­­ung dung dao ham de tinh gioi han

TÝnh giíi h¹n cña hµm sè TÝnh giíi h¹n cña hµm sè øng dông ®Þnh nghÜa ®¹o hµm vµo tÝnh giíi h¹n Gi¶ sö cÇn tÝnh giíi h¹n L = cã d¹ng Ph­¬ng ph¸p Ta biÕn ®æi giíi h¹n trªn vÒ mét trong c¸c d¹ng sau D¹n[.]

Tính giới hạn hàm số ứng dụng định nghĩa đạo hàm vào tính giới hạn x) có dạng Giả sử cần tính giới hạn L = xlimQ( x0 Phơng pháp: Ta biến đổi giới hạn dạng sau: Dạng 1: Ta ®ỵc L = xlim x f (x)  f (x0)  f '(x0 ) x  x0 D¹ng 2: Ta đợc L = xlim x f (x) f (x0) P(x)  f '(x0)P(x0 ) víi P(x0)   x  x0 0 f (x)  f (x0) x  x0 f '(x0 )  D¹ng 3: Ta đợc L = xlim với g'(x0) x0 g(x)  g(x ) g '( x ) 0 x x0 Chú ý: Một số toán có dạng vô định ta dùng cách biến đổi nh sau: D¹ng 0. f (x)g(x)  f (x) g(x) 1  1 f (x)  g(x)   f (x) g(x) 1  D¹ng    f (x) g(x) f (x)g(x) Dạng , 0, 00 y mà: Cho hàm số y [ f (x)]g( x) , để tÝnh giíi h¹n xlim  x0 lim f (x)  vµ limg(x)   x x0 x x0 limg( x)  hc lim f (x)   x x0 f (x) xlim x0 x x0  limg(x)  ta lµm nh sau: x x0 LÊy logarit vÕ lny g(x).ln f (x) d¹ng 0. Chuyển lny dạng , ta áp dụng dạng Các ví dụ minh ho¹: VÝ dơ 1: TÝnh giíi h¹n sau x3  3x  L = lim x1 x ( ĐHQG Hà Nội - 1998 ) Giải: Đặt f (x)  x3  3x , ta cã: f (1)  0, f '(x)  3x2  Khi ®ã: L =lim x1 3  f '(1)  3  2 3x f (x)  f (1)  f '(1)  x VÝ dơ 2: TÝnh giíi h¹n L = lim x1 5 x3  x2  x2 - 2001) Giải: Viết lại giới hạn dới dạng: ( ĐHTC Kế toán x3 x2  L = lim x1 x x Đặt f (x)  x3  x2  , ta cã f (1)  ; f '(x)   Khi ®ã: L = lim x1 3x2  x2  2x 33 (x2  7)2  f '(1)  11 12 f (x)  f (1) 1 11  f '(1)   x x 24 VÝ dơ 3: TÝnh giíi h¹n 1 2x  sin x L = lim x0 3x  2 x - 1998 ) Gi¶i: Viết lại giới hạn dới dạng: 2x  sin x x L = lim x0 3x x x Đặt f (x) 2x  sin x , ta cã f (0)  0; f '(x)    cosx  f '(0) 2x Đặt g(x) 3x 2 x , ta cã g(0)  ; g'(x)  1  g'(0)   3x f (x)  f (0) f '(0) x   Khi ®ã: L = lim x0 g(x)  g(0) g'(0) x ( §HGT NhËn xét: Để tính giới hạn phơng pháp thông thờng ta phải làm nh sau 2x sin x 3x  2 x 1 2x  sin x 3x  2 x ( ):( ) x x 1 2x sin x 3x  (  ):( 1) x x x 2x sin x 3x (  ):(  1) x x(1 2x 1) x( 3x  2) 2 sin x (  ):(  1) x 1 2x 3x  1 2x  sin x Do ®ã L = lim x0 3x  2 x 2 sin x  lim(  ):(  1)  x0 1 2x x 3x  VÝ dơ 4: TÝnh giíi h¹n K  lim(a  x)tan xa x , (a  0) 2a ) Giải: Viết lại giới hạn nh sau: K 1 1  xa x x cot cot 2a lim 2a x  a xa x  a lim f '(x) x Đặt f (x)  cot , ta cã f (a)  0, 2a sin2  x 2a 2a ( D¹ng 0.   f '(a)  2a Do ®ã K = , x cot 2a  f '(a)   lim xa x  a 2a 2 a VÝ dô 5: TÝnh giíi h¹n L = lim(ex  x) x x0 ( Dạng ) Giải: Đặt y  (ex  x) x LÊy logarit ta cã x ln(ex +x) y  (e  x)  lny= x x XÐt f (x)  ln(ex +x) Ta cã: f (0)=0, f '(x)  ex +1 ln(ex +x) f ( x)  f (0) , f '(0)   lim  lim  '(0)  x0 x0 ex +x x x Do ®ã L = e2