Dap an toan vong II 2008

`Bộ giáo dục đào tạo Trờng đại học Vinh Đáp án môn toán vòng Tuyển sinh THPT chuyên 2008 Câ u Nội dung Điểm a) Đặt t  x  x  ( x  2)   Khi ®ã phơng trình đà cho trở thành 10 t  7t  10 0  t 2  t 5 t +) t 2  ( x  2)  2  x 1  x 3 +) t 5  ( x  2)  5  x 0  x 4 t 0,5 0,5 b) Lập phơng hai vế phơng trình đà cho ta đợc 3 3 x   x  x  1( x   x  1) 5 x   3 x  x  x  1 19  30 x  19 x 0  x 0  x  30 -Với x hai vế khác 19 - Với x hai vế phơng trình đà cho 30 19 Vậy phơng trình có nghiệm x  30 0,5  (2 x  1)(15 x  x  1) 1 0,5 0,5 a) Ta cã x  18 x1  0, nªn x  18 x  x 0 (1) T¬ng tù: x 2n 2  18 x 2n 1  x2n 0 (2) Tõ (1) vµ (2) ta cã x1n 2  x 2n 2  18( x1n1  x 2n1 )  ( x1n  x 2n ) 0 n 2 n 1 n 0,5 0,5 0,5  S n 2 18S n 1  S n b) Ta cã S 2; S1  x1  x2 18; S  x12  x22 ( x1  x2 ) x1 x2 322 số nguyên dơng không chia hết cho 17 Giả sử toán đến k 0,1, , n 2, n  N Khi ®ã S n 3 18S n2  S n 17 S n2  (18S n1  S n )  S n 17( S n 2  S n 1 )  S n lµ số nguyên dơng không chia hết cho 17 Vậy toán đợc chứng minh a b c Với a, b, c, d   0,1 ta cã abcd  abc  ;  a 1  b 1  c (1  a)(1  b)(1  c)(1  d ) 3 (1  a )(1  b)(1  c)  a b c a b c 1  1 Suy P  3 3 0,5 1,0 0,5 Dấu đẳng thức x¶y a b c d 0  a b c d 1 VËy max P 1 0,5 a) AO cắt đờng tròn (O) A' Gọi J 0,5 trung điểm AB Ta có hai cung MN A'B bù với cung AB 1 Do ®ã IM  MN  A' B JO Suy 2 0,5 OI  OM  IM  OA  JO a b) Gọi P, Q lần lợt trung điểm hai cung lớn, nhỏ AB Trên 0,5 AM kéo dài lấy điểm K cho MB = MK Ta cã MA + MB = AK V× ta xác định M cho AK có độ dài lớn Ta có MQ phân giác AMB MP MQ nên MP phân giác góc BMK Vì MK = MB nên PK = PB Điều chứng tỏ K thuộc đờng tròn tâm P cố định với bán kính PB = PA không 0,5 0,5 đổi 0,5 0,5 Do dây cung AK lớn đờng kính, nghĩa M P Giả sử ABC tam giác có cạnh Chia cạnh tam giác ABC thành ba phần Nối điểm chia đoạn thẳng song song với cạnh, tam giác ABC đợc chia thành tam giác có cạnh Gọi I, J, K lần lợt điểm cạnh BC, CA AB cho IC = JA = KB =1 Ba đờng tròn bán kính 1, tâm tơng ứng I, J, K phủ kín đợc tam giác ABC (mỗi hình tròn phủ đợc tam giác nhỏ) Nh dùng bìa phủ kín đợc tam giác ABC Số bìa phải dùng 3, ngợc lại phải có hai ba đỉnh tam giác ABC thuộc hình tròn bán kính Điều xảy cạnh tam giác ABC