KHAI THÁC đề HSG TỈNH KHÁNH hòa năm 2022 2023

LỚP TOÁN (ON, OFF) NBV (ZALO: 0384 93 77 30) KHAI THÁC & MỞ RỘNG ĐỀ HSG TỈNH KHÁNH HÒA NĂM 2022-2023 SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO KHÁNH HÒA KỲ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI THCS CẤP TỈNH NĂM HỌC 2022 – 2023 Mơn thi TỐN Ngày thi: 07/12/2022 Thời gian 150 phút (không kể thời gian phát đề) ĐỀ THI CHÍNH THỨC Câu 1: (4,00 điểm) 10 1) Rút gọn biểu thức A 5 2) Cho x, y số nguyên thỏa mãn dẳng thức x y xy x y 2 Chứng minh xy số phương Câu 2: (4,00 điểm) 1) Cho đa thức f ( x) khác với hệ số nguyên thỏa mãn f (3) f (4) đa thức f ( x) 12 khơng có nghiệm ngun 2) Tìm số ngun tố cho tích chúng gấp lần tổng chúng f (7) Chứng minh Câu 3: (4,00 điểm) 1) Giải phương trình 2x 2 x 6x x 4 2) Cho a, b hai số thực lớn thỏa mãn điều kiện a a4 b4 thức B 3 b a b Tìm giá trị nhỏ biểu Câu 4: (6,00 điểm) 1) Cho tam giác ABC, I điểm nằm tam giác Qua I vẽ đường thẳng DE song song với AB ( D AB, E BC ) đường thẳng IM song song với BC ( M AC ) Tính giá trị biểu thức ID AB BE BC CM CA 2) Cho hình vng ACD có tâm O Điểm E thay đổi cạnh BC (E khác B C) Gọi F giao điểm tia AE đường thẳng CD, gọi H giao điểm OE BF a) Chứng minh AE không đổi AF b) Tìm vị trí điểm E để diện tích tam giác HAD đạt giá trị lớn Câu 5: (2,00 điểm) Một tứ giác lồi có độ dài bốn cạnh số tự nhiên cho tổng ba số chúng chia hết số cịn lại Chứng minh tứ giác có hai cạnh -HẾT- Lớp TOÁN (online) cho HS cho GIA SƯ LỚP TOÁN (ON, OFF) NBV (ZALO: 0384 93 77 30) KHAI THÁC & MỞ RỘNG ĐỀ HSG TỈNH KHÁNH HÒA NĂM 2022-2023 LỜI GIẢI THAM KHẢO (Biên soạn: Nguyễn Bá Vinh, Đặng Mai Quốc Khánh) Câu 1: (4,00 điểm) 10 1) Rút gọn biểu thức A 5 2) Cho x, y số nguyên thỏa mãn dẳng thức x y xy x y 2 Chứng minh xy số phương Lời giải: 3 10 3 3 1) A 2 5 5 xy xy x y 1 2) CÁCH 1: x y xy x y 2 x x x y y x y xy x2 y2 x xy x y 2 xy x y x xy y x y xy x y y y CÁCH 2: Đặt x y a, xy Theo giả thiết: x b y xy x y a2 2b 2 a a2 b 2b 2 a2 2a b a2 b a2 b b2 2b 2a 2 a2 b 0 Lớp TOÁN (online) cho HS cho GIA SƯ LỚP TOÁN (ON, OFF) NBV (ZALO: 0384 93 77 30) KHAI THÁC & MỞ RỘNG ĐỀ HSG TỈNH KHÁNH HÒA NĂM 2022-2023 a2 b a2 b Hay xy x y số phương với x, y số nguyên KHAI THÁC & MỞ RỘNG: Nếu x, y số hữu tỉ ( x + y ) số hữu tỉ Do xy x y số hữu tỉ Ta toán mới: Cho x, y