110 HSG 14 HUNG YEN PHAM LUONG

Website:tailieumontoan.com ĐỀ THI CHỌN HSG TỈNH HƯNG YÊN NĂM HỌC 2014-2015 Câu (3,0 điểm)  10 1 x  2  Cho A   x  x  x  x  1 Câu Tính giá trị biểu thức 2015 (4,0 điểm) a) Cho Parabol  P  : y  x2 thực) Tìm m để  d đường thẳng cắt  P  d  : y  mx  ( m tham số hai điểm phân biệt A, B thỏa mãn AB  10 b) Tìm tất nghiệm nguyên dương x, y thỏa mãn phương trình x  xy  y  x  y  40  Câu (5,0 điểm) x3 5 x a) Giải phương trình b) Giải hệ phương trình Câu  x  40  x  y  15 y  14   y  x   4 x  xy  15 x   (6,0 điểm) a  0 M Cho hình chữ nhật ABCD có AB  5a AD  2a  điểm cạnh AB ( M khác A khác B ) Gọi H , K hình chiếu vng góc M AC DC a) Chứng minh điểm B, C , K , H , M thuộc đường tròn Xác định tâm O đường trịn AH MK b) Tính MH theo a  O  Tính AM theo a c) Khi AK tiếp tuyến đường tròn Câu (2,0 điểm) Cho ba số thực dương a, b, c thỏa mãn ab  ac  bc  Tìm giá trị nhỏ biểu thức T 19a  19b  19c     b2  c2  a2 HẾT - Liên hệ tài 039.373.2038 liệu word mơn tốn: TÀI LIỆU TỐN HỌC Website:tailieumontoan.com Liên hệ tài 039.373.2038 liệu word mơn tốn: TÀI LIỆU TỐN HỌC Website:tailieumontoan.com LỜI GIẢI ĐỀ ĐỀ THI CHỌN HSG TỈNH HƯNG YÊN NĂM HỌC 2014-2015 Câu (3,0 điểm) x  2  Cho A   x  x3  x  x  1  10 1 Tính giá trị biểu thức 2015 Lời giải Ta có  10  2  1 x  2  3   3 1  2  1  1 42   1  2   1    1 2     1 3 1  1 2  Thay x  vào A ta có A   x  x3  x  x  1 Câu 2015     2   2 1 2015  12015  (4,0 điểm) a) Cho Parabol  P  : y  x2 thực) Tìm m để  d đường thẳng cắt  P  d  : y  mx  ( m tham số hai điểm phân biệt A, B thỏa mãn AB  10 b) Tìm tất nghiệm nguyên dương x, y thỏa mãn phương trình x  xy  y  x  y  40  Lời giải a) Hoành độ giao điểm  P  d 2 x  mx   x  mx   Ta có   m  P d Vì m   nên đồ thị hàm số     cắt hai điểm phân biệt Theo hệ thức Vi-et ta có Gọi A  x1 ; y1  AB   x1  x2  B  x2 ; y2   x1  x2  m   x1 x2  1 giao điểm  P  d ta có:   y1  y2   10   x1  x2    y1  y2   10 Liên hệ tài 039.373.2038 liệu word mơn tốn: TÀI LIỆU TỐN HỌC Website:tailieumontoan.com   x1  x2    x12  x22   10 2   x1  x2   x1 x2   x1  x2   x1  x2  2  10 2   x1  x2   x1 x2   x1  x2   x1  x2   x1 x2   10    m   m  m    10  m  5m    m  m  6m     m  1  m     m2    m  1 2 b) Ta có x  xy  y  x  y  40   x  y  xy  x  y   x  xy  y  41   x  y  1   x  y   41 2   x  y  1   x  y   42  52 2 x  y 1  x    y 1 TH1: 2 x  y  x  y 1  x     y  (loại) TH2: 2 x  y  Vậy nghiệm nguyên dương phương trình Câu  2;1 (5,0 điểm) x3 a) Giải phương trình 5 x  x  40  x  y  15 y  14   y  x   x  xy  15 x   b) Giải hệ phương trình  Lời giải a) ĐK:  x     x  x3 Ta có: 5 x  x  40  x  x  x 40  x  x   x   x 5 0 Liên hệ tài 039.373.2038 liệu word mơn tốn: TÀI LIỆU TỐN HỌC Website:tailieumontoan.com   x3   x  0     x   x    2x  x   x x 2 x 5 x2 5 x2 20  4x 3x 20    0 0 TH1: x   x 0 ĐK: x    x   x   x  20  x  2  x  2 TH2: x  x 3x 20 0  x  x 3x 20  x  x  9 x 120 x 400  13x  100 x  400  (vơ nghiệm) Vậy phương trình có nghiệm x   x  y  15 y  14   y  x   x  xy  15 x   b) Ta có:  Ở phương trình  1  (1) (2) ta có: x  y 15 y  14   y x   x  3x  y  15 y  y  14  x  