ứng dụng định nghĩa đạo hàm vào tính giới hạn Giả sử cần tính giới hạn L = lim Q( x ) cã d¹ng x x0 Phương pháp: Ta biến đổi giới hạn dạng sau: Dạng 1: Ta L = lim f ( x ) f ( x0 ) f '( x0 ) x x0 D¹ng 2: Ta L = lim f ( x ) f ( x0 ) P(x ) f '( x0 )P(x0 ) víi P(x0 ) x x0 x x0 x x0 f ( x ) f ( x0 ) x x0 f '( x0 ) Dạng 3: Ta L = lim víi g '( x0 ) x x0 g( x ) g( x ) g '( x0 ) x x0 Chó ý: Một số toán có dạng vô định ta dùng cách biến đổi sau: Dạng 0. f ( x )g( x ) f ( x) g( x ) 1 1 f ( x ) g( x ) D¹ng f ( x ) g( x ) 1 f ( x ) g( x ) f ( x ) g( x ) D¹ng 1 , , 0 Cho hµm sè y [ f ( x )]g ( x ) , để tính giới hạn lim y mà: x x0 lim f ( x ) vµ lim g( x ) hc lim f ( x ) vµ lim g( x ) x x0 x x0 x x0 x x0 hc lim f ( x ) lim g( x ) ta lµm nh sau: x x0 x x0 LÊy logarit vÕ ln y g( x ).ln f ( x ) d¹ng 0. Chun ln y vỊ d¹ng , råi ta áp dụng dạng DeThiMau.vn Các vÝ dơ minh ho¹: VÝ dơ 1: TÝnh giíi h¹n sau x3 3x L = lim x x ( ĐHQG Hà Nội - 1998 ) Giải: Đặt f ( x ) x x , ta cã: f (1) , f '( x ) x Khi ®ã: L = lim x 1 3 f '(1) 2 3x f ( x ) f (1) f '(1) x 1 VÝ dơ 2: TÝnh giíi h¹n x3 x2 L = lim x x2 ( ĐHTC Kế toán - 2001) Giải: Viết lại giới hạn dạng: x3 x2 L = lim x x x Đặt f ( x ) x x , ta cã f (1) ; f '( x ) Khi ®ã: L = lim x 1 3x 2 x2 2x 3 ( x 7)2 f '(1) 11 12 f ( x ) f (1) 1 11 f '(1) x 1 x 1 24 VÝ dơ 3: TÝnh giíi h¹n L = lim x 0 x sin x 3x x Giải: DeThiMau.vn ( ĐHGT - 1998 ) Viết lại giới hạn dạng: x sin x x L = lim x 0 3x x x Đặt f ( x ) x sin x , ta cã f (0) ; f '( x ) cos x f '(0) x Đặt g( x ) x x , ta cã g(0) ; g '( x ) g '(0) 3x f ( x ) f (0) f '(0) x 0 Khi ®ã: L = lim 0 x 0 g ( x ) g (0) g '(0) x Nhận xét: Để tính giới hạn phương pháp thông thường ta phải làm sau x sin x 3x x ( x sin x 3x x ):( ) x x x sin x 3x 1) ):( x x x 2 x sin x 3x ( 1) ):( x x (1 x 1) x ( x 2) ( ( 2 sin x 1) ):( x 1 x 1 3x DeThiMau.vn Do ®ã L = lim x sin x 3x x x 0 lim( x 0 2 sin x ):( 1) x 1 x 1 3x VÝ dơ 4: TÝnh giíi h¹n K lim(a x )tan x a x , (a 0) 2a ( Dạng 0. ) Giải: Viết lại giới hạn nh sau: 1 K lim x a cot x 2a x a Đặt f ( x ) cot f '(a) Do ®ã K = x cot , cot lim x a , ta cã f (a) , f '( x ) 2a 2a 1 lim x a x 2a x a 1 2a sin x 2a x 2a f '(a) x a 2a 2 a VÝ dơ 5: TÝnh giíi h¹n x ( D¹ng 1 ) L = lim(e x ) x x Giải: x Đặt y (e x ) LÊy logarit ta cã x x ln(e x + x ) y (e x ) ln y = x x XÐt f ( x ) ln(e x + x ) Ta cã: f (0)= 0, DeThiMau.vn ex + ln(e x + x ) f ( x ) f (0) f '( x ) x , f '(0) lim lim f '(0) x 0 x 0 e +x x x0 Do ®ã L = e2 DeThiMau.vn ...Các ví dụ minh hoạ: Ví dụ 1: Tính giới h¹n sau x3 3x L = lim x x ( ĐHQG Hà Nội - 1998 ) Giải: Đặt f ( x ) x x , ta cã:... f ( x ) f (0) f '(0) x 0 Khi ®ã: L = lim 0 x 0 g ( x ) g (0) g '(0) x Nhận xét: Để tính giới hạn phương pháp thông thường ta phải làm sau x sin x 3x x ( x sin x 3x... TÝnh giíi h¹n L = lim x 0 x sin x 3x x Giải: DeThiMau.vn ( ĐHGT - 1998 ) Viết lại giới hạn dạng: x sin x x L = lim x 3x x x Đặt f ( x ) x sin x , ta cã f (0) ;