Website:tailieumontoan.com KÌ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI MƠN TỐN LỚP NĂM HỌC 2017-2018 SỞ GD&ĐT HƯNG YÊN Thời gian làm bài: 150 phút Bài 1 1 a) Cho a, b thỏa mãn a b 2018 Chứng minh a b a 2018 b 2018 b) Cho a nghiệm dương phương trình x x a2 A a a a2 Tính giá trị biểu thức Bài a) Giải phương trình 1 1 x b) Tìm cặp số nguyên x; y x x 0 thỏa mãn x 2018 y y 11y y Bài x y x 1 y 1 x y y 1 4 x a) Giải hệ phương trình yz zx xy y z 4 y z x Chứng minh x b) Cho x, y, z thỏa mãn Bài Cho đường tròn O; R điểm A cố định với OA 2 R , đường kính BC quay quanh O cho tam giác ABC tam giác nhọn Đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC cắt O đường thẳng OA điểm thứ hai I Các đường thẳng AB , AC cắt đường tròn điểm thứ hai D E Gọi K giao điểm DE AO a) Chứng minh AK AI AE AC b) Tính độ dài đoạn AK theo R c) Chứng minh tâm đường trịn ngoại tiếp ADE ln thuộc đường thẳng cố định Bài Từ 625 số tự nhiên liên tiếp 1, 2,3, , 625 chọn 311 số cho khơng có hai số có tổng 625 Chứng minh 311 số chọn, có số phương HẾT Liên hệ tài 039.373.2038 liệu word mơn tốn: TÀI LIỆU TOÁN HỌC Website:tailieumontoan.com HƯỚNG DẪN GIẢI CHI TIẾT VÀ ĐÁP SỐ ĐỀ HSG HỨNG YÊN – NĂM HỌC 2017 - 2018 Bài 1 1 a , b a) Cho thỏa mãn a b 2018 Chứng minh a b a 2018 b 2018 b) Cho a nghiệm dương phương trình x x a2 A a4 a a2 Tính giá trị biểu thức 0 Lời giải a) Từ giả thiết 1 ab 2018 a b 2018 a b a 2018 b 2018 a a b a b a b a b a b a b (Vì a, b ) b) Ta có a nghiệm dương phương trình x x 6a 3a a2 A a a2 a Do Bài a 0 nên 0 6a 1 3a a a2 3 a ab ab b a b a b a2 a2 a) Giải phương trình 1 a 2 a4 a a2 a a2 a a2 a2 a2 1 x x; y b) Tìm cặp số nguyên x x 0 a 3a a 2018 y y 11y y x thỏa mãn Lời giải a) Giải phương trình 1 1 x Liên hệ tài 039.373.2038 liệu 1 1 x x x ĐK: x 1 x x x x x x x word mơn tốn: x x 0 TÀI LIỆU TOÁN HỌC Website:tailieumontoan.com x 0 3 x 1 x Xét phương trình x 1 x x a x b Đặt a b a b 1 a b 2 b 3b 3b b 1 a b b 2b 3b 0 a 1 x 1 b 0 Đối chiếu ĐKXĐ ta có: x 2018 b) x 0;1 y y 11y y x 2018 y y 1 2 x 2018 y y 1 1 y y x 2019 y y x 2017 1 Vì cặp x ; y nguyên nên: TH1: y y x 2019 1 y y x 2017 1 x 2018 y y 0 x 2018; y 0 x 2018; y 3 y y x 2019 x 2018 y y x 2017 y y 0 TH2: Vậy phương trình có nghiệm Bài x 2018; y 1 x 2018; y 2 x; y 2018;0 , 2018;1 , 2018; , 2018;3 x y x 1 y 1 1 3x y y 1 4 x a) Giải hệ phương trình yz zx xy y z 4 x , y , z x y z x b) Cho thỏa mãn Chứng minh Lời giải a) ĐKXĐ: x, y 2 Từ x y y 1 4 x x y x y 1 0 Vì x, y x 2y , đó: x y 0 y 1 x