Website:tailieumontoan.com ĐỀ THI CHỌN HSG TỈNH NAM ĐỊNH NĂM HỌC 2015-2016 Câu 1: (3,0 điểm) 5 5 11 22 Tính giá trị biểu thức Cho số thực x, y , z thoả mãn đồng thời điều kiện x y z 2 , x y z 18 xyz 1 S xy z yz x zx y Tính giá trị Câu 2: (5,0 điểm) Giải phương trình 2 x x x 11 0 y y x x 0 2 Giải hệ phương trình x y x 0 Câu 3: (3,0 điểm) 2 Tìm tất số nguyên x, y thỏa mãn x y xy x y 1 Chứng minh với số nguyên dương n lớn ta có n 1 n 3 Câu 4: (7,0 điểm) O ngoại Cho tam giác nhọn ABC có AB AC , nội tiếp đường tròn I Điểm D thuộc cạnh AC cho ABD ACB Đường tiếp đường tròn thẳng AI cắt đường tròn ngoại tiếp tam giác DIC điểm thứ hai E O điểm thứ hai Q Đường thẳng qua E song cắt đường tròn song với AB cắt BD P Chứng minh tam giác QBI cân Chứng minh BP.BI BE.BQ Gọi J tâm đường tròn nội tiếp tam giác ABD, K trung điểm JE Chứng minh PK //JB Câu 5: (2,0 điểm) Cho lớp học có 35 học sinh, học sinh tổ chức số câu lạc môn học Mỗi học sinh tham gia câu lạc Nếu chọn 10 học sinh ln có học sinh tham gia câu lạc Chứng minh có câu lạc gồm học sinh Liên hệ tài 039.373.2038 liệu word môn tốn: TÀI LIỆU TỐN HỌC Website:tailieumontoan.com ……………….HẾT…………… Thí sinh khơng sử dụng tài liệu Giám thị khơng giải thích thêm Họ tên thí sinh:…………………………………………….….Số báo danh: ………………… Liên hệ tài 039.373.2038 liệu word mơn tốn: TÀI LIỆU TOÁN HỌC Website:tailieumontoan.com LỜI GIẢI ĐỀ THI CHỌN HSG TỈNH NAM ĐỊNH NĂM HỌC 20152016 Câu 1: (3,0 điểm) 5 5 11 22 Tính giá trị biểu thức Cho số thực x, y , z thoả mãn đồng thời điều kiện x y z 2 , x y z 18 xyz 1 S xy z yz x zx y Tính giá trị Lời giải 5 5 M 22 Đặt 5 5 Ta có 3 11 3 xy z xy x y x 1 y 1 Tương tự S Suy yz x y 1 z 1 zx y z 1 x 1 x 1 y 1 y 1 z 1 z 1 x 1 Do 3 10 22 M2 2 M 22 Ta có 22 Do đó: Ta có 11 Ta lại có x yz x 1 y 1 z 1 1 xyz xy yz zx x y z xy yz zx x y z S x y z xy yz zx xy yz zx Câu 2: (5,0 điểm) Giải phương trình 2 x x x 11 0 y y x x 0 x y x 0 Giải hệ phương trình 1 2 Lời giải Điều kiện: x 2x x Liên hệ tài 039.373.2038 liệu word x 11 0 2 x x x 11 mơn tốn: TÀI LIỆU TỐN HỌC Website:tailieumontoan.com x x x 5 x 11 x x 3 x x 3 x 3 x 1 2 x 12 x x 9 x x x 11x 12 0 Kết hợp điều kiện ta x 1 nghiệm phương trình Điều kiện x 1, y y y x x 0 y y x y 1 0 y 1 x 0 y x y 1 y TH1: Với y 1 , thay vào (2) ta x2 1 x 0 x x x x 7 x x 1 x 1 x x 0 x 2 (thỏa mãn điều kiện x) x 4 TH2: Với y x , thay vào (2) ta được: x2 x x 0 x2 4 x 0 x 1 x 2 x 2 x 2 x 2 x 0 x 1 x2 x 2 x 2 x2 0 x 1 x2 *) x 2 suy y 1 x2 *) x 2 x 2 x 1 x2 x2 2 7x 0 x 1 x 0 x Với x 1 Suy 0 x 2 7x x2 x2 x2 0 0 x 1 Vậy hệ phương trình có nghiệm 1;1 , 2;1 Câu 3: (3,0 điểm) 2 Tìm tất số nguyên x, y thỏa mãn x y xy x y 1 Liên hệ tài 039.373.2038 liệu word môn tốn: TÀI LIỆU