122 HSG 12 QUANG BINH PHAM LUONG

Website:tailieumontoan.com ĐỀ THI CHỌN HSG TỈNH QUẢNG BÌNH NĂM HỌC 2012-2013 Câu (2,0 điểm) P Cho biểu thức: x x  26 x  19 x x 3   x x 3 x 1 x 3 a) Rút gọn P b) Tìm x để P đạt giá trị nhỏ Câu (2.0 điểm) Cho phương trình x  2mx  m   a) Tìm m x13  x23  26m để phương trình có hai nghiệm phân biệt x1 , x2 thỏa mãn b) Tìm m nguyên để phương trình có hai nghiệm ngun Câu (3,5 điểm) Cho tam giác ABC cố định nội tiếp đường tròn  O  Đường thẳng d thay đổi qua A cắt cung nhỏ AB điểm thứ hai E  E  A Đường thẳng d cắt hai tiếp tuyến B C đường tròn  O  M N , MC cắt BN F Chứng minh rằng: a) Tam giác CAN đồng dạng với tam giác BMA , tam giác MBC đồng dạng với tam giác BCN b) Tứ giác BMEF tứ giác nội tiếp c) Chứng minh đường thẳng EF qua điểm cố định d thay đổi qua A Câu (1,5 điểm) Cho số thực dương a, b, c thỏa mãn a  b  c  Chứng minh rằng: bc5 ca4 ab3   6 1 a 2b 3c Dấu đẳng thức xảy nào? Câu (1,0 điểm) n Cho n số tự nhiên lớn Chứng minh n  hợp số HẾT Liên hệ tài 039.373.2038 liệu word mơn tốn: TÀI LIỆU TỐN HỌC Website:tailieumontoan.com Liên hệ tài 039.373.2038 liệu word mơn tốn: TÀI LIỆU TOÁN HỌC Website:tailieumontoan.com LỜI GIẢI ĐỀ ĐỀ THI CHỌN HSG TỈNH QUẢNG BÌNH NĂM HỌC 2012-2013 Câu (2,0 điểm) P Cho biểu thức: x x  26 x  19 x x 3   x x 3 x 1 x 3 a) Rút gọn P b) Tìm x để P đạt giá trị nhỏ Lời giải a) ĐK:  x  Ta có: P x x  26 x  19 x x 3   ( x  1)( x  3) x 1 x 3  x x  26 x  19  x ( x  3)  ( x  3)( x  1) ( x  1)( x  3)  x x  26 x  19  x  x  x  x  ( x  1)( x  3)  x x  x  16 x  16 ( x  1)( x  16) x  16   ( x  1)( x  3) ( x  1)( x  3) x 3 P b) x  16 25 25  x 3  x  3 6 x 3 x 3 x 3 25   10   x 3  ( x  3) Vậy GTNN P  , dấu "  " xảy Câu x 3 25 x4 x 3 (2,0 điểm) Cho phương trình x  2mx  m   a) Tìm m để phương trình có hai nghiệm phân biệt x1 , x2 thỏa mãn x  x  26m 3 b) Tìm m nguyên để phương trình có hai nghiệm ngun Lời giải a) x  2mx  m    15  '  m m   m    2  Ta có: , với m Liên hệ tài 039.373.2038 liệu word mơn tốn: TÀI LIỆU TỐN HỌC Website:tailieumontoan.com Vậy phương trình ln có nghiệm phân biệt với m  x1  x2  2m  x x m4 Theo định lý Vi-et ta có:  3   x1  x2   3x1 x2 ( x1  x2 )  26m Ta có x1  x2  26m  8m3  6m(m  4)  26m  m(8m  6m  2)   m    m   m    b) Gọi x1 , x2 (x1  x2 ) hai nghiệm ngun phương trình Theo định lí Vi-et ta có Suy  x1  x2  2m   x1 x2  m  x1  x2  x1 x2   2( x1  x2 )  x1 x2   15  (2 x1  1)(2 x2  1)  15 2 x1   1  x1   m4  x2   15  x2   TH1: 2 x1   5  x1  2  m0  x2   x2    TH2: TH3: 2 x1   15  x1  7   m  3  2 x2    x2  2 x1   3  x1  