x  y  y  12 y   y   x  3x   y     y 2   x y2  *  2  * Từ ta có hệ phương trình:  x   y x  y  x   y    4 x  x  x    15 x    x  xy  15 x   4 x  x  3x    1  x      x  1  5 x   y  y  5      x   y 8 x  12 x  x   Liên hệ tài 039.373.2038 liệu word môn tốn: TÀI LIỆU TỐN HỌC Website:tailieumontoan.com  1  5   ;    2   Vậy hệ phương trình có nghiệm Câu (6,0 điểm) a  0 M Cho hình chữ nhật ABCD có AB  5a AD  2a  điểm cạnh AB ( M khác A khác B ) Gọi H , K hình chiếu vng góc M AC DC a) Chứng minh điểm B, C , K , H , M thuộc đường tròn Xác định tâm O đường trịn AH MK b) Tính MH theo a  O  Tính AM theo a c) Khi AK tiếp tuyến đường tròn Lời giải Liên hệ tài 039.373.2038 liệu word mơn tốn: TÀI LIỆU TOÁN HỌC Website:tailieumontoan.com · · a) Xét tứ giác MHCB ta có MHC  MBC  90 · ·  MHC  MBC  180  Tứ giác MHCB nội tiếp đường trịn đường kính MC · · Xét tứ giác MKCB ta có MKC  MBC  90 · ·  MKC  MBC  90 Tứ giác MKCB nội tiếp đường trịn đường kính MC  1  1  2  2 suy điểm B, C , K , H , M thuộc đường trịn đường kính MC Từ Tâm O trung điểm MC b) Xét ABC AHM có · · · MHM  MBC  90 CAB chung  ABC ∽ AHM AB BC  AH MH mà MK  BC AB MK AH MK   AB  AH MH MH mà AB  5a AH MK  5a MH O c) Giả sử AK tiếp tuyến   Dễ dàng ta có tứ giác MKCB hình chữ nhật nên O nằm đoạn BK Xét ABK vuông K đường cao KM ta có AM MB MK  AM  AB AM  AD  AM 5a AM 4a  AM  5a AM 4a 0 Liên hệ tài 039.373.2038 liệu word mơn tốn: TÀI LIỆU TOÁN HỌC Website:tailieumontoan.com  AM  AM  4a AM a AM 4a 0  AM  AM 4a  a  4a  0  AM  a    AM  a   AM 4a  0  AM  4a Vậy AM  4a AM  a Câu (2,0 điểm) Cho ba số thực dương a, b, c thỏa mãn ab  ac  bc  Tìm giá trị nhỏ T biểu thức 19a  19b  19c     b2  c2  a2 Lời giải Áp dụng bất đẳng thức Bunhiacopxki ta có a ab  ac  bc    b  c  b a c   a  b2  c  3s  a  b  c   ab ac bc  3 2    a  b  c   a bc  T 19a  19b  19c  b c   a 1 b 1 c 1   a    16    3    2 2 2  2  1 b 1 c 1 a  1 b 1 c 1 a   1 b 1 c 1 a  a b c a 1 b 1 c 1   B   2  b  c  a  b2  c  a2 Đặt Ta lại có: A b c   a a b c  A  a b c    2   1 b 1 c 1 a  a) ab bc ca ab bc ac        2 1 b 1 c 1 a 2 2  A abc  *  a 1 b 1 c 1  a b  c  3 B  a b  c 3    2  b  c  a2   b)  a  ab  a    b b  bc  b    c c  a 2c  c    a    b2  c2 1 a2  ab2  b bc  c a c  a a  b  c      b2  c2 1 a2 2 a bc a bc  B  a b  c 3  B  2 2 Liên hệ tài 039.373.2038 liệu word mơn tốn:  ** TÀI LIỆU TOÁN HỌC Website:tailieumontoan.com Từ  *  ** ta có: 3   a b c 3 16 A  3B  16  a b c   3    2 2   35 39  a b c   33 2 Vậy GTNN T 33 Dấu "  " xảy a  b  c  T  Liên hệ tài 039.373.2038 liệu word mơn tốn: TÀI LIỆU TỐN HỌC ... nghiệm x   x  y  15 y  14   y  x   x  xy  15 x   b) Ta có:  Ở phương trình  1  (1) (2) ta có: x  y 15 y  14   y x   x  3x  y  15 y  y  14  x  x  y  y  12 y... word mơn tốn: TÀI LIỆU TOÁN HỌC Website:tailieumontoan.com LỜI GIẢI ĐỀ ĐỀ THI CHỌN HSG TỈNH HƯNG YÊN NĂM HỌC 2 014- 2015 Câu (3,0 điểm) x  2  Cho A   x  x3  x  x  1  10 1 Tính giá trị... dương phương trình Câu  2;1 (5,0 điểm) x3 a) Giải phương trình 5 x  x  40  x  y  15 y  14   y  x   x  xy  15 x   b) Giải hệ phương trình  Lời giải a) ĐK:  x     x 