ứng dụng đạo hàm để giải PT, BPT, HPT chứa tham số trần mạnh sâm thpt lạng giang số I KIẾN THỨC CẦN NHỚ Cho hàm số y = f ( x ) liên tục tập D x + mx + = x + 1 2 x + ≥ x ≥ − ⇔ 2 ⇔ x + mx + = ( x + 1) mx = 3x + x − 1(*) Xét phương trình (*) Phương trình f ( x ) = m có nghiệm x ∈ D ⇔ f ( x ) ≤ m ≤ max f ( x ) x∈D x∈D Bất phương trình f ( x ) ≤ m có nghiệm x ∈ D + x = ⇒ 0.x = −1 , phương trình vơ nghiệm Nghĩa khơng có giá trị m để phương trình có nghiệm x = + x ≠ ⇒ x + − = m Ta xét hàm số x f ( x ) = x + − tập − ; +∞ \ {0} x Ta có f ' ( x ) = + > với ∀x ∈ − ; +∞ \ {0} , x ñồng biến suy hàm số f ( x ) = x + − x − ; +∞ \ {0} 1 lim± f ( x ) = lim± x + − = m∞ ; x→0 x →0 x 1 lim f ( x ) = lim x + − = +∞ x →+∞ x →+∞ x Ta có bảng biến thiên hàm số f ( x ) x −1 / +∞ ⇔ f ( x ) ≤ m x∈D Bất phương trình f ( x ) ≤ m có nghiệm với x ∈ D ⇔ max f ( x ) ≤ m x∈D Bất phương trình f ( x ) ≥ m có nghiệm x ∈ D ⇔ max f ( x ) ≥ m x∈D Bất phương trình f ( x ) ≥ m có nghiệm với x ∈ D ⇔ f ( x ) ≥ m x∈D II PHƯƠNG PHÁP GIẢI ðể giải tốn tìm giá trị tham số m cho phương trình, bất phương trình, hệ phương trình có nghiệm ta làm sau: Biến đổi phương trình, bất phương trình dạng: f ( x ) = g ( m ) ( f ( x ) ≥ g ( m ) ; f ( x ) ≤ g ( m ) ) Tìm TXð D hàm số y = f ( x ) Lập bảng biến thiên hàm số y = f ( x ) D Tìm f ( x ) ; max f ( x ) x∈D x∈D f’(x) Vận dụng kiến thức cần nhớ bên suy giá trị m cần tìm Lưu ý: Trong trường hợp PT, BPT, HPT chứa biểu thức phức tạp ta ñặt ẩn phụ: + ðặt t = ϕ ( x ) ( ϕ ( x ) hàm số thích hợp có mặt + + +∞ f(x) +∞ f ( x ) ) −∞ + Từ ñiều kiện ràng buộc x ∈ D ta tìm ñiều kiện t ∈ K + Ta ñưa PT, BPT dạng f ( t ) = h ( m ) ( Số nghiệm phương trình (1) số giao ñiểm ñồ thị hàm số f ( x ) = x + − ñường thẳng x y = m miền − ; +∞ \ {0} Dựa vào bảng biến thiên ta ñược giá trị m thỏa mãn yêu cầu toán m ≥ Ví dụ Tìm m để phương trình f (t ) ≥ h ( m) ; f (t ) ≤ h ( m) ) + Lập bảng biến thiên hàm số y = f ( t ) K + Từ bảng biến thiên ta suy kết luận toán III MỘT SỐ VÍ DỤ MINH HỌA Ví dụ 1.(B-06) Tìm m để phương trình sau có nghiệm thực phân biệt m x + mx + = x + Giải: ( ) x − x + + + x ( − x ) ≤ có nghiệm thuộc 0;1 + Giải: ðặt t = x − x + ⇒ − x ( − x ) = t − http://ebook.here.vn – Thư viện Sách Online ứng dụng đạo hàm để giải PT, BPT, HPT chứa tham số trần mạnh sâm thpt lạng giang sè Khi bất phương trình trở thành: m ( t + 1) ≤ t − (*) x −1 Ta có t ' = x − 2x + Ta có bảng biến thiên : x t’ 1 1 1 = + − − ( x )3 x ( − x )3 6− x ,t ' = ⇔ x =1 1+ - = − ( x )3 Xét hàm số f ( t ) = t −2 (1) t +1 t2 − tập [1; 2] t +1 1 2 ( t + 1) + > với ∀t ∈ 1; [ ] ( t + 1) Ta có bảng biến thiên hàm số f ( t ) Ta có f ' ( t ) = ( 2x ) + 2x (6 − x) + (6 − x) + + > x − x với ∀x ∈ ( 0;6 ) f '( x) = ⇔ 2x = − x ⇔ 2x = − x ⇔ x = Ta có bảng biến thiên t f’(t) (6 − x) 1 1 1 = − + + + + 2x 6−x 2 ( 2x)2 2x( 6−x) ( 6−x)2 2x 6−x ta có Từ ta có ≤ t ≤ , từ (*) suy m ≤ + − x 6− x 1 1 1 = − + + 2x − x ( 2x ) 2x ( − x ) ( − x ) 1 + −4 +4 − x 2x 6− x 2x + t + f(t) x f’(x) + f(x) phương trình cho có nghiệm x ∈ 0;1 + ⇔ bất phương trình (1) có nghiệm t ∈ [1; 2] ⇔ m ≤ max f ( t ) = f ( ) = [1;2] 12 + y = m miền [ 0;6 ] Dựa vào bảng biến thiên ta ñược giá trị m thỏa mãn yêu cầu toán + ≤ m < + Ví dụ 4.(B-07) Chứng minh với giá trị dương tham số m, phương trình sau có nghiệm thực phân biệt: x2 + x − = m ( x − 2) Giải: ðiều kiện: m > ⇒ x ≥ Ta có: x2 + x − = m ( x − 2) f ( x) = ( 2x)4 + ( 2x)2 + (6 − x)4 + (6 − x)2 1 − − ( x ) + ( x ) 2 + 1 − − ( − x ) ( −1) + ( − x ) ( −1) f '( x) = http://ebook.here.vn – Thư viện Sách Online +6 Số nghiệm phương trình cho số giao ñiểm ñồ thị hàm số y = f ( x ) ñường thẳng tập [ 0;6] Ta có - Ví dụ 3.(A-08) Tìm m để phương trình sau có nghiệm thực phân biệt 2x + 2x + − x + − x = m ( m ∈ ¡ ) Giải ðiều kiện: ≤ x ≤ Xét hàm số f ( x ) = x + x + − x + − x 24 + Bất ⇔ ( x − )( x + ) = m ( x − ) x = ⇔ ( x − )( x + ) = m (*) ứng dụng đạo hàm để giải PT, BPT, HPT chứa tham số trần mạnh sâm thpt lạng giang số Thay x = vào phương trình (*) được: = - Vậy phương trình (*) vơ nghiệm Suy f ' ( x ) mang dấu (khơng đổi dấu), có f ' ( ) = > ⇐ f ' ( x ) > 0, ∀x ∈ ¡ Ta có Nhận thấy phương trình cho ln có nghiệm x = , để chứng minh m > phương trình ñã cho có nghiệm thực phân biệt ta cần phương trình (*) ln có nghiệm thực x > m > Xét hàm số f ( x ) = ( x − )( x + ) = x + x − 32 tập ( 2; +∞ ) lim f ( x ) = lim x →+∞ Ta có f ' ( x ) = x + 12 x > với ∀x > 2 lim f ( x ) = lim x →−∞ +∞ x →−∞ Số nghiệm phương trình (*) số giao ñiểm ñồ thị hàm số y = f ( x ) ñường thẳng y = m Dựa vào bảng biến thiên ta suy m > phương trình (*) ln có nghiệm x > Vậy với m > phương trình cho ln có nghiệm thực phân biệt x2 + x + − x2 − x + ) 4x + f(x) -2 Ví dụ Tìm m để phương trình sau có nghiệm: x2 + x + − x2 − x + = m Số nghiệm phương trình cho số giao ñiểm ñồ thị hàm số y = f ( x ) ñường thẳng Giải: Vì x ± x + = ( x ± 1) + ≥ > 0, ∀x ∈ ¡ nên TXð: D = ¡ y = m ¡ Dựa vào bảng biến thiên ta suy phương trình có nghiệm ⇔ −2 < m < Xét hàm số f ( x ) = x + x + − x − x + ¡ Ta có: Ví dụ Tìm m để hệ phương trình sau có nghiệm x − x − ≤ x − x x − m − 15m ≥ Giải: Ta có: x − x − ≤ ⇔ −1 ≤ x ≤ Hệ phương trình cho có nghiệm ⇔ x3 − x x − m − 15m ≥ có nghiệm x ∈ [ −1; 4] x −1 x + 2x + x − 2x + x +1 x −1 f '( x) = ⇔ − =0 2 x + 2x + x − 2x + ⇔ ( x + 1) x − x + = ( x − 1) x + x + (*) ⇒ ( x + 1) ( x − x + ) = ( x − 1) ( x + x + ) ⇔ x3 − x x ≥ m + 15m có nghiệm x ∈ [ −1; 4] ⇔ x − x + x + x3 − x + x + x − x + = x + x3 + x − x3 − x2 − 8x + x + x + ⇔ x=0 x + x − ≤ x < ðặt f ( x ) = x − x x = x − x ≤ x ≤ Ta có http://ebook.here.vn – Thư viện Sách Online ( +∞ x -∞ f’(x) miền ( 2; +∞ ) 2 x + x + + x2 − x + 4 = lim = −2 x →−∞ 4 − 1+ + − 1− + x x x x Ta có bảng biến thiên hàm số f ( x ) − x →−∞ = lim f(x) x +1 ) x + x + + x2 − x + 4 =2 = lim x →+∞ 4 1+ + + 1− + x x x x + x2 + x + − x2 − x + 4x x →+∞ +∞ f '( x) = ( = lim 32 lim f ( x ) = lim x 1 + − = +∞ x →+∞ x →+∞ x x Ta có bảng biến thiên hàm số f ( x ) x f’(x) x + ứng dụng đạo hàm để giải PT, BPT, HPT chứa tham số trần mạnh sâm thpt l¹ng giang sè Số nghiệm phương trình cho số giao ñiểm ñồ thị hàm số y = f ( t ) ñường thẳng 3 x + x − < x < f '( x) = 3 x − x < x < f ' ( x ) = ⇔ x = 0; x = ±2 Ta có bảng biến thiên : x -1 f’(x) - 0 - y = m − 2; Dựa vào bảng biến thiên ta suy phương trình có nghiệm ⇔ −1 ≤ m ≤ Ví dụ 8: Tìm m để bất phương trình sau có nghiệm: mx − x − ≤ m + (1) Giải: ðặt t = x − ≥ ⇒ x = t + Khi bất phương trình trở thành: m ( t + 3) − t ≤ m + ⇔ m ( t + ) ≤ t + + 16 f(x) -4 f ( x ) ≥ m + 15m có nghiệm x ∈ [ −1; 4] ⇔ ⇔ max f ( x ) ≥ m + 15m ⇔ 16 ≥ m + 15m [ −1;4] ⇔ m + 15m − 16 ≤ ⇔ −16 ≤ m ≤ Vậy hệ phương trình cho ⇔ −16 ≤ m ≤ có nghiệm Ta có: f ' ( t ) = Ví dụ Tìm m để phương trình sau có nghiệm: sin x + cos3 x = m Giải sin3 x + cos3 x = m ⇔ ( sin x + cos x )(1 − sin x.cos x ) = m Khi đó: t = sin x + cos x ⇒ t = ( sin x + cos x ) - + − 2 + f’(t) f(t) 2 +∞ - +1 Dựa vào bảng biến thiên ta suy bất phương trình (1) có nghiệm ⇔ bất phương trình (*) có nghiệm +1 t > ⇔ max f ( t ) ≥ m ⇔ m ≤ ( 0;+∞ ) Ví dụ 9.(A-07) Tìm m để phương trình sau có x −1 + m x + = x2 −1 nghiệm: Giải: ðiều kiện: x ≥ - x −1 + m x + = x2 −1 x −1 x −1 + 24 = m (1) x +1 x +1 x −1 , phương trình (1) trở thành: ðặt t = x +1 −3t + 2t = m (*) ⇔ −3 2 -1 http://ebook.here.vn – Thư viện Sách Online + 2) t =0 lim f ( t ) = lim x →+∞ x →+∞ t+ t Ta có bảng biến thiên hàm số f ( t ) −1 + t f(t) 1+ t −1 ⇒ sin x.cos x = Phương trình trở thành: t −1 3 t 1 − =m⇔− t + t=m 2 Xét hàm số f ( t ) = − t + t tập − 2; 2 3 Ta có: f ' ( t ) = − t + 2 3 f ' ( t ) = ⇔ − t + = ⇔ t = ±1 2 Ta có bảng biến thiên: (t f ' ( t ) = ⇔ −t − 2t + = ⇔ t = −1 ± π ðặt t = sin x + cos x = 2.sin x + , − ≤ t ≤ 4 -1 t +1 ( 0; +∞ ) t2 + −t − 2t + Xét hàm số f ( t ) = - t f’(t) t +1 ≥ m (*) t2 + øng dông đạo hàm để giải PT, BPT, HPT chứa tham số x ≥1 ⇒ t ≥ Ta có trÇn mạnh sâm thpt lạng giang số t2 = m ⇔ t + 2t − = 2m Xét hàm số f ( t ) = t + 2t − tập 3;3 Ta có: f ' ( t ) = 2t + > với ∀x ∈ 3;3 Ta có bảng biến thiên hàm số f ( x ) t = 1− < , x +1 t+ ≤ t