Ứng dụng định nghĩa đạo hàm vào tính giới hạn50445

ứng dụng định nghĩa đạo hàm vào tính giới hạn Giả sử cần tính giới hạn L = lim Q( x ) cã d¹ng x  x0 Phương pháp: Ta biến đổi giới hạn dạng sau: Dạng 1: Ta L = lim f ( x )  f ( x0 )  f '( x0 ) x  x0 D¹ng 2: Ta L = lim f ( x )  f ( x0 ) P(x )  f '( x0 )P(x0 ) víi P(x0 )   x  x0 x  x0 x  x0 f ( x )  f ( x0 ) x  x0 f '( x0 ) Dạng 3: Ta L = lim víi g '( x0 )  x  x0 g( x )  g( x ) g '( x0 ) x  x0 Chó ý: Một số toán có dạng vô định ta dùng cách biến đổi sau: Dạng 0. f ( x )g( x )  f ( x) g( x ) 1  1 f ( x ) g( x )  D¹ng    f ( x )  g( x )   1 f ( x ) g( x ) f ( x ) g( x ) D¹ng 1 ,  , 0 Cho hµm sè y  [ f ( x )]g ( x ) , để tính giới hạn lim y mà: x x0 lim f ( x )  vµ lim g( x )   hc lim f ( x )   vµ lim g( x )  x  x0 x  x0 x  x0 x  x0 hc lim f ( x )  lim g( x )  ta lµm nh­ sau: x  x0 x  x0 LÊy logarit vÕ ln y  g( x ).ln f ( x ) d¹ng 0. Chun ln y vỊ d¹ng , råi ta áp dụng dạng DeThiMau.vn Các vÝ dơ minh ho¹: VÝ dơ 1: TÝnh giíi h¹n sau x3  3x  L = lim x x ( ĐHQG Hà Nội - 1998 ) Giải: Đặt f ( x ) x  x  , ta cã: f (1)  , f '( x )  x  Khi ®ã: L = lim x 1 3  f '(1)    2 3x  f ( x )  f (1)  f '(1)  x 1 VÝ dơ 2: TÝnh giíi h¹n  x3  x2  L = lim x x2 ( ĐHTC Kế toán - 2001) Giải: Viết lại giới hạn dạng:  x3  x2  L = lim x x x Đặt f ( x )   x  x  , ta cã f (1)  ; f '( x )   Khi ®ã: L = lim x 1 3x 2  x2  2x 3 ( x  7)2  f '(1)   11 12 f ( x )  f (1) 1 11  f '(1)   x 1 x 1 24 VÝ dơ 3: TÝnh giíi h¹n L = lim x 0  x   sin x 3x    x Giải: DeThiMau.vn ( ĐHGT - 1998 ) Viết lại giới hạn dạng: x  sin x x L = lim x 0 3x x x Đặt f ( x )   x   sin x , ta cã f (0)  ; f '( x )    cos x f '(0) x Đặt g( x )  x    x , ta cã g(0)  ; g '( x )    g '(0)   3x  f ( x )  f (0) f '(0) x 0 Khi ®ã: L = lim  0 x 0 g ( x )  g (0) g '(0) x Nhận xét: Để tính giới hạn phương pháp thông thường ta phải làm sau x   sin x 3x    x (  x   sin x 3x    x ):( ) x x  x  sin x 3x     1) ):( x x x 2 x sin x 3x (   1) ):( x x (1  x  1) x ( x   2) ( ( 2 sin x   1) ):( x 1 x 1 3x   DeThiMau.vn Do ®ã L = lim  x   sin x 3x    x x 0  lim( x 0 2 sin x  ):(  1)  x 1 x 1 3x   VÝ dơ 4: TÝnh giíi h¹n K  lim(a  x )tan x a x , (a  0) 2a ( Dạng 0. ) Giải: Viết lại giới hạn nh­ sau: 1 K  lim x a cot x 2a x a Đặt f ( x ) cot  f '(a)  Do ®ã K = x cot , cot lim x a , ta cã f (a)  , f '( x )  2a  2a 1  lim x a x 2a x a  1 2a sin  x 2a x 2a  f '(a)   x a 2a 2 a VÝ dơ 5: TÝnh giíi h¹n x ( D¹ng 1 ) L = lim(e  x ) x x Giải: x Đặt y  (e  x ) LÊy logarit ta cã x x ln(e x + x ) y  (e  x )  ln y = x x XÐt f ( x )  ln(e x + x ) Ta cã: f (0)= 0, DeThiMau.vn ex + ln(e x + x ) f ( x )  f (0) f '( x )  x , f '(0)   lim  lim  f '(0)  x 0 x 0 e +x x x0 Do ®ã L = e2 DeThiMau.vn ...Các ví dụ minh hoạ: Ví dụ 1: Tính giới h¹n sau x3  3x  L = lim x x ( ĐHQG Hà Nội - 1998 ) Giải: Đặt f ( x ) x  x  , ta cã:... f ( x )  f (0) f '(0) x 0 Khi ®ã: L = lim  0 x 0 g ( x )  g (0) g '(0) x Nhận xét: Để tính giới hạn phương pháp thông thường ta phải làm sau  x   sin x 3x    x (  x   sin x 3x... TÝnh giíi h¹n L = lim x 0  x   sin x 3x    x Giải: DeThiMau.vn ( ĐHGT - 1998 ) Viết lại giới hạn dạng: x  sin x x L = lim x 3x x x Đặt f ( x )   x   sin x , ta cã f (0)  ;