1   m 1  x2   x2    TH4: Thử lại m  , m  , m  3 , m  thỏa mãn điều kiện toán Câu (3,5 điểm) Cho tam giác ABC cố định nội tiếp đường tròn  O  Đường thẳng d thay đổi qua A cắt cung nhỏ AB điểm thứ hai E  E  A Đường thẳng d cắt hai tiếp tuyến B C đường tròn  O  M N , MC cắt BN F Chứng minh rằng: a) Tam giác CAN đồng dạng với tam giác BMA , tam giác MBC đồng dạng với tam giác BCN Liên hệ tài 039.373.2038 liệu word mơn tốn: TÀI LIỆU TỐN HỌC Website:tailieumontoan.com b) Tứ giác BMEF tứ giác nội tiếp c) Chứng minh đường thẳng EF qua điểm cố định d thay đổi qua A Lời giải N A E M F O I B C · · a) Ta có: AC //BM  BMA  CAN · ·  CNA AB //CN  BAM Xét CAN BMA có · · BMA  CAN · · BAM  CNA  CAN ∽ BMA (g.g) MB AB MB BC    BC CN Suy ra: AC NC · · Mặt khác MBC  BCN  120 Xét MBC BCN có MB BC  BC CN · · MBC  BCN  120  MBC ∽ BCN (c.g.c) · · · · · · b) Ta có BFM  BCM  NBC  BCM  BMC  180  MBC  60 · · Mặt khác BEM  BCA  60 (do t/c góc ngồi tứ giác nội tiếp) · · Suy BFM  BEM  60 Do tứ giác BMEF nội tiếp Liên hệ tài 039.373.2038 liệu word mơn tốn: TÀI LIỆU TỐN HỌC Website:tailieumontoan.com c) Gọi I giao điểm EF với BC · · Ta có IBF  BMF (câu a), suy IB tiếp tuyến đường tròn ngoại tứ giác BMEF Tương tự chứng minh IC tiếp tuyến đường tròn ngoại tứ giác CNEF 2 Từ đó: IB  IE.IF ; IC  IE.IF  IB  IC hay I trung điểm BC Vậy d qua điểm cố định I Câu (1,5 điểm) Cho số thực dương a, b, c thỏa mãn a  b  c  Chứng minh rằng: bc5 ca4 ab3   6 1 a 2b 3c Dấu đẳng thức xảy nào? Lời giải Đặt x  a  1; y  b  2; z  c  Ta có 2 VT   x, y , z   yz zx x y y x x z y z         x y z x y z x z y y x z x y z 2 2 6 x y x z z y Dấu xảy x  y  z suy a  , b  , c  Câu (1,0 điểm) n Cho n số tự nhiên lớn Chứng minh n  hợp số Lời giải n số tự nhiên lớn nên n có dạng n  2k n  2k  , với k  ¥ * n  4n   2k   k - Với n  2k , ta có lớn chia hết cho Do n  4n hợp số n  4n  n  42 k.4  n   2.4 k    n  2.4 k    2.n.2 k  - Với n  2k  , ta có  k k   n  2.4k  2.n.2k   n  2.4 k  2.n.2k    n    2 n2  k  4k  n Mỗi thừa số lớn Vậy n  hợp số Liên hệ tài 039.373.2038 liệu word mơn tốn: TÀI LIỆU TỐN HỌC Website:tailieumontoan.com Liên hệ tài 039.373.2038 liệu word mơn tốn: TÀI LIỆU TOÁN HỌC ... word mơn tốn: TÀI LIỆU TOÁN HỌC Website:tailieumontoan.com LỜI GIẢI ĐỀ ĐỀ THI CHỌN HSG TỈNH QUẢNG BÌNH NĂM HỌC 2 012- 2013 Câu (2,0 điểm) P Cho biểu thức: x x  26 x  19 x x 3   x x 3 x 1... (g.g) MB AB MB BC    BC CN Suy ra: AC NC · · Mặt khác MBC  BCN  120  Xét MBC BCN có MB BC  BC CN · · MBC  BCN  120   MBC ∽ BCN (c.g.c) · · · · · · b) Ta có BFM  BCM  NBC  BCM