TỐN HỌC Website:tailieumontoan.com Chứng minh với số nguyên dương n lớn ta có n 1 n 3 Lời giải 2 2 x y xy x y 1 x y x 1 y 1 4 Ta có Ta có bảng giá trị tương ứng (học sinh xét trường hợp) x y x y 0 1;1 2 0 Loại Loại 2 1;1 0 Loại 0 2 1; 1 Vậy số x; y cần tìm Nghiệm x; y 1;1 , 1;1 , 1; 1 Với số nguyên dương k ta có k k k 1 k 1 k 1 Sử dụng đẳng thức liên tiếp với k 3, 4, , n ta được: 2.4 3.5 4.6 n 1 n 1 n 1 n 1 n 1 n (đpcm) Câu 4: (7,0 điểm) O ngoại Cho tam giác nhọn ABC có AB AC , nội tiếp đường tròn I Điểm D thuộc cạnh AC cho ABD ACB Đường tiếp đường tròn thẳng AI cắt đường tròn ngoại tiếp tam giác DIC điểm thứ hai E O điểm thứ hai Q Đường thẳng qua E song cắt đường tròn song với AB cắt BD P Chứng minh tam giác QBI cân Chứng minh BP.BI BE.BQ Liên hệ tài 039.373.2038 liệu word mơn tốn: TÀI LIỆU TỐN HỌC Website:tailieumontoan.com Gọi J tâm đường tròn nội tiếp tam giác ABD, K trung điểm JE Chứng minh PK //JB Lời giải P A D J I O K B C H E Q Ta có AI phân giác BAC nên Q điểm cung BC (O) Suy BAQ QAC QBC Khi IBQ IBC QBC IBA BAQ BIQ QBI cân Q AB AD AC AB hay AB AD AC ABD ∽ ACB (g.g) (1) ADI ∽ AEC (g.g) (có góc A chung AID ACE ) AD AI AE AC hay AI AE AD AC (2) Từ (1) (2) suy AI AE AB ABI ∽ AEB (c.g.c) ABC AEB ABI BAC AEP BAE (hai góc so le trong), Mà Liên hệ tài 039.373.2038 liệu word mơn tốn: TÀI LIỆU TỐN HỌC Website:tailieumontoan.com ABC BAC BEP suy BAC ABC BIQ Theo ý ta có suy BIQ BEP Ta có BPE ABD ACB BQI Suy PBE ∽ QBI (g.g) BP BE BP.BI BE.BQ BQ BI (đpcm) BQI ∽ BPE BQI cân Q nên PBE cân P, suy BAC ABC PBE PH BE với H trung điểm BE Vì HK đường trung bình EBJ nên HK//BJ ACB BAC ABC JBD DBE Ta có , suy JBE 90 hay JB BE Suy PH // JB Do P, H, K thẳng hàng hay PK // JB Câu 5: (2,0 điểm) Cho lớp học có 35 học sinh, học sinh tổ chức số câu lạc môn học Mỗi học sinh tham gia câu lạc Nếu chọn 10 học sinh ln có học sinh tham gia câu lạc Chứng minh có câu lạc gồm học sinh Lời giải Giả sử tất câu lạc có khơng q học sinh Gọi N số câu lạc có học sinh Nếu N , từ số câu lạc này, chọn câu lạc học sinh, 10 học sinh khơng thỏa mãn điều kiện toán Nếu N , số học sinh tham gia câu lạc khơng q 3.8 24 , nghĩa cịn 35 24 11 học sinh, học sinh tham gia câu lạc mà câu lạc có học sinh Chọn 10 học sinh số này, không thỏa mãn điều kiện toán Vậy N 4 Số học sinh tham gia câu lạc không 4.8 32 , nghĩa cịn học sinh, học sinh tham gia câu lạc mà câu lạc có học sinh Liên hệ tài 039.373.2038 liệu word mơn tốn: TÀI LIỆU TỐN HỌC Website:tailieumontoan.com Chọn số học sinh câu lạc chọn học sinh, 10 học sinh không thỏa mãn điều kiện Vậy điều giả sử sai, nghĩa tồn câu lạc có học sinh tham gia …………… HẾT…………… Liên hệ tài 039.373.2038 liệu word mơn tốn: TÀI LIỆU TOÁN HỌC