số hữu tỉ thỏa mãn dẳng thức x Chứng minh y xy x y 2 xy số hữu tỉ Câu 2: (4,00 điểm) 3) Cho đa thức f ( x) khác với hệ số nguyên thỏa mãn f (3) f (4) Chứng minh đa thức f ( x) 12 nghiệm ngun 4) Tìm số ngun tố cho tích chúng gấp lần tổng chúng Lời giải: f ( x) 12 = x 1) Giả sử f(x) -12 có nghiệm nguyên x = a f ( x) = x a g ( x ) a g ( x) + 12 = f (3) f (4) = – a g 12 – a g = a a g (3).g (4) + 12 a g 12 a g + 12.12 (*) Vì (3 – a) (4 – a) hai số nguyên liên tiếp nên tích chia hết cho Vế phải (*) chia hết cho , vế trái không chia hết cho ( Vô lý) Vậy f(x) – 12 khơng có nghiệm ngun 2) Gọi số ngun tố cần tìm a, b, c abc = 5(a + b + c) Lớp TOÁN (online) cho HS cho GIA SƯ LỚP TOÁN (ON, OFF) NBV (ZALO: 0384 93 77 30) KHAI THÁC & MỞ RỘNG ĐỀ HSG TỈNH KHÁNH HÒA NĂM 2022-2023 Cách 1: (Phương pháp thứ tự toàn phần) abc = 5(a + b + c)  1 1 + + = bc ca ab Vì a, b, c có vai trị bình đẳng Khơng tính tổng qt, ta giả sử a  b  c a  b ac  bc   ab  ac  bc Do đó, a  b  c   b  c ab  ac 1   ab ac bc 1   bc  bc  15  c = 3; b = 15a = ( a + )  a = 4(l )  Mà b, c : số nguyên tố b  c nên c = 2; b =  10a = ( a + )   a = c = 2; b = 6a = ( a + )  a = 25(l )  Vậy (a;b;c) = (2;5;7) hoán vị KHAI THÁC MỞ RỘNG MỞ RỘNG 1: Dựa vào kỹ thuật “Sắp thứ tự tồn phần” , ta TỔNG QT tốn: Tìm nghiệm ngun dương x1 x2 xn = k ( x1 + x2 + + xn ) với k,n nguyên dương NHẬN XÉT 1: Bài toán cách giải sau Do a, b, c số nguyên tố; 5(a + b + c) chia hết cho abc phải có số chia hết cho Vì a, b, c số ngun tố nên có số Vì a, b, c có vai trị bình đẳng Khơng tính tổng qt, ta giả sử a = Ta lại có: 5bc = 5(5 + b + c) bc = + b + c b – bc + c + = b(1 – c) – (1 – c) = –6 (b – 1)(c – 1) = Vì b; c số nguyên tố nên ( b − 1) ( c − 1) hai số nguyên dương Mà ( b − 1)( c − 1) = = 1.6 = 2.3 nên ta có bảng sau: Lớp TỐN (online) cho HS cho GIA SƯ LỚP TOÁN (ON, OFF) NBV (ZALO: 0384 93 77 30) KHAI THÁC & MỞ RỘNG ĐỀ HSG TỈNH KHÁNH HÒA NĂM 2022-2023 b–1 c–1 b c (TM) (TM) (Loại) (Loại) MỞ RỘNG 2: Ta biết a, b : SNT  ab = BCNN ( a, b ) (STN: Số nguyên tố) Do đó, ta phát biểu tốn dạng: Tìm số ngun tố a, b, c thỏa 1 1 = + + BCNN( a,b ) BCNN( a,c ) BCNN( b,c ) MỞ RỘNG 3: Từ mở rộng 2, ta tiếp tục mở rộng toán sau: Cho a, b, c số nguyên tố khác đơi một.Tìm số a, b, c để giá trị biểu thức: A = 1 đạt GTLN + + BCNN( a,b ) BCNN( a,c ) BCNN( b,c ) (Đề thi học sinh giỏi 2020-20121,huyện Yên Mô) Lời giải: Ta có: a, b, c số nguyên tố khác nên BCNN (a, b) = a.b ; BCNN (a, c) = a.c ; BCNN (b, c) = b.c  A= 1 1 1 + + = + + BCNN (a, b) BCNN (a, c) BCNN (b, c ) ab ac bc Vì vai trị a, b, c nên khơng tính tổng quát ta giả sử: a  b  c Mà a, b, c số nguyên tố nên a  2; b  3; c   A= 1 1 1 1 1 + +  + + = + + = ab ac bc 2.3 2.5 3.5 10 15  MaxA =  a = 2, b = 3, c = Vậy A đạt GTLN a = 2, b = 3, c = hốn vị MỞ RỘNG 4: Ta xét số tốn tương tự Lớp TỐN (online) cho HS cho GIA SƯ LỚP TOÁN (ON, OFF) NBV (ZALO: 0384 93 77 30) KHAI THÁC & MỞ RỘNG ĐỀ HSG TỈNH KHÁNH HÒA NĂM 2022-2023 Bài 1: Tìm số nguyên tố a, b, c cho a.b.c = 3(a + b + c) Lời giải: Vì a.b.c = 3(a + b + c)  abc Giả sử a , a số nguyên tố  a = Ta có 3.b.c = 3(3 + b + c)  bc = + b + c  bc − b = + c  b(c − 1) = + c  b(c − 1) = + (c − 1)  (b − 1)(c − 1) =  (b, c)  (3,3);(2,5) Vậy (a, b, c)  (3,3,3);(2,3,5) Bài 2: Tìm tất ba số nguyên tố a,b,c cho abc  ab + bc + ac Lời giải: Vì a,b,c có vai trị nên giả sử a  b  c ab + bc + ac  3bc  abc  3bc  a   a = a số nguyên tố Với a = ta có 2bc  2b + 2c + bc  bc  2(b + c)  4c b = ( b số nguyên tố ) b4  b = + Nếu b = 4c  + 4c thỏa mãn với c số nguyên tố + Nếu b = 6c  + 5c  c   c 3;5 Vậy cặp số (a,b,c) cần tìm (2,2,p);(2,3,3);(2,3,5) hoán vị chúng, với p số nguyên tố Bài 3: Tìm tất ba số nguyên tố a, b, c đôi khác thỏa mãn điều kiện: 20abc  30(ab + bc + ca)  21abc ( Trích đề HSG lớp huyện Gia Lộc năm học 2017-2018) Lời giải: Lớp TOÁN (online) cho HS cho GIA SƯ LỚP TOÁN (ON, OFF) NBV (ZALO: 0384 93 77 30) Từ giả thiết suy Suy KHAI THÁC & MỞ RỘNG ĐỀ HSG TỈNH KHÁNH HÒA NĂM 2022-2023 1  + +  Để khơng giảm tính tổng quát giả sử a  b  c  a b c 10   2c  , c  2;3 c Với c = suy 1 1 1 1   +      + +  b c 10 a b b b Do b  7;11 + Với b = , từ + Với b = 11 từ 1 1 1  a  19; 23; 29;31;37; 41  +  suy   a b 42 a 35 1 1  a = 13 a  b  +  suy   a b 66 a 55 Với c = từ giả thiết suy Thay b = vào 1 11    b   b = (do b  c )  +  a b 30 b 1 11 15 ta  a   a =  +  a b 30 Vậy ba số nguyên tố khác ( a; b; c ) thỏa mãn là: (19;7; 2) , ( 23;7; ) , ( 29;7; ) , (31;7; ) , (37;7; ) , ( 41;7; 2) , (13;11; 2) , ( 7;5;3) hốn vị Bài 4: Tìm tất ba nguyên tố ( p; q; r ) cho pqr = p + q + r + 160 ( Trích đề HSG lớp Ninh Bình năm học 2018-2019) Lời giải: