x , b) Từ giả thiết ta có f (2017), f (2018) số nguyên x = 2017, x = 2018 không nghiệm PT f ( x) 0 Giả sử phương trình f ( x) 0 có nghiệm nguyên x a , theo định lý Bơ-zu ta có: f ( x ) ( x a ).g ( x ) với g ( x) đa thức hệ số nguyên không nhận x = 2017, x = 2018 làm nghiệm Do vậy: f (2017) (2017 a ).g (2017), f (2018) (2018 a).g (2018) Nhân vế với vế áp dụng giả thiết f (2017) f (2018) 2019 ; 2019 (2017 a).g (2017).(2018 a) g (2018) Điều vơ lý vế trái số lẻ, vế phải số chẵn ( (2017 a); (2018 a) số nguyên liên tiếp, tích số chẵn) Vậy f ( x) 0 khơng có nghiệm ngun (đpcm) Câu 4: (6,0 điểm) O Kẻ phân Cho tam giác nhọn ABC có AC AB nội tiếp đường trịn giác AI tam giác ABC ( I BC ) cắt (O) E Tại E C kẻ hai tiếp tuyến với (O) cắt F, AE cắt CF N, AB cắt CE M a) Chứng minh tứ giác AMNC nội tiếp đường tròn 1 b) Chứng minh CN CI CF c) Gọi AD trung tuyến tam giác ABC , kẻ DK //AI ( K AC ) Chứng minh 2AK AC AB Lời giải Liên hệ tài 039.373.2038 liệu word mơn tốn: TÀI LIỆU TOÁN HỌC Website:tailieumontoan.com A K H O B I G D C L E F M N a) Do AI phân giác nên BE CE , theo tính chất góc ngồi đường trịn, ta có : AMC AC BE AC CE ANC AMNC Vậy tứ giác nội tiếp AMNC b) Do hai tứ giác ABEC nội tiếp, nên ta có góc nhau: AMN MCN ; ABE BCE ; CAE CMN Suy : BC // MN // EF , CMN cân N Xét tam giác CIN có CE phân giác EF//IC nên ta có tỉ số EN CN EN FN CN FN EI CI ; EI FC CI FC CN CN CF CN CN 1 CI FC CI FC CN CN 1 FC , chia vế cho CN ta có điều phải chứng minh Chuyển vế : CI c) Gọi H thuộc AC cho K trung điểm AH , Kẻ HG //AI với G thuộc BC , HG lấy điểm L cho CG CL ( CLG cân) Từ AI // DK // HG K trung điểm AH nên DI DG , theo giả thiết DB DC nên BI GC BI CL AI //HL nên BAI IAC LHC , BIA EIC LGC HLC (so le đồng vị) Xét hai tam giác AIB HLC có hai góc nên góc cịn lại nhau, có cạnh BI = CL nên AIB HLC (g – c – g) Vậy AB = HC Liên hệ tài 039.373.2038 liệu word môn tốn: TÀI LIỆU TỐN HỌC Website:tailieumontoan.com Mặt khác HC = AC – AH = AC – 2AK nên AB = AC – 2AK 2AK = AC – AB (đpcm) Câu 5: (2,0 điểm) Trường trung học phổ thông A tổ chức giải bóng đá cho học sinh nhân ngày thành lập đồn 26 – Biết có n đội tham gia thi đấu vòng tròn lượt (hai đội đấu với trận) Đội thắng điểm, đội hòa điểm đội thua không điểm Kết thúc giải, ban tổ chức nhận thấy số trận thắng thua gấp bốn lần số trận hòa tổng số điểm đội 336 Hỏi có tất đội bóng tham gia? Lời giải Gọi số trận hòa x ( x N * ) tổng số điểm trận hòa 2x , (1 trận hịa có đội, đội điểm) Theo giả thiết số trận thắng 4x tổng số điểm trận thắng 12x Tổng số điểm đội 336 x 12 x 336 x 24 Vậy ta có tất 24 4.24 120 trận đấu diễn Từ giả thiết có n đội, đội đấu với n – đội lại nên số trận đấu diễn n(n – 1) , tính trận lượt lượt về, giả thiết đội đấu với lần nên tổng số trận giảm nửa, n(n 1) có tất trận đấu n(n 1) 120 n(n 1) 240 n 16, (n 15 loại) Vậy Vậy có tất 16 đội bóng tham gia …………… HẾT…………… Liên hệ tài 039.373.2038 liệu word mơn tốn: TÀI LIỆU TỐN HỌC