Website:tailieumontoan.com ĐỀ THI CHỌN HSG TỈNH NAM ĐỊNH NĂM HỌC 2015-2016 Câu 1: (3,0 điểm) 5+ + 5− 5+ 22 Tính giá trị biểu thức x, y , z + 11− Cho số thực thoả mãn đồng thời điều kiện 2 xyz = −1 x + y + z = 18 1 S= + + xy + z − yz + x − zx + y − Tính giá trị Câu 2: , (5,0 điểm) Giải phương trình 2 x − + x + − x + 11 = Giải hệ phương trình Câu 3: x+ y+ z = ( ) y2 − y x −1 +1 + x −1 = x + y − x − = (3,0 điểm) Tìm tất số nguyên x, y thỏa mãn x + y + xy − x − y = Chứng minh với số nguyên dương n lớn ta có ( n − 1) n 0 x −1 + Vậy hệ phương trình có nghiệm Câu 3: ≥0 ( 1;1) , ( 2;1) (3,0 điểm) x + y + xy − x − y = 1 Tìm tất số nguyên x, y thỏa mãn Chứng minh với số nguyên dương n lớn ta có ( n − 1) n ( n − 1) n (đpcm) Câu 4: (7,0 điểm) Cho tam giác nhọn ABC có AB < AC ( I) , nội tiếp đường tròn ( O) ngoại ·ABD = ·ACB tiếp đường tròn Điểm D thuộc cạnh AC cho Đường thẳng AI cắt đường tròn ngoại tiếp tam giác DIC điểm thứ hai E ( O) cắt đường tròn điểm thứ hai Q Đường thẳng qua E song song với AB cắt BD P Chứng minh tam giác QBI cân Chứng minh BP.BI = BE.BQ Gọi J tâm đường tròn nội tiếp tam giác ABD, K trung điểm PK //JB JE Chứng minh Lời giải Liên hệ tài 039.373.2038 liệu word môn tốn: TÀI LIỆU TỐN HỌC Website:tailieumontoan.com Ta có AI phân giác · BAC nên Q điểm cung BC (O) Suy Khi · · · BAQ = QAC = QBC · · · · + BAQ · · IBQ = IBC + QBC = IBA = BIQ ⇒ ∆QBI ∆ABD ∽ ∆ACB ∆ADI ∽ ∆AEC ⇒ AD AI = AE AC ⇒ (g.g) hay AI AE = AD AC · ABC · ⇒ AEB = ·ABI = liệu hay word cân Q AB = AD AC ·AID = ·ACE (1) ) AI AE = AB ⇒ ∆ABI ∽ ∆AEB (2) (c.g.c) · BAC ·AEP = BAE · = Liên hệ tài 039.373.2038 AB AD = AC AB (g.g) (có góc A chung Từ (1) (2) suy Mà (hai góc so le trong), mơn tốn: TÀI LIỆU TOÁN HỌC Website:tailieumontoan.com suy ·ABC + BAC · · BEP = Theo ý ta có · BAC + ·ABC · BIQ = ⇒ ∆PBE ∽ ∆QBI Suy ∆BQI ∽ ∆BPE · BAC + ·ABC · PBE = (g.g) và BP BE = ⇔ BP.BI = BE.BQ BQ BI ∆BQI PH ⊥ BE · ·JBD = ACB Ta có PH // J B Suy ∆PBE cân Q nên (đpcm) cân P, suy với H trung điểm BE Vì HK đường trung bình Câu 5: suy · · BIQ = BEP · · BPE = ·ABD = ·ACB = BQI Ta có ∆EBJ · BAC + ·ABC · DBE = nên HK//BJ , suy ·JBE = 90° Do P, H, K thẳng hàng hay PK // J B hay J B ⊥ BE (2,0 điểm) Cho lớp học có 35 học sinh, học sinh tổ chức số câu lạc môn học Mỗi học sinh tham gia câu lạc Nếu chọn 10 học sinh ln có học sinh tham gia câu lạc Chứng minh có câu lạc gồm học sinh Lời giải Giả sử tất câu lạc có khơng học sinh Gọi N số câu lạc có học sinh N>4 Nếu , từ số câu lạc này, chọn câu lạc học sinh, 10 học sinh khơng thỏa mãn điều kiện tốn Nếu N