Dap an toan v2 2010

BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO NAM TRƯỜNG ĐẠI HỌC VINH CỘNG HÒA XÃ HỘI CHỦ NGHĨA VIỆT ĐỘC LẬP – TỰ DO – HẠNH PHÚC ====== @õ? === óõó === ====== Đáp án môn Toán vòng năm 2010 Nội dung Điểm Câu ( điểm) a (1,5đ) Đặt Đặt t = x ⇒ t ≥ , phương trình (1) có dạng 0,75 t − 2(m + 1)t + m + m + = (2) ⇒ PT(1) có nghiệm phân biệt ⇔ PT(2) có nghiệm dương phân biệt ∆/ = m − >  ⇔ S = 2(m + 1) > ⇔ m > P = m2 + m + >  0,75 b (1,5đ) Chứng minh x1 + x2 + x3 + x4 = Khi ≤ x12 + x22 + x32 + x42 = ( x1 + x2 + x3 + x4 ) − 2( x1 x2 + x1 x3 + x1 x4 + x2 x3 + x2 x4 + x3 x4 ) ⇒ ≤ −2( x1 x2 + x1 x3 + x1 x4 + x2 x3 + x2 x4 + x3 x4 ) ⇒ ĐPCM 0,75 0,75 Câu (2,5 điểm) a(1 đ) Điều kiện: x + x + ≠ 0, x + x + ≠ Dễ thấy x = không nghiệm phương trình nên phương trình cho ⇔ x 12 − =1 2 x+ +4 x+ +2 x x 0,5 12 − =1 t+4 t+2 ⇒ t − 3t − = ⇔ t = −1, t = Đặt t = x + ⇒ PT trở thành Với t = −1 ⇒ x + x + = (vô nghiệm) Với t = ⇒ x − x + = ⇔ x = ± ( thỏa mãn điều kiện) b (1,5đ) Vì x, y nguyên nên từ giả thiết ta có 0,5 x + y ≤ xy + x + y ⇔ x + y − xy − x − y ≤ ⇔ (4 x − xy + y ) + ( y − y + 1) + ( x − x + 1) ≤ ⇔ (2 x − y ) + ( y − 1) + (2 x − 1) ≤ 0,75 ⇒ (2 x − 1) ≤ ⇒ x − = 0, x − = ±1 ⇒ x = 0, x = 1(do x ∈ Z ) Với x = y = y = Với x = y = y = Vậy có cặp (x,y) thỏa mãn (0,0); (0,1); (1,1) (1,2) 0,75 Câu (1,5đ) Áp dụng BĐT CơSi cho số dương ta có < x( y + z ) = Tương tự 2 x( y + z ) ≤ (2 x + y + z ) 2 ⇒ ≥ x( y + z ) x + y + z ⇒ 2 ≥ y ( z + x) x + y + z ⇒ 2 ≥ z( x + y) x + y + z 0,75 Từ nhận được:  1  18  ≥ + + = VT ≥ 2   x + y + z x + y + z x + y + z  4( x + y + z ) a 1 b c Dấu xảy x = y = z = ( Vì (a + b + c)( + + ) ≥ 9, ∀a > 0, b > 0, c > ) Câu 4(3 đ) a (1,5đ) Ta có: MD = MK MH Tương tự AF = AH AK Từ gt ta suy MD = AF Do BD = BF ⇒ BA = BM A F K D 0,75 0,75 E I B 0,75 N H M C b(1,5đ) 1 2 ⇒ ∠NIC = ∠NEC ⇒ Tứ giác CIEN nội tiếp, ∠INC = ∠IEC = 900 Ta có ∠NIC = (∠B + ∠C ); ∠NEC = ∠AEF = (1800 − ∠A) = (∠B + ∠C ) ⇒ MN = 0,75 BC = MB ⇒ ∠MNB = ∠MBN = ∠NBA ⇒ MN // AB 0,75