Khơng tính tổng quát giả sử p  q  r Với p = 2qr = q + r + 162  4qr − 2q − 2r = 324  2q (2r − 1) − (2r − 1) = 325  (2q − 1)(2r − 1) = 325 = 52.13  2q −  2r −   (2q − 1)  (2r − 1)(2q − 1)   (2q − 1)  325   2q −  18 Do 2q − ước 52.13 nên 2q − 1 5;13 Nếu 2q − =  q =  r = 33 ( loại) Nếu 2q − = 13  q =  r = 13 ( thỏa mãn) pqr = p + q + r + 160  p(qr − 1) − q − r = 160  (qr − 1)( p − 1) + qr − − q − r = 160  (qr − 1)( p − 1) + q(r − 1) − ( r − 1) − = 160  (qr − 1)( p − 1) + (q − 1)(r − 1) = 162 Nếu p lẻ  q; r lẻ  (qr − 1)( p − 1) + (q − 1)(r − 1) mà 162 không chia hết cho  ( vơ lí) Lớp TỐN (online) cho HS cho GIA SƯ LỚP TOÁN (ON, OFF) NBV (ZALO: 0384 93 77 30) KHAI THÁC & MỞ RỘNG ĐỀ HSG TỈNH KHÁNH HÒA NĂM 2022-2023 Vậy ba số nguyên tố cần tìm ( 2;7;13) hoán vị Câu 3: (4,00 điểm) 1) Giải phương trình 2x 2 x 6x x2 2) Cho a, b hai số thực lớn thỏa mãn điều kiện a a4 thức B b4 b a b Tìm giá trị nhỏ biểu Lời giải: 1) Giải phương trình 2x 2 6x x x Điều kiện: x 2 4 2x x 2 2x 6x 6x x 6x x2 x 4 2 x x 2 x x2 4 4 2 x 4 x 4 x2 x2 2x 2x 2x 6x 2x 2 − x , từ giúp ta định hình cách giải 4 ) Giải (*): ) − (2 6x 2x 2x + x 6x 2x 2 ( 6x x x 2x CÁCH 1: Để ý thấy x − = 2x x2 x2 x2 x 2 x x2 * 4 Lớp TOÁN (online) cho HS cho GIA SƯ LỚP TOÁN (ON, OFF) NBV (ZALO: 0384 93 77 30) KHAI THÁC & MỞ RỘNG ĐỀ HSG TỈNH KHÁNH HÒA NĂM 2022-2023 + Nếu x = VT = VP x = nghiệm + Nếu 0, VP < 2 VT x Phương trình vơ nghiệm Vật tập nghiệm phương trình cho là: S ;2 CÁCH 2: (Trương Liên) 6x − 2x + − 2 − x = x2 +  x + x + − 2 − x x + = x − nhan ⎯⎯ → x + x + − − x x + = 4(6 x − 4) ve ( (   x2 + ) −8 ( x + − x + − x x2 + − − x ) ( = x2 + − − x = ) =( x2 + − 2x + ) x2 + ) −4 ( x + x + + 2 x + ) 2 x + − 2 x + (1) TH1: x = VT = VP = 2  x = nghiệm phương trình TH2: Nếu x = −2 VT = −  VP = TH3: −2  x  : (1)  − x − x + = 2 x + − x +  2 − x = 2x +  − 4x = 2x + x= 2  Vậy tập nghiệm phương trình cho S =  ;  3  2) Cho a, b hai số thực lớn thỏa mãn điều kiện a B a4 b b4 a b Tìm giá trị nhỏ biểu thức CÁCH 1: AM-GM cho số Lớp TOÁN (online) cho HS cho GIA SƯ LỚP TOÁN (ON, OFF) NBV (ZALO: 0384 93 77 30) KHAI THÁC & MỞ RỘNG ĐỀ HSG TỈNH KHÁNH HÒA NĂM 2022-2023 Vì B biểu thức đối xứng với a,b nên ta dự đốn điểm rơi xảy a = b = a4 Ta tìm m để cân hệ số: Cho a4 b b a b m b m m b m b 4 m b 16 Từ đây, ta có lời giải sau: a4 b 16 b 4 a 24.24.24 16 b a4 32a b Tương tự, ta Do đó, B a b 16 b 32(a B b4 a 32b 48a b) 48(a b) 32a 48b 48 48 16 a b 48 32 Dấu “=” xảy a = b = CÁCH 2: Đặt ẩn kết hợp AM-GM lần x = a −1 Đặt  ( x, y  ) , a + b  nên x + y   y = b −1 Khi đó, B AM GM 16.2 x y y3 x2 y y x3 4 x AM GM x3 32 xy y y3 x x2 y3 y2 x3 (x y) 32 AM GM x3 16 y 32 Dấu “=” xảy x = y =  a = b = KHAI THÁC & MỞ RỘNG (vẫn chưa hoàn thiện) Nhận xét 1: Ta thử thay đổi giả thiết đến toán sau Cho a, b hai số thực dương thỏa mãn điều kiện a b Tìm giá trị Lớp TỐN (online) cho HS cho GIA SƯ 10 48 LỚP TOÁN (ON, OFF) NBV (ZALO: 0384 93 77 30) KHAI THÁC & MỞ RỘNG ĐỀ HSG TỈNH KHÁNH HÒA NĂM 2022-2023 a4 nhỏ biểu thức B b4 b a Hướng dẫn Dự đoán điểm rơi: a = b = Ta tìm m để cân hệ số: Cho a4 b a b m b a4 b m b m b m b 4 16 81 m Nhận xét 2: Ta thử xét cặp toán đối 1) Cho a, b hai số thực dương thỏa mãn điều kiện a a3 nhỏ biểu thức B b3 b a b 2) Cho a, b hai số thực lớn thỏa mãn điều kiện a trị nhỏ biểu thức B a3 b b3 2 Tìm giá trị a b Tìm giá Câu 4: (6,00 điểm) 3) Cho tam giác ABC, I điểm nằm tam giác Qua I vẽ đường thẳng DE song song với AB ( D biểu thức AB, E ID AB BE BC BC ) đường thẳng IM song song với BC ( M AC ) Tính giá trị CM CA Lời giải: Tính giá trị biểu thức ID AB BE BC CM CA Lớp TOÁN (online) cho HS cho GIA SƯ 11 LỚP TOÁN (ON, OFF) NBV (ZALO: 0384 93 77 30) KHAI THÁC & MỞ RỘNG ĐỀ HSG TỈNH KHÁNH HÒA NĂM 2022-2023 A D M I B C E DIM ∽ DEC (1) Ta có: IM // EC (gt) DE // AB (gt) DEC ∽ ABC (2) DIM ∽ ABC Từ (1) (2) suy ra: ID AB DM CA Lại có DE // AB Vậy ID AB BE BC BE BC AD AC DM CM = CA CA AD CA CA CM = CA CA KHAI THÁC & MỞ RỘNG Từ I kẻ FK / / AC ( F  AB, K  BC )  AF = ID Ta toán : Cho tam giác ABC, I điểm nằm tam giác Qua I vẽ đường thẳng DE song song với AB ( D AB, E BC ) đường thẳng IM song song với BC ( M đường FK / / AC ( F  AB, K  BC ) Tính giá trị biểu thức AF AB BE BC AC ), CM CA 2) Cho hình vng ACD có tâm O Điểm E thay đổi cạnh BC (E khác B C) Gọi F giao điểm tia AE đường thẳng CD, gọi H giao điểm OE BF c) Chứng minh AE không đổi AF d) Tìm vị trí điểm E để diện tích tam giác HAD đạt giá trị lớn Lớp TOÁN (online) cho HS cho GIA SƯ 12 LỚP TOÁN (ON, OFF) NBV (ZALO: 0384 93 77 30) KHAI THÁC & MỞ RỘNG ĐỀ HSG TỈNH KHÁNH HÒA NĂM 2022-2023 Lời giải: B A Q P E O D H' M F C a) Chứng minh