Website:tailieumontoan.com ĐỀ THI CHỌN HSG TỈNH HƯNG YÊN NĂM HỌC 2014-2015 Câu (3,0 điểm) 10 1 x 2 Cho A x x x x 1 Câu Tính giá trị biểu thức 2015 (4,0 điểm) a) Cho Parabol P : y x2 thực) Tìm m để d đường thẳng cắt P d : y mx ( m tham số hai điểm phân biệt A, B thỏa mãn AB 10 b) Tìm tất nghiệm nguyên dương x, y thỏa mãn phương trình x xy y x y 40 Câu (5,0 điểm) x3 5 x a) Giải phương trình b) Giải hệ phương trình Câu x 40 x y 15 y 14 y x 4 x xy 15 x (6,0 điểm) a 0 M Cho hình chữ nhật ABCD có AB 5a AD 2a điểm cạnh AB ( M khác A khác B ) Gọi H , K hình chiếu vng góc M AC DC a) Chứng minh điểm B, C , K , H , M thuộc đường tròn Xác định tâm O đường trịn AH MK b) Tính MH theo a O Tính AM theo a c) Khi AK tiếp tuyến đường tròn Câu (2,0 điểm) Cho ba số thực dương a, b, c thỏa mãn ab ac bc Tìm giá trị nhỏ biểu thức T 19a 19b 19c b2 c2 a2 HẾT - Liên hệ tài 039.373.2038 liệu word mơn tốn: TÀI LIỆU TỐN HỌC Website:tailieumontoan.com Liên hệ tài 039.373.2038 liệu word mơn tốn: TÀI LIỆU TỐN HỌC Website:tailieumontoan.com LỜI GIẢI ĐỀ ĐỀ THI CHỌN HSG TỈNH HƯNG YÊN NĂM HỌC 2014-2015 Câu (3,0 điểm) x 2 Cho A x x3 x x 1 10 1 Tính giá trị biểu thức 2015 Lời giải Ta có 10 2 1 x 2 3 3 1 2 1 1 42 1 2 1 1 2 1 3 1 1 2 Thay x vào A ta có A x x3 x x 1 Câu 2015 2 2 1 2015 12015 (4,0 điểm) a) Cho Parabol P : y x2 thực) Tìm m để d đường thẳng cắt P d : y mx ( m tham số hai điểm phân biệt A, B thỏa mãn AB 10 b) Tìm tất nghiệm nguyên dương x, y thỏa mãn phương trình x xy y x y 40 Lời giải a) Hoành độ giao điểm P d 2 x mx x mx Ta có m P d Vì m nên đồ thị hàm số cắt hai điểm phân biệt Theo hệ thức Vi-et ta có Gọi A x1 ; y1 AB x1 x2 B x2 ; y2 x1 x2 m x1 x2 1 giao điểm P d ta có: y1 y2 10 x1 x2 y1 y2 10 Liên hệ tài 039.373.2038 liệu word mơn tốn: TÀI LIỆU TỐN HỌC Website:tailieumontoan.com x1 x2 x12 x22 10 2 x1 x2 x1 x2 x1 x2 x1 x2 2 10 2 x1 x2 x1 x2 x1 x2 x1 x2 x1 x2 10 m m m 10 m 5m m m 6m m 1 m m2 m 1 2 b) Ta có x xy y x y 40 x y xy x y x xy y 41 x y 1 x y 41 2 x y 1 x y 42 52 2 x y 1 x y 1 TH1: 2 x y x y 1 x y (loại) TH2: 2 x y Vậy nghiệm nguyên dương phương trình Câu 2;1 (5,0 điểm) x3 a) Giải phương trình 5 x x 40 x y 15 y 14 y x x xy 15 x b) Giải hệ phương trình Lời giải a) ĐK: x x x3 Ta có: 5 x x 40 x x x 40 x x x x 5 0 Liên hệ tài 039.373.2038 liệu word mơn tốn: TÀI LIỆU TỐN HỌC Website:tailieumontoan.com x3 x 0 x x 2x x x x 2 x 5 x2 5 x2 20 4x 3x 20 0 0 TH1: x x 0 ĐK: x x x x 20 x 2 x 2 TH2: x x 3x 20 0 x x 3x 20 x x 9 x 120 x 400 13x 100 x 400 (vơ nghiệm) Vậy phương trình có nghiệm x x y 15 y 14 y x x xy 15 x b) Ta có: Ở phương trình 1 (1) (2) ta có: x y 15 y 14 y x x 3x y 15 y y 14 x x y y 12 y y x 3x y y 2 x y2 * 2 * Từ ta có hệ phương trình: x y x y x y 4 x x x 15 x x xy 15 x 4 x x 3x 1 x x 1 5 x y y 5 x y 8 x 12 x x Liên hệ tài 039.373.2038 liệu word môn tốn: TÀI LIỆU TỐN HỌC Website:tailieumontoan.com 1 5 ; 2 Vậy hệ phương trình có nghiệm Câu (6,0 điểm) a 0 M Cho hình chữ nhật ABCD có AB 5a AD 2a điểm cạnh AB ( M khác A khác B ) Gọi H , K hình chiếu vng góc M AC DC a) Chứng minh điểm B, C , K , H , M thuộc đường tròn Xác định tâm O đường trịn AH MK b) Tính MH theo a O Tính AM theo a c) Khi AK tiếp tuyến đường tròn Lời giải Liên hệ tài 039.373.2038 liệu word mơn tốn: TÀI LIỆU TOÁN HỌC Website:tailieumontoan.com · · a) Xét tứ giác MHCB ta có MHC MBC 90 · · MHC MBC 180 Tứ giác MHCB nội tiếp đường trịn đường kính MC · · Xét tứ giác MKCB ta có MKC MBC 90 · · MKC MBC 90 Tứ giác MKCB nội tiếp đường trịn đường kính MC 1 1 2 2 suy điểm B, C , K , H , M thuộc đường trịn đường kính MC Từ Tâm O trung điểm MC b) Xét ABC AHM có · · · MHM MBC 90 CAB chung ABC ∽ AHM AB BC AH MH mà MK BC AB MK AH MK AB AH MH MH mà AB 5a AH MK 5a MH O c) Giả sử AK tiếp tuyến Dễ dàng ta có tứ giác MKCB hình chữ nhật nên O nằm đoạn BK Xét ABK vuông K đường cao KM ta có AM MB MK AM AB AM AD AM 5a AM 4a AM 5a AM 4a 0 Liên hệ tài 039.373.2038 liệu word mơn tốn: TÀI LIỆU TOÁN HỌC Website:tailieumontoan.com AM AM 4a AM a AM 4a 0 AM AM 4a a 4a 0 AM a AM a AM 4a 0 AM 4a Vậy AM 4a AM a Câu (2,0 điểm) Cho ba số thực dương a, b, c thỏa mãn ab ac bc Tìm giá trị nhỏ T biểu thức 19a 19b 19c b2 c2 a2 Lời giải Áp dụng bất đẳng thức Bunhiacopxki ta có a ab ac bc b c b a c a b2 c 3s a b c ab ac bc 3 2 a b c a bc T 19a 19b 19c b c a 1 b 1 c 1 a 16 3 2 2 2 2 1 b 1 c 1 a 1 b 1 c 1 a 1 b 1 c 1 a a b c a 1 b 1 c 1 B 2 b c a b2 c a2 Đặt Ta lại có: A b c a a b c A a b c 2 1 b 1 c 1 a a) ab bc ca ab bc ac 2 1 b 1 c 1 a 2 2 A abc * a 1 b 1 c 1 a b c 3 B a b c 3 2 b c a2 b) a ab a b b bc b c c a 2c c a b2 c2 1 a2 ab2 b bc c a c a a b c b2 c2 1 a2 2 a bc a bc B a b c 3 B 2 2 Liên hệ tài 039.373.2038 liệu word mơn tốn: ** TÀI LIỆU TOÁN HỌC Website:tailieumontoan.com Từ * ** ta có: 3 a b c 3 16 A 3B 16 a b c 3 2 2 35 39 a b c 33 2 Vậy GTNN T 33 Dấu " " xảy a b c T Liên hệ tài 039.373.2038 liệu word mơn tốn: TÀI LIỆU TỐN HỌC ... nghiệm x x y 15 y 14 y x x xy 15 x b) Ta có: Ở phương trình 1 (1) (2) ta có: x y 15 y 14 y x x 3x y 15 y y 14 x x y y 12 y... word mơn tốn: TÀI LIỆU TOÁN HỌC Website:tailieumontoan.com LỜI GIẢI ĐỀ ĐỀ THI CHỌN HSG TỈNH HƯNG YÊN NĂM HỌC 2 014- 2015 Câu (3,0 điểm) x 2 Cho A x x3 x x 1 10 1 Tính giá trị... dương phương trình Câu 2;1 (5,0 điểm) x3 a) Giải phương trình 5 x x 40 x y 15 y 14 y x x xy 15 x b) Giải hệ phương trình Lời giải a) ĐK: x x