Liên hệ tài 039.373.2038 liệu word mơn tốn: TÀI LIỆU TỐN HỌC Website:tailieumontoan.com Thay vào phương trình 1 ta được: x 1 x x2 x 1 2 ; 3 x 2 Đặt x x t , t t 8t t t t 2t 0 t 2 t (Vì t ) t 2 TH1: TH2: x ; y x 1 x 0 x ; y 2 (thỏa mãn điều kiện xác định) t 1 x 1 x 1 0 (vơ lí) ; , ; 2 2 Vậy phương trình có nghiệm: x; y b) Áp dụng bất đẳng thức CauChy ta có yz zx xy yz zx zy xy zx xy 2 z y x x y z y z y z x x 4 x y 2( z x) 8 xy xz 4 x (2 y z ) 4 x Dấu xảy Bài x y z 4 x O; R điểm A cố định với OA 2 R , đường kính BC quay quanh O cho tam giác ABC tam giác nhọn Đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC cắt Cho đường tròn O đường thẳng OA điểm thứ hai I Các đường thẳng AB , AC cắt đường tròn điểm thứ hai D E Gọi K giao điểm DE AO a) Chứng minh AK AI AE AC b) Tính độ dài đoạn AK theo R c) Chứng minh tâm đường tròn ngoại tiếp ADE thuộc đường thẳng cố định Lời giải Liên hệ tài 039.373.2038 liệu word mơn tốn: TÀI LIỆU TOÁN HỌC Website:tailieumontoan.com a) Ta có tứ giác BCED nội tiếp ABC DEC 180 AEK ABC ( bù DEC ) Mặt khác ABC AIC (hai góc nội tiếp chắn cung AC ); suy AEK AIC (bắc cầu) Xét AEK AIC có : AEK AIC EAK chung nên AEK ∽ AIC (g.g) AE AK AE AC AK AI AI AC b) Xét AOB COI có : AOB COI (đối đỉnh) BAO ICO (hai góc nội tiếp chắn cung BI ) nên AOB ∽ COI (g.g) OA OB OB.OB R OI AI R OC OI OA 2 O , dễ dàng chứng minh ANE ∽ ACN (g.g) Kẻ tiếp tuyến AN với đường tròn AE AC AN AO ON 3R AE AC AK AI AK R 3R AK R Mà theo câu (a) : c) Gọi F giao điểm đường tròn ngoại tiếp ADE với OA , ta có AFD AED mà AEK ABC (câu a) nên AFD ABC nên tứ giác BDFO nội tiếp đường tròn Dễ dàng chứng minh ADF ∽ AOB(g.g) AD AB AF AO ; ta chứng minh Liên hệ tài 039.373.2038 liệu word mơn tốn: TÀI LIỆU TỐN HỌC Website:tailieumontoan.com AD AB AN AF AO AN AF R không đổi, mà A cố định nên F cố định suy AF cố định Vậy tâm đường tròn ngoại tiếp ADE thuộc đường trung trực đoạn AF cố định Bài Từ 625 số tự nhiên liên tiếp 1, 2,3, , 625 chọn 311 số cho khơng có hai số có tổng 625 Chứng minh 311 số chọn, có số phương Lời giải Ta phân chia 625 số tự nhiên cho thành 311 nhóm sau: +) nhóm thứ gồm năm số phương 49; 225; 400;576;625 +) 310 nhóm cịn lại nhóm gồm hai số có tổng 625 (khơng chứa số nhóm 1) Nếu 311 số chọn khơng có số thuộc nhóm thứ , 311 số thuộc nhóm cịn lại Theo ngun tắc Dirichle phải có hai số thuộc nhóm Hai số có tổng 625 (vơ lí) Vậy chắn 311 số chọn phải có số thuộc nhóm thứ Số số phương HẾT Liên hệ tài 039.373.2038 liệu word mơn tốn: TÀI LIỆU TOÁN HỌC