AB AE Ta có: AB AE AE cos BAE ; AB Do AE Vì H AE AF AD AF không đổi AF AD AF sin DFA = sin BAE (Vì AB//DF nên DFA BAE (so le trong)) AF 1 (vì AB = AD) AB 1 + không đổi nên không đổi (đpcm) 2 AE AB AF b) Tìm vị trí điểm E để diện tích tam giác HAD đạt giá trị lớn Gọi H’ chân đường vng góc hạ từ C xuống BF Ta có: BH ’.BF BH ' BD Nên BO.BD = BC (hệ thức lượng tam giác vuông) BO , mà DBF chung BF BH ' O ∽ BDF (c Suy BH ' O BDF 450 g c) BH ' O BH ' C Lớp TOÁN (online) cho HS cho GIA SƯ 13 LỚP TOÁN (ON, OFF) NBV (ZALO: 0384 93 77 30) KHAI THÁC & MỞ RỘNG ĐỀ HSG TỈNH KHÁNH HÒA NĂM 2022-2023 H’O tia phân giác BH ' C (1) Lại có: BE EC AB CF BC CF BH ' H 'C H’E tia phân giác BH ' C (2) Từ (1) (2) suy H’, O, E thẳng hàng  H '  H  CH ⊥ BF Qua H kể đường vuông góc xng AD cắt AD, BC P Q Gọi M trung điểm BC Ta có 2S HAD = AD.HP = AD ( HQ + PQ ) = AD ( AD + HQ ) = AD + AD.HQ AD AD  AD + AD.HM = AD + = 2 hay S HAD  AD S HAD đạt giá trị lớn AD  E  M hay E trung điểm BC CÁCH 2: A B O V E M X D F C H F a Vẽ AX ⊥ AF ( X  CD )  DAX = BAE (cùng phụ góc DAE ) Xét DXA BEA : AD = AB; ADX = ABE = 90°; DAX = BAE Lớp TOÁN (online) cho HS cho GIA SƯ 14 LỚP TOÁN (ON, OFF) NBV (ZALO: 0384 93 77 30) KHAI THÁC & MỞ RỘNG ĐỀ HSG TỈNH KHÁNH HÒA NĂM 2022-2023  DXA = BEA (g – c – g)  AX = AE Xét AXF vuông A có đường cao AD:  1 (hệ thức lượng) = + 2 AD AX AF2  1 1 1 Vì khơng đổi  không đổi = + + 2 2 AD AE AF AE AF2 AD b Ta có tính chất quen thuộc: CH ⊥ BF (bạn đọc tự chứng minh) Kẻ HM ⊥ AD ( M  AD ); gọi {F1} = HM  BC Gọi V trung điểm BC SAHD = 1 AD.HM = AD ( HF1 + F1M ) 2 Tứ giác ABFM có : MAB = ABF = AMF1 = 90°  ABF1M hình chữ nhật (dấu hiệu nhận biết)  MF1 = AB (tính chất)  SAHD = 1 1 AB ( HF1 + AB ) = AB2 + HF1.AB = AB2 + HF1.BC 2 2 Xét BHC vng H có đường cao HF1  HF1.BC = BH.HC (hệ thức lượng) 1 Theo Cauchy: BH.HC = 2BH.HC  ( BH + HC2 ) = BC2 2 1  HF1.BC  BC2 = AB2  SAHD  AB2 (không đổi) Dấu “=” xảy BH = HC  tgBHC cân H  F1 trung điểm AC  F1  M  E  M Vậy E trung điểm BC SAHD max Câu 5: (2,00 điểm) Lớp TỐN (online) cho HS cho GIA SƯ 15 LỚP TOÁN (ON, OFF) NBV (ZALO: 0384 93 77 30) KHAI THÁC & MỞ RỘNG ĐỀ HSG TỈNH KHÁNH HÒA NĂM 2022-2023 Một tứ giác lồi có độ dài bốn cạnh số tự nhiên cho tổng ba số chúng chia hết số cịn lại Chứng minh tứ giác có hai cạnh Lời giải: CÁCH 1: ( ) Gọi độ dài cạnh tứ giác a, b,c,d a, b,c,d  N* Giả sử khơng có cạnh tứ giác Khơng tính tổng qt ta giả sử a  b  c  d Do tứ giác lồi nên a  b + c + d  a  b + c + d  3a  2a  a + b + c + d  4a Từ giả thiết suy a + b + c + d chia hết cho số a, b, c, d nên ta có a + b + c + d = 3a Đặt a + b + c + d = mb với m  * a + b + c + d = nc với n  * Do a  b  c  n  m   n  5, m  Từ ta ( a + b + c + d ) = 3a + mb + nc  3a + 4b + 5c Từ suy ( b – d ) + ( c – d )  0 , điều mâu thuẫn với a  b  c  d Do tứ giác có cạnh CÁCH 2: Giả sử độ dài cạnh tứ giác a; b; c; d khơng có cạnh a  b  c  d (với a; b; c; d số tự nhiên) Đặt : x = b+ c+ d a+ c+ d b+ a+ d ; y= ; z= với x; y; z số tự nhiên (1) a b c Từ a  b  c  d  x c > d Vì b + c > a nên x > (hay x Vậy tứ giác phải có hai cạnh (đpcm) KHAI THÁC & MỞ RỘNG Lớp TOÁN (online) cho HS cho GIA SƯ 16 LỚP TOÁN (ON, OFF) NBV (ZALO: 0384 93 77 30) KHAI THÁC & MỞ RỘNG ĐỀ HSG TỈNH KHÁNH HÒA NĂM 2022-2023 Bài A Cho tứ giác lồi ABCD có độ dài bốn cạnh a, b, c, d dều số nguyên dương Chứng minh độ dài cạnh ước số chu vi tứ giác tứ giác có hai cạnh Lời giải Giả sử có tứ giác thỏa mãn yêu cầu đề mà không tồn hai cạnh tứ giác Khi khơng tính tổng qt, ta thứ tự a  b  c  d  a + b + c + d = ma  a + b + c + d = nb Vì độ dài cạnh ước số chu vi tứ giác nên  a + b + c + d = pc a + b + c + d = qd Với m,n,p,q  N* m  n  p  q 1 a m = a + b + c + d  b 1 =  n a + b + c + d 1 1 Suy ra   + + + =1 c m n p q  = p a + b + c + d  1 d  =  q a + b + c + d Do ABCD tứ giác lồi nên a  b + c + d  3a nên 2a  a + b + c + d  4a Mặt khác ta có a  bc d1  1 1 1 1 + + +  + + + 1   m = a + b + c + d = am  m n p q Ta có mâu thuẫn nên điều giả sử sai Vậy toán chứng minh Lớp TOÁN (online) cho HS cho GIA SƯ 17 ... TOÁN (ON, OFF) NBV (ZALO: 0384 93 77 30) KHAI THÁC & MỞ RỘNG ĐỀ HSG TỈNH KHÁNH HÒA NĂM 2022- 2023 a2 b a2 b Hay xy x y số phương với x, y số nguyên KHAI THÁC & MỞ RỘNG: Nếu x, y số hữu tỉ ( x +... có hai cạnh (đpcm) KHAI THÁC & MỞ RỘNG Lớp TOÁN (online) cho HS cho GIA SƯ 16 LỚP TOÁN (ON, OFF) NBV (ZALO: 0384 93 77 30) KHAI THÁC & MỞ RỘNG ĐỀ HSG TỈNH KHÁNH HÒA NĂM 2022- 2023 Bài A Cho tứ... TOÁN (ON, OFF) NBV (ZALO: 0384 93 77 30) KHAI THÁC & MỞ RỘNG ĐỀ HSG TỈNH KHÁNH HÒA NĂM 2022- 2023 LỜI GIẢI THAM KHẢO (Biên soạn: Nguyễn Bá Vinh, Đặng Mai Quốc Khánh) Câu 1: (4,00 điểm) 10 1) Rút